文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學(xué) 李曉文

數(shù)學(xué)思想在函數(shù)中的應(yīng)用

文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學(xué) 李曉文

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是對(duì)初中知識(shí)的概括和總結(jié)，是聯(lián)系初高中知識(shí)的紐帶，是變量數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)的滲透，它使學(xué)生的思維從常量數(shù)學(xué)過(guò)渡到變量數(shù)學(xué)，函數(shù)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中有舉足輕重的地位，而在函數(shù)知識(shí)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握好這些數(shù)學(xué)思想，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、函數(shù)中的代數(shù)思維

在數(shù)學(xué)中使用代數(shù)思維，即用代數(shù)的方法解決問(wèn)題，它要求分析問(wèn)題中的等量關(guān)系，把問(wèn)題表示為含有未知數(shù)的等式，把問(wèn)題形式化。還可以利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，但在變化過(guò)程中始終保持等量關(guān)系。對(duì)于這一數(shù)學(xué)思維方法，在函數(shù)中無(wú)疑可以得到強(qiáng)化。

1.方程與函數(shù)思想

函數(shù)與方程關(guān)系密切，初中階段函數(shù)關(guān)系式可以看成是含有兩個(gè)未知數(shù)的方程。因此，我們可以運(yùn)用方程知識(shí)解決許多函數(shù)問(wèn)題，如求函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解函數(shù)或自變量為零時(shí)的方程等。因此我們可以利用一元二次方程根的判別式來(lái)判斷兩函數(shù)圖象是否相交，判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況等。

例1.已經(jīng)拋物線y=x2-5mx+4m2（m為常數(shù)），求證：此拋物線與x軸一定有交點(diǎn)。

析：本題將函數(shù)與方程的判別式結(jié)合在一起。拋物線與x軸的交點(diǎn)必滿(mǎn)足y=0，故只需證明x2-5mx+4m2=0的判別式大于或等于0即可。

2.建模與函數(shù)思想

在函數(shù)知識(shí)中出現(xiàn)了一類(lèi)以函數(shù)知識(shí)為背景，具有創(chuàng)新性、開(kāi)放性、針對(duì)社會(huì)熱點(diǎn)，有強(qiáng)烈時(shí)代氣息的函數(shù)應(yīng)用題，解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題中的內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而求得實(shí)際問(wèn)題的答案。

二、函數(shù)中的幾何思維

1.圖形與函數(shù)

在初中函數(shù)教學(xué)中，出現(xiàn)了從幾何圖形中確立函數(shù)關(guān)系式而利用函數(shù)性質(zhì)的解決幾何問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合的新題型。這類(lèi)題主要利用幾何圖形的性質(zhì)列出幾何量之間的等式，再將某些幾何量轉(zhuǎn)化成函數(shù)的變量或自變量，最后用函數(shù)的性質(zhì)解答問(wèn)題。

例2.如圖，從一張矩形紙較短的邊上找一點(diǎn)E，過(guò)這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE，DE，要使剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？為什么？

析：考將這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化另類(lèi)二次函數(shù)模形來(lái)研究。

①首先探索取特殊值的情況

設(shè)AD=4，DE分別是2，1，0，當(dāng)DE=2時(shí)，兩個(gè)正方形面積的和最小，猜想：E是AD的中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形面積的和最小。

②證明猜想，設(shè)AD=t，ED=x，兩個(gè)正方形的面積和為y，兩個(gè)正方形的面積分別為x2，(t-x)2，則y=x2+(t-x)2，

得 y=2x2-2tx+t2， 配方得 y=2

本題運(yùn)用了從特殊到一般的探究過(guò)程，在證明其一般性時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 （圖形→代數(shù)式→函數(shù)解析式）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題。

2.運(yùn)動(dòng)與函數(shù)

動(dòng)態(tài)幾何題是函數(shù)與運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題。動(dòng)態(tài)幾何題是以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化思想的一類(lèi)題，通常是通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變量形成函數(shù).

三、函數(shù)中的分類(lèi)思維

分類(lèi)討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想。初中數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想應(yīng)用很廣泛應(yīng)用分類(lèi)討論，往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中我們要利用學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類(lèi)遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行分類(lèi)思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如

例3.函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：本題中函數(shù)是什么函數(shù)沒(méi)有確定，故要根據(jù)初中學(xué)生已有的函數(shù)知識(shí)，根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況。

解：當(dāng)a=0時(shí)，為一次函數(shù)y=3x+1， 交點(diǎn)為 （-1/3， 0）；

當(dāng)a不為0時(shí)，為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1， △ =b2－4ac=a2-10a+9=0，

解得a=1或a=9，交點(diǎn)為（-1，0）或 （9， 0）。

由上可見(jiàn)，在函數(shù)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中我們要把它不斷地向?qū)W生滲透這些思想，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力。這是長(zhǎng)期、復(fù)雜而細(xì)致的工作，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)全面研究教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，探討各種數(shù)學(xué)思想方法在不同階段的教學(xué)要求，做到全面安排，逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和運(yùn)用能力。只有重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，使數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)與思想方法的教學(xué)并重，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)才能全面實(shí)現(xiàn)。

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)