劉善伍 張學(xué)鋼 陳宏宇

上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 200050

衛(wèi)星姿控系統(tǒng)的魯棒H2/H∞混合控制問題研究

劉善伍 張學(xué)鋼 陳宏宇

上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 200050

針對一類范數(shù)有界不確定性衛(wèi)星姿態(tài)采樣系統(tǒng)，研究了魯棒H2/H∞控制問題，給出了衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件及相應(yīng)的魯棒H2/H∞保性能狀態(tài)反饋控制律和最優(yōu)魯棒H2/H∞保性能狀態(tài)反饋控制律，控制律的求取通過借助一類線性矩陣不等式(LMI)，或通過求取滿足線性矩陣不等式約束的優(yōu)化問題，避免了以往使用Lyapunov矩陣求解的保守性。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后仍然是穩(wěn)定的。

姿態(tài)控制；采樣系統(tǒng)；魯棒H2/H∞控制；線性矩陣不等式

衛(wèi)星姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)往往是根據(jù)確定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行，這就使得所設(shè)計(jì)的控制器無法適應(yīng)未建模和外界擾動(dòng)。針對這些問題，近些年來，很多學(xué)者將魯棒控制理論逐漸應(yīng)用到衛(wèi)星姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)當(dāng)中，并取得了很大進(jìn)展[1-5]。但這些研究大多都是在連續(xù)域內(nèi)進(jìn)行，且僅限于單目標(biāo)約束條件，并通過Lyapunov方法求解，因此所設(shè)計(jì)的控制可能無法應(yīng)用到離散系統(tǒng)，且由于單目標(biāo)控制忽略了系統(tǒng)其他方面的性能而使得所設(shè)計(jì)的控制器具有一定局限性。而通過Lyapunov方法求解具有較大的保守性。

對于以上問題，本文針對衛(wèi)星模型的參數(shù)不確定性和未知的外界干擾力矩，建立了衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并將其進(jìn)行了離散化，在離散域內(nèi)通過LMI方法研究了混合H2/H∞目標(biāo)魯棒控制問題，給出了同時(shí)滿足H2性能和H∞性能的魯棒H2/H∞保性能控制器。而且在離散域內(nèi)得到的控制器可以直接應(yīng)用到實(shí)際的計(jì)算機(jī)離散控制系統(tǒng)中。

1 本文用到的幾個(gè)主要引理

對于給定的時(shí)不變離散系統(tǒng)

(1)

定義系統(tǒng)H2性能指標(biāo)和H∞性能指標(biāo)：

H2性能指標(biāo)IE增益：

H∞性能指標(biāo)EE增益：

引理1[6]：對于給定的常數(shù)γgt;0和系統(tǒng)(1)，以下條件是等價(jià)的。

1)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的EE增益Λeelt;γ；

2)存在一個(gè)對稱矩陣Pgt;0，使得

引理3[6]：給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，D和E，其中Y是對稱的，則

Y+DFE+ETFTDTlt;0

對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)εgt;0，使得

Y+εDDT+ε-1ETElt;0

2 問題描述

衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)連續(xù)模型[7]為：

(2)

由文獻(xiàn)[7]對衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)轉(zhuǎn)換得到連續(xù)域內(nèi)狀態(tài)空間模型：

(3)

令系統(tǒng)矩陣擾動(dòng)ΔA=UFV，其中U和V是已知矩陣，反映了不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信息，F(xiàn)∈Rn×n是不確定矩陣，且滿足FTF≤I(Ι表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣)，則式(3)重寫成：

(4)

對式(3)～(4)進(jìn)行離散化得：

(5)

其中，G=exp[AT]，T為系統(tǒng)采樣時(shí)間，

本節(jié)的目的是對給定的標(biāo)量γgt;0，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律

u(k)=Kx(k)

(6)

使得對所有允許的參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)輸入閉環(huán)系統(tǒng)為

(7)

滿足以下的設(shè)計(jì)指標(biāo)：

1)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；

3 主要結(jié)果

(8)

證明：由引理1和矩陣Schur補(bǔ)性質(zhì)，定理1的第一部分很容易得到。

(9)

確定的矩陣。

式(8)減去式(9)得

矩陣不等式(8)包含了參數(shù)不確定矩陣，要檢驗(yàn)其對所有允許的不確定矩陣成立，必須將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的線性矩陣不等式的可行性問題，從而可以應(yīng)用LMI工具箱提供的線性矩陣不等式求解器來有效的檢驗(yàn)定理1的條件。

定理2 存在一個(gè)對稱正定矩陣P，使得條件不等式(8)對所有允許的參數(shù)不確定性成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)εgt;0和對稱正定矩陣Q，使得

(10)

證明：由矩陣Schur補(bǔ)性質(zhì)，矩陣不等式(8)成立等價(jià)于下式成立

(11)

定理1和2證明了如果存在常數(shù)εgt;0，使得矩陣不等式(10)有正定對稱解矩陣Q，則對所有允許的參數(shù)不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)式(7)是漸近穩(wěn)定的，且被調(diào)輸出z(k)滿足給定的擾動(dòng)抑制約束。進(jìn)而，這個(gè)正定解矩陣Q保證了性能指標(biāo)J(K)滿足

(12)

而這里

(13)

以下定理進(jìn)一步給出了保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且滿足給定的擾動(dòng)衰減度和性能約束式(12)的保性能控制律設(shè)計(jì)方法。

定理3 對給定的常數(shù)γgt;0和閉環(huán)系統(tǒng)式(7)，存在一個(gè)保性能控制律式(6)，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)εgt;0以及對稱正定矩陣Q和矩陣Y，使得

(14)

進(jìn)而，如果式(14)有一個(gè)可行解ε，Q，Y，則狀態(tài)反饋控制律

u(k)=YQ-1x(k)

(15)

是系統(tǒng)式(5)的一個(gè)保性能控制律，且其閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)H2保性能上界是式(13)。

證明：在式(10)中令Y=KQ，即可得到本定理。

定理3 提供了用線性矩陣不等式(13)的可行解表示的一組保性能控制律。特別地，基于這個(gè)參數(shù)化表示，提出魯棒H2/H∞最優(yōu)保性能控制律的設(shè)計(jì)方法。

定理4 對給定的常數(shù)γgt;0和系統(tǒng)式(5)，如果以下的優(yōu)化問題

(16)

成立，則u(k)=YQ-1x(k)是系統(tǒng)式(5)的H2/H∞最優(yōu)保性能控制律。

由引理3，上式對所有滿足FTF≤I的不確定矩陣成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε1gt;0，使得

上式經(jīng)整理并再次應(yīng)用引理1即可得到問題式(16)的條件式(2)。這樣Trace(S)的最小化將保證性能上界J(K,Q-1)的最小化。約束條件和目標(biāo)函數(shù)的凸性保證了如果問題式(16)有解，則一定是該問題的全局最優(yōu)解，定理得證。

4 算例

某型號小衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Isx=1.31kg·m2，Isy=1.33kg·m2，Isz=1.1kg·m2。軌道角速度為：ω0=0.0011rad/s。仿真初始值設(shè)置為：三軸姿態(tài)角φ=5°，φ=-10°，ψ=-5°；ωx=-0.8(°)/s，ωy=1(°)/s，ωz=0.8(°)/s。擾動(dòng)結(jié)構(gòu)U,V取為：

此結(jié)構(gòu)表征了衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量受到了干擾，干擾幅度約為標(biāo)稱值的20%。另外，取衛(wèi)星外界干擾Td為零均值白噪聲，取飛輪執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制力矩限幅為1mNm。給定γ=30，利用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行仿真，可得魯棒H2/H∞最優(yōu)保性能狀態(tài)反饋控制器為

通過Matlab/Simulink搭建仿真模型，得到衛(wèi)星姿控閉環(huán)系統(tǒng)受到擾動(dòng)前后的姿態(tài)變化曲線如圖1和2所示，從圖中可以看到，受到擾動(dòng)后，衛(wèi)星三軸姿態(tài)仍然穩(wěn)定，且超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間變化不大。

圖1 未受擾動(dòng)衛(wèi)星三軸姿態(tài)變化

圖2 受擾動(dòng)衛(wèi)星三軸姿態(tài)變化

5 結(jié)論

本文針對具有范數(shù)有界不確定性和外部擾動(dòng)的衛(wèi)星姿控采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)了H2/H∞最優(yōu)魯棒保性能狀態(tài)反饋控制器，仿真結(jié)果表明，在系統(tǒng)受到擾動(dòng)的情況下，仍然是穩(wěn)定的，且其動(dòng)態(tài)性能變化不大，為未來的工程應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)。

[1] Sun Y P, Yang C D. MixedH2/H∞Attitude Control of a LEO Microsatellite in The Presence of Inertia Matrix Uncertainty [C]. American Control Conference, 2002. Proceedings of the 2002. IEEE, 2002, 2: 1354-1359.

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[6] 俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社,2002.

[7] 章仁為. 衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社,1998.

TheH2/H∞RobustnessMixControlforSatelliteAttitudeControlSystem

Liu Shanwu, Zhang Xuegang, Chen Hongyu

ShangHai Microsatellite Engineering Center, Shanghai, 200050，China

Inthispaper,theH2/H∞r(nóng)obustnessmixcontrolforaclassofsampled-datasystemsisresearchedforsatelliteattitudecontrolwhoseunderlyingcontinuous-timesystemsaresubjectedtouncertainties,andprerequisitesofrobuststabilityandthecorrespondingrobustcontrollawarederived.Theacquisitionofcontrollawisdesignedbysolvingaclassoflinearmatrixinequalities(LMI)oradynamicoptimizationwithLMIconstraintsrespectively.ThemethodislessconservativethanLyapunovematrixmethod.Anexampleisshownthatsystemdisturbedisstable.

Sampled-datasystems；RobustH2/H∞control；Linearmatrixinequality(LMI)

V249.1

A

1006-3242(2017)04-0037-05

2017-02-20

劉善伍(1982-)，男，吉林農(nóng)安人，碩士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，張學(xué)鋼(1990-)，男，安徽蚌埠人，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)；陳宏宇(1976-)，男，大同人，博士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星總體設(shè)計(jì)、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。