羅智國(guó)

相似形中的“凹槽圖形”

羅智國(guó)

我們?cè)诎四昙?jí)學(xué)習(xí)全等時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到這樣的問(wèn)題：

如圖1：直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是1和2，則EF的長(zhǎng)是.

圖1

在這個(gè)圖形中，因?yàn)锳E⊥BE，CF⊥BF，得∠AEB=∠BFC=90°，所以∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，得∠EAB=∠FBC，再加條件AB=CB得△ABE≌△BCF，從而有BE=CF=2，AE=BF=1，所以EF=BE+BF=3.

在這個(gè)圖形中，有∠AEB=∠ABC=∠BFC=90°，我們把存在這樣關(guān)系的圖形叫“一線三角”，也俗稱(chēng)“凹槽圖形”.如果把其中的線段相等條件去掉，則這樣的凹槽圖形必有△ABE∽△BCF，當(dāng)然，我們也可嘗試把90°換成60°或任意的角，都可以得△ABE與△BCF相似.今后同學(xué)們?cè)谧鲞x擇、填空題時(shí)碰到這類(lèi)的凹槽圖形可直接加以運(yùn)用，以加快解題的速度，也可以讓我們?cè)诮忸}時(shí)很快找到思路.

“凹槽圖形”在中考中也是層出不窮，特別在相似中運(yùn)用廣泛.

如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，CD＞AB，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于E.請(qǐng)?zhí)剿鼽c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求AP長(zhǎng)；如果不能，說(shuō)明理由.

圖2

在解決這道題目時(shí)，同學(xué)們首先應(yīng)該在題目中審清條件，快速地找到題目中的形——“凹槽圖形”，利用△ABP∽△DPE，得，我們可設(shè)AP=x，則，求得.如果四邊形ABED為矩形，則有，解得x=1或x=4，驗(yàn)證知：當(dāng)AP=1或AP=4時(shí)，四邊形ABED構(gòu)成矩形.

審題很關(guān)鍵，通過(guò)審清題目，配合圖形找出圖形中蘊(yùn)含的特殊圖形，然后設(shè)未知數(shù)通過(guò)相似建立等量關(guān)系解決問(wèn)題.同學(xué)們?cè)诮窈蠼忸}時(shí)可以借鑒.但并不是每一條題目中的“凹槽”都是一目了然的，有些題目我們必須自己增加輔助線構(gòu)建“凹槽圖形”.

如圖3，在△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖3

這道題目有一定的難度，可能許多同學(xué)一時(shí)半刻沒(méi)有思路去解決.這時(shí)建議同學(xué)們?cè)偃ズ煤脤忣}，找到圖形中的隱藏的量，很快就可以發(fā)現(xiàn)：只需分別從E，F(xiàn)向HG引垂線，作EP⊥HG，F(xiàn)Q⊥HG，垂足分別為P，Q，如圖4，這樣就出現(xiàn)了我們要的“凹槽圖形”，而且有兩個(gè)，則△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得出兩個(gè)比例等式所以，由此得EP=FQ.這時(shí)可以利用△EPH≌△FQH得HE=HF.

圖4

將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是我們成功解題的關(guān)鍵.這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要注意解題后的反思、小結(jié)，積累解題的經(jīng)驗(yàn)，形成自己特有的解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

學(xué)習(xí)中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是由淺入深，由易到難的.同學(xué)們只要抓住題目的根本條件，把最原始的基本圖形保持在腦海中，如我們上面講的相似中的“凹槽圖形”，這樣才能快速找到解決問(wèn)題的途徑，進(jìn)而解別人所不能解的題目，并提升自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維與方法.

（作者單位：江蘇省興化市張郭中心校）