吳智勇

構(gòu)造相似三角形破解一類最值題

吳智勇

圖1

圖2

【思路突破】首先理解題目，弄清題目已知什么，用自己的語(yǔ)言敘述題目條件并與學(xué)過的知識(shí)聯(lián)系起來.題目已知直線AB：與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，告訴我們點(diǎn)A（4，0），B（0，3）.點(diǎn)E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，則說明點(diǎn)E′是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn).題目要求的最小值，這個(gè)問題以前沒有見過，是個(gè)新問題.與這個(gè)問題相似的是求兩條折線段的和的最小值，那么我們能不能將轉(zhuǎn)化成某一條線段，從而將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題？又該從何處著手將B轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的某一條線段？先進(jìn)行直覺判斷，題中的直線AB與y軸交于點(diǎn)B，其中OB=3，OE′=OE=2，比值恰好是由比值猜想是否可以構(gòu)造一對(duì)相似比為的相似三角形△COE′∽△E′OB？試試在y軸上取點(diǎn)C，連CE′，則這樣欲尋找的E′A的最小值就轉(zhuǎn)化為尋找CE′+E′A的最小值，由于點(diǎn)A、C是定點(diǎn)，因此只要點(diǎn)A、E′、C三點(diǎn)共線時(shí)就能取得最小值，E′A≥AC，而

【解后反思】解題要有靈感，不可呆板，題目要求的最小值，這是一個(gè)以前沒有見過的新問題.解題的切入口是聯(lián)想以前做過的問題，將轉(zhuǎn)化成另一條線段CE′，從而將沒有見過的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.轉(zhuǎn)化的方法是由題目條件得出OB=3，O′E=OE=2，聯(lián)想比值從而將我們的思路往構(gòu)造相似三角形的方向上引導(dǎo)，轉(zhuǎn)化是解題的根本手段.

【同類題鞏固】

1.如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半徑為2，點(diǎn)P為⊙C的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則的最小值為

圖3

【解析】解決問題的關(guān)鍵是將PB轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的某一線段，因此需要找一個(gè)定點(diǎn)，構(gòu)造一對(duì)相似三角形來轉(zhuǎn)化.問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)得到線段和的最小值.考慮到BC=2PC，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連接PC、PD，如圖4，則，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.，故的最小值為

圖4

圖5

【解析】考慮到OM=2PM，在OM上找一點(diǎn)B（3，3），連BP，則，由，所以PA）≥2BA，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)勾股定理得AB=5，故PO+2PA的最小值為10.

圖6

3.已知：⊙B的圓心為B（1，1），交y軸于C（0，3），動(dòng)點(diǎn)P在⊙B上，連接PC、PO.則2PC+5PO的最小值為.

圖7

【解析】⊙B的半徑為，如圖8，連接BP，BO，在BO延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，當(dāng)C、P、D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故PC+5PO的最小值為

圖8

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）