鄧東磊+胡穎

摘要： 項(xiàng)目的工序間存在著普遍的相依性，在項(xiàng)目的進(jìn)度管理中，合理考慮工時(shí)之間的相依性，有利于更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)和評(píng)估工期風(fēng)險(xiǎn)，從而更有效地控制工程進(jìn)度。本文建立了一個(gè)基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)度計(jì)劃動(dòng)態(tài)更新模型，度量工程進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)中工序持續(xù)時(shí)間的相依隨機(jī)性，并進(jìn)行進(jìn)度計(jì)劃的動(dòng)態(tài)更新，模型用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)表示工序間的相依關(guān)系，由專家估計(jì)工序持續(xù)時(shí)間的邊緣分布及工序間協(xié)調(diào)系數(shù)，然后確定貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的條件概率和分布，從而確定各工序持續(xù)時(shí)間的條件分布和總工期的分布。算例表明該模型能有效預(yù)測(cè)和控制工時(shí)的不確定性，有利于降低工程進(jìn)度風(fēng)險(xiǎn)。

Abstract： There is the universal dependence between the project processes. In the project schedule management， considering the dependence between time reasonably， is conducive to predicting and assessing the schedule risk more accurately， so as to effectively control the progress of the project. This paper establishes an dynamic updating model of the schedule based on Bayesian network， which is used to measure the dependent random of the process duration in the project progress network， and dynamically update the schedule. The model uses Bayesian network to represent dependence between processes. The marginal distribution of process duration and the coordination coefficient between processes are estimated by experts， and then the conditional probability and distribution in the Bayesian network are determined， so as to determine the conditional distribution of each process duration and total duration. The example shows that the model can effectively predict and control the uncertainty of the working hours， which is conductive to reducing the project risk.

關(guān)鍵詞： 項(xiàng)目進(jìn)度管理；進(jìn)度計(jì)劃更新；相依隨機(jī)變量；貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

Key words： project scheduling；schedule updating；dependent random variable；Bayesian Network

中圖分類號(hào)：TU17；F426 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）33-0045-04

0 引言

在項(xiàng)目管理實(shí)踐中，不同工序的工時(shí)變量之間存在普遍的相依性，且這種相依性受到諸多因素的影響。在實(shí)際的項(xiàng)目進(jìn)度管理中，掌握各個(gè)工時(shí)變量之間的相依性意義重大，它能夠?qū)⒐て谟?jì)劃中的不確定性充分估計(jì)出來(lái)，提高了預(yù)測(cè)及評(píng)估工期風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確度，有利于施工項(xiàng)目工程的進(jìn)度控制[1]。

國(guó)外很多學(xué)者都會(huì)項(xiàng)目進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)中工時(shí)的線性相關(guān)性具有濃厚的興趣，開(kāi)展了較為深入的研究，建立的模型基本可歸為三類，分別是仿真模型、解析模型、專家系統(tǒng)模型。Ringer[2]最早在PERT網(wǎng)絡(luò)中考慮工時(shí)間的相關(guān)性，他提出了一個(gè)基于圖論約簡(jiǎn)算法的解析模型；Fatemi Ghomi[3]、Mehrotra [4]建立了一種基于圖論的路徑相依模型；Van Dorp[5]等提出了一種基于多元統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)工時(shí)間的正相關(guān)關(guān)系進(jìn)行建模和度量。Padilla & Carr[6]開(kāi)發(fā)了一個(gè)仿真模型來(lái)評(píng)價(jià)項(xiàng)目進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)中的不確定性；Woolery[7]、Toura[8]等采用蒙特卡洛技術(shù)，建立了考慮工時(shí)相關(guān)和獨(dú)立情形的隨機(jī)進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)模型；Wang & Demsetz[9]開(kāi)發(fā)了一種考慮共同因素影響下產(chǎn)生的工時(shí)相關(guān)性仿真模型；Levitt and Kunz[10]、Cho[11]等建立了考慮工時(shí)相依性的進(jìn)度管理的專家系統(tǒng)。這些方法對(duì)項(xiàng)目進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)中的各種相依關(guān)系沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的研究，相關(guān)系數(shù)矩陣難以直接估計(jì)且須滿足正定條件，工時(shí)間的相依性沒(méi)有應(yīng)用在進(jìn)度計(jì)劃的動(dòng)態(tài)更新上。本文將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)與進(jìn)度計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，建立工時(shí)的相依隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，用直觀的協(xié)調(diào)系數(shù)度量工時(shí)之間的相依性，分析工時(shí)的條件分布，對(duì)項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新。

1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的基本原理

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)帶有概率注釋的有向無(wú)環(huán)圖，這個(gè)圖模型能夠表示變量集合的聯(lián)合概率分布，可以分析大量變量之間的相互關(guān)系，利用貝葉斯定理的學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)推斷功能實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)、診斷、分類等任務(wù)。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)使用概率表示所有形式的不確定性，用概率規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)和推理的過(guò)程。關(guān)于一組變量X={X1，X2，…，Xn}的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)由以下兩部分組成：

①一個(gè)表示X中變量的條件獨(dú)立斷言的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)S；

②每一個(gè)變量相聯(lián)系的局部概率分布集合P。endprint

兩者定義了X的聯(lián)合概率分布。S是一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖，S中的節(jié)點(diǎn)一對(duì)一對(duì)應(yīng)于X中的變量。以Xi表示變量節(jié)點(diǎn)，Pai表示中Xi的父節(jié)點(diǎn)。S的節(jié)點(diǎn)之間默認(rèn)弧線則表示條件獨(dú)立。X的聯(lián)合概率分布表示為

以P表示式（1）中的局部概率分布，即乘積中的項(xiàng)p（xi|pai）（i=1，2，…，n），則二元組（S，P）表示了聯(lián)合概率分布p（X）。當(dāng)僅僅從先驗(yàn)信息出發(fā)建立貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時(shí)，該概率分布是主觀的，當(dāng)從數(shù)據(jù)出發(fā)，進(jìn)而建立貝葉斯網(wǎng)絡(luò)時(shí)，該概率是客觀的[13]。

在應(yīng)用領(lǐng)域中構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)涉及3個(gè)步驟：①分辨出建模領(lǐng)域中重要的變量及其可能取值，并以節(jié)點(diǎn)表示；②判斷節(jié)點(diǎn)問(wèn)的依賴或獨(dú)立關(guān)系，并以圖的方式表示；③獲得貝葉斯網(wǎng)定量部分所需要的概率參數(shù)。

2 基于貝葉斯網(wǎng)的進(jìn)度計(jì)劃動(dòng)態(tài)更新模型

2.1 基于貝葉斯網(wǎng)的相依隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)的建設(shè)項(xiàng)目進(jìn)度管理方法主要包括關(guān)鍵路徑法（Critical Path Method，簡(jiǎn)稱CPM）和計(jì)劃評(píng)審技術(shù)（Project Evaluation and Review Technique，簡(jiǎn)稱PERT），CPM和PERT網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃是根據(jù)工序之間邏輯關(guān)系而繪成，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃由于不能反映工序之間的相依關(guān)系，因此在項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理、計(jì)劃更新等方面的應(yīng)用受到很大的限制。單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃（AON， activity on node）與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)都是有向無(wú)環(huán)圖，都以節(jié)點(diǎn)表示問(wèn)題變量，以有向邊表示變量間的關(guān)系；所不同的是，前者描述變量間的前后邏輯關(guān)系，而后者描述變量間相互影響的相依關(guān)系[1]。因此，本文將單代號(hào)網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，用來(lái)描述工時(shí)之間相依性的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃結(jié)構(gòu)。

工時(shí)間的相依性可分為序列相依性與并行相依性[1]。對(duì)于序列相依的工序，可以直接用網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃的有向邊表示前后工序的相依關(guān)系，從而將網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃直接轉(zhuǎn)化為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖。圖1為某貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖，A，B，…代表工序名稱，a，b…代表工時(shí)變量，箭線A→B表示A、B間的相依關(guān)系。在圖中，同一調(diào)線路上的工序之間都存在相依關(guān)系[1]。對(duì)于并行相依性，主要存在有兩種情況：①共同的緊前工序使不同的緊后工序之間產(chǎn)生相依性，如圖1中，工時(shí)變量f的變化可能會(huì)引起工時(shí)變量g、h的相同變化，工時(shí)變量g的變化可能會(huì)引起工時(shí)變量i、j的相同變化，這時(shí)g、h，i、j間就存在相依性；②受共同的外在因素的影響使并行工序間產(chǎn)生相依性，圖1中，F(xiàn)工序完成后的設(shè)計(jì)變更可能會(huì)使G、H工序都拖延，I、J實(shí)施中的惡劣天氣可能會(huì)使I、J工序都拖延，這些因素使G、H，I、J間產(chǎn)生相依性[1]。根據(jù)貝葉斯網(wǎng)的條件獨(dú)立性假設(shè)，第一種情況下的并行相依性已經(jīng)被貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖中的序列相依關(guān)系所體現(xiàn)[18]。第二種情況下，可在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖上針對(duì)并行工序添加共同的因素變量，使并行的工時(shí)變量相依，但條件獨(dú)立于因素變量。

在一個(gè)考慮序列相依性及并行相依性的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，假定有一個(gè)包含n個(gè)工時(shí)變量的隨機(jī)變量集V，有一個(gè)包含m個(gè)因素變量的隨機(jī)變量集W，P表示條件概率分布集，K表示因素變量與工時(shí)變量間有向邊的集合，L表示工時(shí)變量間有向邊的集合，G表示有向無(wú)環(huán)圖，則該貝葉斯進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)可表示為：

2.2 工時(shí)相依度的估算

相依性度量的方法相應(yīng)有不同的指標(biāo)，但應(yīng)用最廣泛的還是Pearson的相關(guān)系數(shù)（r）。

相關(guān)系數(shù)（r）可以通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算得出，但考慮到工程項(xiàng)目的一次性和單件性特征，針對(duì)特定項(xiàng)目工序的持續(xù)時(shí)間往往難以收集到大量的樣本數(shù)據(jù)，所以工時(shí)間的相依度大都只能通過(guò)專家的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行估計(jì)。而由式（3）可以看出，即使經(jīng)驗(yàn)非常豐富的專家也很難準(zhǔn)確地估計(jì)工時(shí)之間的相關(guān)系數(shù)。因此，本文采用協(xié)調(diào)系數(shù)[14]（τ）來(lái)度量工時(shí)之間的相依性。設(shè)（X1，Y1），（X2，Y2）是隨機(jī)變量（X，Y）的兩個(gè)獨(dú)立樣本，X，Y間的協(xié)調(diào)系數(shù)為[14]：

τX(jué)Y表征變量X、Y的變化是否協(xié)調(diào)，0≤τX(jué)Y≤1。τX(jué)Y=1，表示X、Y的變化完全協(xié)調(diào)，X增大，Y也增大；τX(jué)Y=0，表示X、Y的變化完全不協(xié)調(diào)，X增大意味著Y減小。對(duì)τX(jué)Y求導(dǎo)可得：

由此可知，協(xié)調(diào)系數(shù)（τ）是相關(guān)系數(shù)（r）的單調(diào)增函數(shù)，通過(guò)專家估計(jì)出的協(xié)調(diào)系數(shù)可以求得相關(guān)系數(shù)：

2.3 工時(shí)的條件概率分布

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的概率參數(shù)包括兩部分：一部分是節(jié)點(diǎn)變量的概率分布，描述節(jié)點(diǎn)變量即工時(shí)變量和因素變量的不確定程度；另一部分是節(jié)點(diǎn)變量間的條件概率分布，描述節(jié)點(diǎn)變量的相依程度。在工程實(shí)踐中，工時(shí)分布一般可根據(jù)實(shí)際情況選用正態(tài)分布、三角分布、β分布、對(duì)數(shù)分布等[16]，本文假設(shè)工時(shí)變量為正態(tài)分布；因素變量一般由專家確定離散的概率分布集。對(duì)于因素變量與工時(shí)變量之間的條件分布，可由專家直接估計(jì)不同的因素條件下工時(shí)的條件分布；工時(shí)變量由于均為連續(xù)，無(wú)法直接確定其條件分布，可以先估計(jì)相依度（如相關(guān)系數(shù)等），再根據(jù)相依度估計(jì)相依工時(shí)變量間的條件分布。

在給定因素變量的情況下，工時(shí)變量的條件分布由專家直接進(jìn)行估計(jì)[17]。如天氣變量W={W1，W2}，受天氣影響的工序A的工時(shí)變量TA的條件分布可估計(jì)為：

兩個(gè)相依的工時(shí)變量之間的條件分布可由它們之間的相關(guān)系數(shù)求得：對(duì)于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃中的兩個(gè)工序A、B，其工時(shí)變量分別為TA、TB。假設(shè)（TA，TB）為雙變量正態(tài)分布，均值為（μA，μB），協(xié)方差矩陣∑=（σij），其中σ11=σA2，σ22=σB2，σ12=rABσAσB，rAB為TA、TB間的相關(guān)系數(shù)。則

2.4 進(jìn)度計(jì)劃的動(dòng)態(tài)更新

在工時(shí)的條件分布已知的情況下，我們可以將已完工序的持續(xù)時(shí)間作為新的“證據(jù)”，去更新未完工序的工時(shí)分布。同理，當(dāng)環(huán)境因素等發(fā)生變化時(shí)，可根據(jù)式（7）去更新受影響工序的工時(shí)分布。

設(shè)有兩個(gè)工序A、B，A是B的緊前工序，其工時(shí)變量TA、TB為正態(tài)分布[17]：endprint

3 進(jìn)度計(jì)劃動(dòng)態(tài)更新模型的應(yīng)用

3.1 進(jìn)度計(jì)劃動(dòng)態(tài)更新的一般步驟

要建立一個(gè)項(xiàng)目的相依隨機(jī)進(jìn)度計(jì)劃并進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新，包括三個(gè)主要步驟[1]：

①確定基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的相依隨機(jī)進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。明確工序間的邏輯關(guān)系，繪制單代號(hào)（AON）網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃；分辨工時(shí)的影響因素，明確工時(shí)的并行相依關(guān)系和序列相依關(guān)系，完成貝葉斯網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖。

②度量工時(shí)變量之間的相依程度。估計(jì)工時(shí)變量的均值和方差，估計(jì)因素變量的取值及概率；確定工時(shí)變量間的協(xié)調(diào)系數(shù)（τ），進(jìn)一步確定相關(guān)系數(shù)（r），得出工時(shí)變量的條件分布；估計(jì)因素變量給定的條件下工時(shí)變量的條件概率。

③更新進(jìn)度計(jì)劃參數(shù)。當(dāng)部分工序已經(jīng)完成或者影響因素發(fā)生變化時(shí)，更新后續(xù)工序或受影響工序的工時(shí)分布；更新總工期的均值及方差，更新工程進(jìn)度的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估值。

3.2 算例

實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃動(dòng)態(tài)更新的方法有多種，本文借助Excel工作表的宏命令來(lái)實(shí)現(xiàn)。某項(xiàng)目各工序如圖2所示，各工序的邏輯關(guān)系、工時(shí)分布，以及實(shí)施過(guò)程中的實(shí)際工時(shí)、影響因素及其概率如表1所示。

專家估計(jì)的工序間協(xié)調(diào)系數(shù)（τ）及推算的相關(guān)系數(shù)（r）見(jiàn)圖3。以實(shí)際工時(shí)和影響因素為新證據(jù)對(duì)后續(xù)工序進(jìn)行更新，用Excel計(jì)算的結(jié)果如圖3所示。計(jì)算步驟為：計(jì)算相關(guān)系數(shù)（r）；計(jì)算受因素影響的工時(shí)分布；計(jì)算工時(shí)的條件分布；工時(shí)更新。

4 結(jié)論與展望

用基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的相依網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃結(jié)構(gòu)，可以很直觀地描述工時(shí)之間的序列相依性和并行相依性；文中提出的協(xié)調(diào)系數(shù)和因素概率表有利于專家直觀地估計(jì)工時(shí)之間的相依性；利用工時(shí)的相依性，將已完工時(shí)及實(shí)際因素作為證據(jù)去更新后續(xù)工時(shí)計(jì)劃的方法為實(shí)際工程進(jìn)度計(jì)劃的調(diào)整提供了新的思路。更新后的工時(shí)期望值更接近于實(shí)際工時(shí)，工時(shí)方差小于初始計(jì)劃的方差。因此，考慮相依性的進(jìn)度計(jì)劃及其更新模型能較好地預(yù)測(cè)和控制工時(shí)的不確定性，有利于減弱工程進(jìn)度風(fēng)險(xiǎn)。

由于缺乏工時(shí)信息統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使得在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，難以用參數(shù)學(xué)習(xí)的方法確定工時(shí)變量間的條件概率分布，而主要依靠專家的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行估計(jì)，從而降低了本方法的科學(xué)性和精度。因此，在今后的項(xiàng)目管理實(shí)踐中，應(yīng)注重收集的工時(shí)相依信息，為同類工程的工時(shí)相依性研究提供支持。

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