雷世清

摘要：數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)核心價(jià)值的主要載體。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心價(jià)值研究，若能夠與數(shù)學(xué)核心知識(shí)的教學(xué)有機(jī)融合到一起，那么教學(xué)轉(zhuǎn)型必定能夠起到事半功倍的效果.本文結(jié)合《數(shù)列求和》復(fù)習(xí)模塊的教學(xué)實(shí)踐，兼談從數(shù)學(xué)核心知識(shí)到數(shù)學(xué)核心價(jià)值教學(xué)轉(zhuǎn)型研究的一些思考.

關(guān)鍵詞：核心知識(shí) ；核心價(jià)值； 教學(xué)轉(zhuǎn)型 ；PBL教學(xué)模式

案例背景

上海教育出版書(shū)出版高二年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)（試用本）第7章《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》第一節(jié)內(nèi)容是《數(shù)列》.學(xué)生在學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容之后，在運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式時(shí)運(yùn)算經(jīng)常出錯(cuò)。于是我嘗試改編課本和練習(xí)冊(cè)相關(guān)問(wèn)題，運(yùn)用了PBL（Problem-based Learning 即基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)）教學(xué)模式，安排了一節(jié)《數(shù)列求和》復(fù)習(xí)模塊課.

案例主題

1.熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.

2.掌握一些既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列求和的常見(jiàn)方法，能熟練運(yùn)用這些方法解決數(shù)列求和問(wèn)題，體驗(yàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

3.學(xué)會(huì)觀察、思考、表達(dá)，形成分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和探究創(chuàng)新意識(shí).

教學(xué)方法與手段引導(dǎo)啟發(fā) 自主探究 練、講、議、思相結(jié)合

案例敘述

片段一 復(fù)習(xí)與回顧

1. 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為 Sn=____________或Sn=_____________.

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為 Sn=_______________.

2.求和：（1）1+3+5+···+（2n-1）=_________________ （n∈N*）；

（改編 教材第30頁(yè) 例1、教材第34頁(yè) 練習(xí)7.5 第1（1）題）

（2）已知a≠0，n∈N*，則1+a+a2+a3+…+an= _______________.

（改編 教材第34頁(yè) 練習(xí)7.5 第1（2）題、練習(xí)冊(cè) 第12頁(yè) 習(xí)題7.4 A組 第1（1）題）

3.已知數(shù)列{an}前項(xiàng)的和Sn，則 an=______________.

思考：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，如何求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=？

設(shè)計(jì)意圖：溫故知新；考查數(shù)列項(xiàng)數(shù)的確定及等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式注意事項(xiàng).

活動(dòng)要求：學(xué)生課前完成，課上相互評(píng)價(jià).

第1、2（1）、3題，學(xué)生做得很好.第2（2）題學(xué)生討論熱烈，最后達(dá)成了共識(shí).

T：誰(shuí)小結(jié)一下.

S：要熟練運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和的公式.若等比數(shù)列的公比含參數(shù)，看一看是否需要討論哦.

T：小結(jié)得很好.數(shù)列求和在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位.本節(jié)課我們來(lái)研究既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列的求和問(wèn)題.（板書(shū)課題：數(shù)列求和）

判斷二 探究活動(dòng)

例1 求和：（1）112+214+318+…+（n+12n）（n∈N*）；

（改編 練習(xí)冊(cè) 第15頁(yè) 習(xí)題7.6 A組 第3題）

（2）9+99+999+···+（10n-1）（n∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖：先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，再分組求和（數(shù)列求和的基本方法）.

T：請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列嗎？你是怎么求得的？分組板演、交流.

第1小組代表：上黑板板演

原式=（1+12）+（2+14）+（3+18）+···+（n+12n）

=（1+2+3+···+n）+（12+14+18+···+12n）

=n（1+n）2+12[（1-（12）n]1-12=n22+n2+1-12n

然后匯報(bào)：將原數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的求和.

第2小組代表：上黑板板演

原式=（101-1）+（102-1）+（103-1）+···+（10n-1）

=（10+102+103+···+10n）-（1+1+1+···+1n個(gè)1）=10（1-10n）1-10-n=10n+19-109-n.

然后匯報(bào)：將原數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列喝一個(gè)常數(shù)列的求和..

T：投影其它組探究情況.

T：剛才從各小組探究情況都說(shuō)明：若一個(gè)數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，但它是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加所得的新數(shù)列.這種把通項(xiàng)公式拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的等差或等比數(shù)列的求和的方法叫做分組求和法（板書(shū)）.這種方法是拆項(xiàng)法的一種，運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

例2 求和：（1） 11×2+12×3+13×4+···+1n（n+1）（n∈N*）；

（改編 練習(xí)冊(cè)第15頁(yè) 7.6 A組 第3題）

（2）11×3+12×4+13×5+···+1n（n+2）（n∈N*）.

（改編 教材第35頁(yè) 例2）

設(shè)計(jì)意圖：用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和（常用數(shù)列求和方法之一）.

T；請(qǐng)分組討論、板演、交流.

學(xué)生開(kāi)始思考，有的低著頭在算、有的竊竊交流、有的學(xué)生在沉思……，很快學(xué)生討論聲四起.

第3小組代表：上黑板板演

（1）解：因?yàn)?1n（n+1）=1n-1n+1，

所以 原式=（1-12）+（12-13）+（13-14）+···+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1.

然后匯報(bào)交流.

小組4代表：上黑板板演

（2）解：因?yàn)?1n（n+2）=12（1n-1n+2），

所以 原式=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+（14-16）···+（1n-1n+2）]

=12（1+12-1n+1-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）=34-12（n+1）-12（n+2）.

然后匯報(bào)交流.

T：投影其它組探究情況.

全體學(xué)生聚精會(huì)神聽(tīng)著、看著……

T：剛才從各小組探究情況看，求數(shù)列求和前，先根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)再求和.我們把上述求和方法形象稱之為裂項(xiàng)相消法（邊講邊板書(shū)），這種方法也是拆項(xiàng)法的一種.

例3若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an=2n-1，1≤n≤3，

2n-7，n≥4，n∈N ，求Sn.

設(shè)計(jì)意圖：用分段求和方法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和（也是常用數(shù)列求和方法之一）.

活動(dòng)要求：各小組先合作探究，然后搶答.若搶答錯(cuò)誤，再進(jìn)行下一輪搶答.

學(xué)生們積極參與探究活動(dòng)中……

S1：Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16.

T：同學(xué)們，上述回答對(duì)嗎？

S：不完全對(duì).

T：繼續(xù)搶答.

S2：當(dāng)1≤n≤3時(shí)，Sn=1-2n1-2=2n-1，當(dāng)n≥4時(shí)，Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16，

所以 Sn=2n-1，1≤n≤3，

n2-6n+16，n≥4， n∈N.

T：未作評(píng)判.問(wèn)：為什么這樣分類？

S2：由題意知 該數(shù)列的前三項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，它從第四項(xiàng)起為以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以這么分類.

其他學(xué)生：鼓掌.

T：這位同學(xué)回答得很好！這種數(shù)列求和方法稱之為——分段求和（同學(xué)集體回答）.

片段三 鞏固與反思

求數(shù)列1，1+2，1+2+4，…， 1+2+22+···+2n-1，…的前n項(xiàng)和Sn.

學(xué)生都認(rèn)真作答，我不斷巡視著，并不時(shí)與學(xué)生對(duì)話、交流。

片段四 學(xué)習(xí)小結(jié)

T：本節(jié)課你都掌握了哪些數(shù)列求和的方法？數(shù)列求和涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

S：（1）利用公式求和：利用等差、等比數(shù)列求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

（2）分組法求和：將數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和.

（3）裂項(xiàng)法求和：將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.

（4）分段求和：就n進(jìn)行分類討論再求和.

另外，在數(shù)列求和過(guò)程中，運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

T：小結(jié)得很精彩.（補(bǔ)充）其中（2）、（3）的方法統(tǒng)稱為拆項(xiàng)法.同學(xué)們，不管用什么方法求和，方法的實(shí)質(zhì)都是把既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題.

案例反思

本節(jié)課運(yùn)用了PBL（Problem-based Learning 即基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)）教學(xué)模式進(jìn)行了從數(shù)學(xué)核心知識(shí)到數(shù)學(xué)核心價(jià)值教學(xué)轉(zhuǎn)型研究。本節(jié)課整合資源，改編教材和練習(xí)冊(cè)相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生在參與一系列探究活動(dòng)過(guò)程中形成了一定的歸納總結(jié)能力、探究能力和創(chuàng)新意識(shí).本節(jié)課突出了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，突破了教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高.

（作者單位：上海市嘉定區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 201800 ）