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活用基本型 學好相似形

2017-12-11 14:22:44趙軍
初中生世界·九年級 2017年11期
關鍵詞:基本型小試牛刀A型

趙軍

在運用相似三角形解決問題的過程中,我們經常會遇到一些較為復雜的幾何圖形,如何從中找出相似三角形的“基本型”往往成為解題的關鍵,下面僅以常見的一些相似三角形的基本圖形為例進行歸類分析,希望對大家的學習有所幫助.

一、“A”型

在三角形的相似模型中,有一類像大寫字母“A”的圖形,我們稱之為“A型”,在具體圖形中我們又將其分為“正A型”和“斜A型”兩種.

例1 如圖1,在△ABC中,點D、E分別在AB、AC上,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,AE=3,則CE的長為 .

【思路點撥】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,

所以[ADAB]=[AEAC],設CE=x,則[515]=[33+x],解之得:x=6,所以CE的長為6.如圖1中的△ADE與△ABC相似可形象地稱之為“正A型”相似.

變式1 如圖2,在△ABC中,點D、E分別在AB、AC上,且∠AED=∠B,若AD=3,BD=10,AE=5,則CE的長為 .

【思路點撥】由∠AED=∠B,∠A=∠A可得

△AED∽△ABC,所以[AEAB]=[ADAC],設CE=x,則[513]=[35+x],解之得:x=[145],所以CE的長為[145].如圖2中的△AED與△ABC的相似可形象地稱之為“斜A型”相似.

變式2 如圖3,在△ABC中,AC=9,AB=6,點E在AC上,且AE=3,點D在AB上,連接ED.若△AED與△ABC相似,則AD= .

【思路點撥】題目給出的條件是△AED與△ABC相似,沒有明確對應關系,所以要分情況討論.(1)當DE∥BC時,△ADE∽△ABC,屬于“正A型”相似,此時有[AEAC]=[ADAB],即[39]=[AD6],所以AD=2;(2)當∠AED′=∠B時,△AD′E∽

△ACB,屬于“斜A型”相似,此時有[AEAB]=[AD′AC],即[36]=[AD′9],所以AD′=4.5.故AD=2或4.5.

歸納小結學習相似三角形一定要注意對應關系,在“A型”相似中,有“正A型”相似和“斜A型”相似,當題目給出的條件只交待一個三角形與另一個三角形相似,而不明確字母的對應關系時,一定要注意分類討論,大家在學習過程中一定要注意哦!

小試牛刀

1.如圖4,路燈距離地面8米,身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點O)20米的A處,則小明的影子AM長為 米.

【授人以漁】抓住△ABM∽△OCM(“正A型”相似),利用相似三角形的對應邊成比例,列出方程,可求出小明的影長.

2.如圖5,PB、PD分別與⊙O相交于A、B、C、D四點,已知PA=2,PB=7,PC=3,則CD= .

【授人以漁】連接AC、BD,容易證得△PAC

∽△PDB(“斜A型”相似),所以[PCPB]=[PAPD],分別代入PA、PB、PC的值可求出PD的長,然后用PD-PC即可求出CD.

二、“8”型

在三角形的相似模型中,還有一類像數字“8”的圖形,我們稱之為“8型”.在具體圖形中我們又將其分為“正8型”和“斜8型”.

例2 如圖6,AB、CD相交于點O,AD∥BC,若OD=2,OC=3,AD=4,則BC的長為 .

【思路點撥】由AD∥BC可得△ADO∽

△BCO,所以[ODOC]=[ADBC],即[23]=[4BC],解之得:BC=6,所以BC的長為6.如圖6中的△AOD與△BOC相似可形象地稱之為“正8型”相似.

變式1 如圖7,AB、CD相交于點O,且∠D=∠B,若OD=6,OC=4,AB=11,且OB>OA,則OA= ,OB= .

【思路點撥】由∠D=∠B,∠AOD=∠COB得△AOD∽△COB,所以[ODOB]=[OAOC],設OA=x,則OB=11-x,所以[611-x]=[x4],解之得:x=8或3,因為OB>OA,所以OA=3,OB=8.

變式2 如圖8,CD、BE相交于點A,AC=2cm,AB=3cm,AE=4cm,AD=8cm,點F為線段AD上一點,若△AEF與△ABC相似,求AF的值.

【思路點撥】△AEF與△ABC相似,并未指明對應關系,需要分情況進行討論,當EF∥BC時,△AEF∽△ABC,屬于“正8型”相似,此時[AEAB]=[AFAC],即[43]=[AF2],所以AF=[83];當∠AEF=∠C時,△AEF∽△ACB,屬于“斜8型”相似,此時[AEAC]=[AFAB],即[42]=[AF3],所以AF=6.綜上,AF的值為[83]或6.

歸納小結學習相似一定要注意字母與字母、線段與線段之間的對應關系,在“8型”相似中,有“正8型”和“斜8型”兩種相似,當題目給出的條件敘述為:一個三角形與另一個三角形相似,一定要注意線段的對應關系,別忘了分情況討論!

小試牛刀

1.如圖9,AB∥GH∥CD,點H在BC上,AC與BD交于點G,AB=2,CD=3,則GH的長為 .

【授人以漁】由AB∥CD,得“正8型”相似:△ABG∽△CDG,所以[BGDG]=[ABCD]=[23],再由GH∥CD得“正A型”相似:△BHG∽△BCD,所以[BGBD]=[GHDC]=[25],從而問題得解.其關鍵是抓住平行,利用兩次相似,且兩次相似比中都有線段BG進行過渡.

2.如圖10,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,連接BE、AF,它們相交于點G,延長BE交CD的延長線于點H,則圖中的相似三角形共有( ).

A.2對 B.3對 C.4對 D.5對endprint

【授人以漁】抓住平行四邊形的兩組對邊分別平行,可分別找出“8型”和“A型”相似.由AB∥CH可得“正8型”相似:△ABG∽△FHG、△ABE∽△DHE;由DE∥CB可得“正A型”相似:△DHE∽△CHB;由相似的傳遞性得:△ABE∽△CHB.所以選C.

三、“K”型

在三角形的相似模型中,除了“A型”“8型”,還有一類像字母“K”的相似圖形,我們稱之為“K型”相似.

例3 如圖11,在△ADE和△BCE中,AD⊥AB,BC⊥AB,點E在AB上,且CE⊥DE,若AD=[34],BE=1,AE=2,則BC的長為 .

【思路點撥】先證得△DAE∽△EBC,再運用相似三角形的對應邊成比例列出方程求BC的值.具體思路如下:由CE⊥DE得:∠AED+∠BEC=90°,由BC⊥AB得:∠C+∠BEC=90°,所以∠AED=∠C,因為∠A=∠B=90°,所以△DAE∽△EBC,所以[ADBE]=[AEBC],即[341]=[2BC],解之得:BC=[83].

變式1 如圖12,在邊長為9的等邊三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,則AE的長為 .

【思路點撥】先證得△ABD∽△DCE,再運用相似三角形的對應邊的比列出方程求解.

具體思路如下:由∠ADE=60°得:∠ADB+∠CDE=120°,因為∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠CDE,因為∠B=∠C=60°,所以△ABD∽△DCE,[ABDC]=[BDCE],即[96]=[3CE],解之得:CE=2,所以AE的長為7.

變式2 如圖13,在四邊形ABCD中,P為AB上一點,當∠DPC=∠A=∠B=θ時,求證:AD?BC=AP?BP.

【思路點撥】證明AD?BC=AP?BP即需要證明[ADBP]=[APBC],只需證得△APD∽△BCP,由平角的定義得:∠APD+∠CPB=180°-θ,在△APD中,∠APD+∠PDA=180°-θ,所以∠PDA=∠CPB,因為∠A=∠B,所以△APD∽△BCP,從而得證.

歸納小結“K型”相似的關鍵是具備這樣的條件:在一條直線上有3個角相等,簡稱“一線三等角”.證明相似時利用平角和三角形的內角和均為180°證得一組角相等,加上條件中的另一組角相等,從而得到相似,并用相似三角形的性質解決問題.

小試牛刀

1.如圖14,已知△ABC和△DEF均為等腰直角三角形,BC=AC、DE=FE,∠C=∠E=90°,D為AB邊上的一點,將△DEF繞點D旋轉,使DF、DE分別交AC、BC于點G、H,求證:AD?BD=BH?AG.

【授人以漁】欲證AD?BD=BH?AG,即需要證明[ADBH]=[AGBD],由這個比例式可知,需要找△ADG∽△BHD,根據題目給出的條件可知∠A=∠B=∠GDH=45°,具備一條直線上有3個相等的角,可證得它們相似.

2.如圖15,在x軸的上方,直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉,若∠BOA的兩邊分別與函數y=[-1x]、y=[2x]的圖像交于B、A兩點,則∠OAB的大小的變化趨勢為( ).

A.逐漸變小 B.逐漸變大

C.時大時小 D.保持不變

【授人以漁】因為tan∠OAB=[OBOA],所以∠OAB的大小是否變化,要看[OBOA]的值是否發(fā)生變化,分別過點A、B作AN、BM垂直于x軸,垂足分別為N、M,構造“K型”相似:△BOM∽△OAN,可將([OBOA])2轉化為[S△BOMS△OAN],結合兩個反比例函數的解析式分別求出S△BOM=[12]、S△OAN=1,故[OBOA]的值保持不變,即∠OAB的大小不變.

相似三角形的基本型還有很多,如圖16中的“母子型”相似(由∠ACB=∠CDB=90°得△ACD∽△CBD∽△ABC,又可得:CB2=BD?BA、CA2=AD?AB、CD2=DA?DB);

如圖17中的“共邊型”相似(△BCD與△ACB共邊BC,且△BCD∽△ACB等價于BC2=CD?CA);

如圖18中的“共角型”相似(△ABD與△ACE有公共角∠A,再添加一個條件即可得相似)等.各位同學可以根據自己的學習經驗進行歸納,不斷小結,并在解決問題的過程中善于發(fā)現模型,在模型積累的基礎上做到靈活運用,有效提升解決問題的能力.總而言之,要想學好相似形,首先要抓住基本型.

(作者單位:江蘇省東臺市新街鎮(zhèn)中學)endprint

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