陳 浮,馬貴輝,權(quán)曉波,姜 帥

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院,哈爾濱150001; 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京100076)

航行體垂直發(fā)射過程不確定性量化方法的探討

陳 浮1,馬貴輝1,權(quán)曉波2,姜 帥1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院,哈爾濱150001; 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京100076)

在發(fā)射平臺運動、海浪及海流、氣水介質(zhì)突變、空泡潰滅等的影響下,航行體水下垂直發(fā)射呈現(xiàn)出干擾因素隨機性強、干擾量大、彈道參數(shù)變化劇烈等特點。在分析、辨識各種干擾因素的形成機制及組成結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,建立了描述航行體水下發(fā)射過程不確定度的數(shù)學(xué)模型;介紹了近年來國際上較為熱門的不確定性量化研究中的數(shù)值方法和進展,主要討論了基于多項式混沌理論的不確定度量化方法;最后,探討了未來航行體水下發(fā)射過程不確定性量化研究所面臨的一些挑戰(zhàn)和亟待解決的問題。

垂直發(fā)射航行體;不確定性量化模型;數(shù)學(xué)方法;可靠性

0 引言

采用彈射技術(shù)發(fā)射的潛射航行體,在發(fā)射平臺運動、海浪、海流、介質(zhì)突變、空泡潰滅等的影響下,其繞流流場參數(shù)及所受到的流體動力、載荷等變化劇烈,并可能導(dǎo)致彈道失穩(wěn)、結(jié)構(gòu)破壞甚至發(fā)射失敗等風(fēng)險。例如,俄羅斯 “布拉瓦”導(dǎo)彈迄今進行了21次試驗,失敗10次,其中至少5次試驗失敗是水下彈道失控,使其出水姿態(tài)偏離預(yù)設(shè)值,導(dǎo)致出水后發(fā)生墜?；蜃詺КF(xiàn)象[1]。目前可靠性最高的美國 “三叉戟II”D5導(dǎo)彈,研制早期的幾次發(fā)射失敗多是彈體尾部機械載荷過大導(dǎo)致的,有學(xué)者認為該問題至少在部分程度上與導(dǎo)彈設(shè)計時低估了彈道偏轉(zhuǎn)帶來的較大水壓載荷有關(guān)[2]。

上述資料表明,航行體彈道及出水姿態(tài)的穩(wěn)定性對飛行成敗至關(guān)重要,如果彈道離散度較大或不確定性較強,就很難在出水分離點處保證航行體姿態(tài)滿足點火起控允許的參數(shù)要求,顯著降低發(fā)射的可靠性和成功率。

1 潛射航行體水下發(fā)射過程不確定性因素的辨識

如圖1所示,潛射航行體水下發(fā)射過程具有干擾量大、干擾因素隨機性強、參數(shù)變化強烈等特點,影響彈道、運動姿態(tài)的各種不確定性因素按來源可分為發(fā)射環(huán)境及條件不確定性、系統(tǒng)不確定性兩類。

表1給出的不確定性成因分析表明,不確定性因素具有隨機性、模糊性和未確知性等特點,其微小擾動有可能給航行體水下發(fā)射過程帶來較大影響,并由此帶來彈道穩(wěn)定性差、參數(shù)散布范圍大等問題。為考察不確定性因素對航行體水下發(fā)射過程的影響,實施全尺寸、系統(tǒng)級的潛射發(fā)射試驗無疑是最可靠的手段。樣本理論表明,基于試驗結(jié)果推斷出不確定性相關(guān)信息 (如彈道的數(shù)學(xué)期望、方差等)的前提是試驗次數(shù)足夠多。如果再考慮到發(fā)射環(huán)境及條件的非重復(fù)性、新型號預(yù)研階段技術(shù)跨越大及信息缺乏等因素,評估不確定性所需的試驗次數(shù)將非常大。限于政治、經(jīng)濟及安全等原因,系統(tǒng)級試驗次數(shù)一般極少。依賴這些系統(tǒng)級試驗次數(shù)對水下發(fā)射過程中的不確定性進行分析和預(yù)測具有較大的難度。

圖1 多種不確定性因素下的航行體水下發(fā)射過程Fig.1 Launch process of underwater vehicles with multiple uncertain factors impact

表1 潛射航行體水下發(fā)射過程不確定性因素辨識Tab.1 Uncertain factors of the launch process of underwater vehicles

續(xù)表

于是,通過具有高可信度的數(shù)值建模與模擬(Modeling and Simulation,Mamp;S)實現(xiàn)航行體水下發(fā)射過程不確定性的評估和預(yù)測就成為一條有效途徑。通過Mamp;S為航行體彈道、運動姿態(tài)的穩(wěn)定性及可靠性提供量化依據(jù),需要在探索不確定度因素的組成結(jié)構(gòu)及其量化理論的基礎(chǔ)上對不確定性因素進行量化。不確定性量化(Uncertainty Quantification,UQ)指通過辨識不確定性因素的組成結(jié)構(gòu),利用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)方法,定量描述和減少被預(yù)測系統(tǒng) (航行體)行為不確定性的科學(xué)。基于UQ的Mamp;S任務(wù)的本質(zhì)是通過構(gòu)建系統(tǒng)狀態(tài)及工作環(huán)境與系統(tǒng)性能之間復(fù)雜而又確定的物理關(guān)系,研究并量化系統(tǒng)狀態(tài)及工作環(huán)境的不確定度所引起的系統(tǒng)性能不確定度,進而得到系統(tǒng)性能的不確定度度量[10-11]。

2 UQ數(shù)學(xué)方法概述

不確定性可分為物理不確定性、輸入?yún)?shù)不確定性、模型形式不確定性和預(yù)測不確定性等4類,或分為偶然不確定性和認知不確定性兩類[12-13]。后者是目前學(xué)術(shù)界廣泛認可的分類方式。

自20世紀末以來,UQ研究得到了眾多研究者的高度重視,成為重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向[14-15]。例如,美國能源部 (DOE)[16]及其所屬的三 大 核 武 器 試 驗 室[17-19]、 航 空 航 天 局(NASA)[20]、航空航天學(xué)會(AIAA)[21]等開展了基于UQ理論的復(fù)雜工程Mamp;S的模型驗證與確認研究工作;歐盟在航空、航天領(lǐng)域啟動了若干不確定性分析的研究計劃[22]。國內(nèi)也開展了相應(yīng)的研究工作[23-26],并取得了一些較好的成果,但仍處于起步階段。

Mamp;S中的UQ方法可分為概率法和非概率法[27]。作為概率法的一種,基于多項式混沌理論(Polynomial Chaos Expansion,PCE)的隨機譜法(Stochastic Spectral Methods,SSM)被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、熱科學(xué)等領(lǐng)域的UQ研究中。PCE源于Wiener[28]在對布朗運動的隨機過程研究中提出的齊次混沌法。Cameron等[29]證明Hermite多項式混沌展開可收斂于具有有限2階矩的任意隨機過程。Ghanem等[30]證明了多維概率空間中的Hermite多項式可構(gòu)成一族正交基,基于該多項式的混沌展開具有均方收斂特征,并首次將這種隨機變量譜展開法應(yīng)用于固體力學(xué)有限元分析的UQ研究中。Ghanem[31]通過等概率法將接近正態(tài)分布的隨機變量轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布,并利用Hermite多項式展開處理該類變量的不確定性。Xiu等[32]擴展了基于Gauss變量的Hermite多項式展開,提出了廣義多項式混沌法。其基本思想是在隨機參數(shù)空間用PCE構(gòu)成無窮級數(shù)項展開式逼近隨機變量。設(shè)概率空間(Ω,F,P),令Ω為樣本空間,F為Ω上的σ代數(shù),P:F→[0,1]為可測區(qū)間(Ω,F)的概率測度,若概率空間內(nèi)描述某不確定物理過程θ∈Ω的一組隨機變量為ξ(θ)={ξ1(θ),ξ2(θ),…,ξN(θ)}T,則任一定義于該空間的隨機變量y[r,t,ξ(θ)]的多項式混沌展開式可寫為:

基于PCE的SSM包括隨機Galerkin法(Stochastic Galerkin Method,SGM)和隨機配置法(Stochastic Collocation Method,SCM)。其中, SCM是當(dāng)今較為流行的UQ方法,它是一種非嵌入式算法,將原有數(shù)學(xué)模型視為 “黑盒子”,在隨機空間采用抽樣或其他方法選取輸入?yún)?shù)作為樣本,通過計算與這些特殊樣本對應(yīng)的確定性問題,并將它們的解作為樣本信息來構(gòu)造高精度的PCE,進而獲得輸出結(jié)果的統(tǒng)計特征,評估輸入?yún)?shù)或計算條件不確定性的傳播影響。由于SCM將需要求解的隨機問題分解為一系列特殊樣本點上的確定性問題,因而可以調(diào)用確定性問題求解器,與確定性問題的兼容性使得SCM在復(fù)雜隨機問題分析中得到廣泛應(yīng)用。例如,Walters[36]在隨機變量空間采用抽樣方法選取輸入?yún)?shù)作為求解PCE系數(shù)的樣本。Hosder等[37]給出了SCM在隨機流動中的多個應(yīng)用。

SCM的計算精度和速度極大地依賴于配置點的選取。在多維隨機空間中,基于張量積的選點策略[38]簡單直接,但會導(dǎo)致嚴重的 “維度災(zāi)難”問題,即所需要的張量積節(jié)點個數(shù)隨著隨機空間維數(shù)、PCE階數(shù)的增長而呈指數(shù)上升,要求提供的樣本數(shù)非常巨大,考慮到對于每一個樣本都需要求解與原隨機問題同等規(guī)模的確定問題,這使得SCM的計算耗費極為高昂,甚至不可接受。為了克服維度災(zāi)難問題,概率配置法(Probabilistic Collocation Method,PCM)被引入到UQ計算當(dāng)中[39],它的主要思想是在高斯積分點中選取配置點,計算隨機系統(tǒng)的響應(yīng)量,然后再映射到PCE模型上。Villadsen等[40]證明了在一維情況下以正交多項式的根作為配置點的PCM可以推廣到多維空間。Loeven等[41]發(fā)展了用Lagrange插值多項式構(gòu)造隨機變量的PCM,可以在保證計算精度的情況下減少計算量,提高效率。Wang等[42]采用PCM對某壓氣機轉(zhuǎn)子進行了魯棒優(yōu)化,在提高轉(zhuǎn)子氣動特性的同時降低了其對不確定性條件的敏感性。Ammaro等[43]采用Monte Carlo法和PCM分析了進口壓力變化導(dǎo)致的氣膜有效度及葉片壽命的不確定性變化。趙軻等[44]進行了基于PCM的翼型不確定性分析及其穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。在高維隨機問題中,由于多維隨機空間正交多項式的根的數(shù)量遠多于配置點數(shù)量,如何從龐大的根集中選取子集作為PCM的配置點,至今仍沒有成熟理論。近年來稀疏網(wǎng)格配置法(Sparse Grid Collocation Methods,SGCM)由于具有配置點個數(shù)少,有著嚴格數(shù)學(xué)理論保證計算精度等特點而得到廣泛應(yīng)用[45-46]。

對于復(fù)雜系統(tǒng)的Mamp;S來說,輸入?yún)?shù)的不確定性以偶然和認知不確定性耦合在一起的混合型不確定性為主。當(dāng)存在認知不確定性時,基于概率論的UQ方法不適于開展不確定性分析,需要用混合模型描述不確定性變量。例如,隨機-模糊模型、隨機-區(qū)間模型、概率-模糊-區(qū)間模型等。概率盒[27](Probability Box,P-Box)是一種概率和區(qū)間的混合模型,該模型用區(qū)間表達認知不確定性,可用于描述混合型不確定性問題,現(xiàn)有的概率模、區(qū)間數(shù)和證據(jù)結(jié)構(gòu)等可直接轉(zhuǎn)換為P-Box的形式,在復(fù)雜系統(tǒng)的不確定性分析中具有良好的應(yīng)用前景。Jiang等[47]用P-Box對認知不確定性進行建模,提出了統(tǒng)一不確定性分析模型,研究了極限狀態(tài)方程的雙重迭代模型。Zhang等[48]離散化處理P-Box變量,提出了基于區(qū)間Monte Carlo法的結(jié)構(gòu)可靠性統(tǒng)一分析模型。Yang等[49]提出了可處理包含隨機變量和P-Box的混合可靠性分析方法。

3 航行體水下發(fā)射過程Mamp;S中的UQ模型建立

目前,航行體水下發(fā)射過程的Mamp;S方法包括:根據(jù)導(dǎo)彈水下受力及力矩,建立水下運動數(shù)學(xué)模型;基于CFD理論、有限體積法及動網(wǎng)格技術(shù),建立水下運動耦合仿真模型。其中,后者對于航行體水下發(fā)射過程涉及的多相流問題及流體動力問題有著良好的求解能力,適于建立水下環(huán)境模型和航行體運動模型的綜合模擬系統(tǒng),實現(xiàn)多種環(huán)境因素綜合作用與航行體運動的耦合計算,使得仿真結(jié)果更接近于實際情況。限于問題的非線性、非定常性特點,關(guān)于多相流體運動與多自由度剛體運動耦合求解的航行體水下發(fā)射過程Mamp;S方面的研究成果不但較為少見,而且?guī)缀醵紝儆诖_定性研究,即采用確定的模型、邊界條件和求解方法進行數(shù)值模擬及結(jié)果分析工作,并沒有考慮發(fā)射條件及環(huán)境 (如發(fā)射平臺的航速及航深、隨機浪-流參數(shù)等)不確定性、數(shù)學(xué)模型形式不確定性、數(shù)值模擬不確定性以及各種不確定性的傳播等對航行體水下彈道、出水姿態(tài)等的影響。例如,Saranjam[50]利用流動控制方程與運動方程耦合求解方法研究了航行體自由飛行時的超空泡演化過程。楊曉光等[51]利用動網(wǎng)格技術(shù)等航行體六自由度水下運動及出水過程進行了數(shù)值模擬,分析了發(fā)射平臺運動、波浪、自由液面等因素對航行體運動學(xué)及動力學(xué)特性的影響。鮑文春等[52]采用VOF模型及動網(wǎng)格技術(shù),針對航行體排氣水下發(fā)射過程展開研究,獲得了航行體排氣水下運動過程表面壓力分布特性及氣泡形成演化規(guī)律。

由于物理過程的復(fù)雜性及認知不足,航行體水下發(fā)射過程的Mamp;S始終存在著不確定性,無法真實、完整地反映其流體動力學(xué)特征,使得彈道、運動姿態(tài)等參數(shù)的準確預(yù)測和分析變得極為困難。國內(nèi)外相關(guān)文獻調(diào)研結(jié)果表明,基于UQ理論的航行體流體動力學(xué)參數(shù)的預(yù)測和評估方面的研究工作幾乎是空白,存在著許多亟待解決的問題。例如,如何構(gòu)建可描述浪-流-大氣耦合效應(yīng)的隨機參數(shù)分布特征的數(shù)學(xué)模型,如何通過高精度量化方法、靈敏度分析方法等緩解 “維度災(zāi)難”問題,如何解決復(fù)雜系統(tǒng)混合型不確定性輸入?yún)?shù)的分析和量化問題等。

設(shè)與航行體系統(tǒng)狀態(tài) (如幾何尺寸、物性參數(shù)等)有關(guān)的參數(shù)滿足表達式τ(r)=0,其中r為空間坐標;隨時空變化的發(fā)射條件及環(huán)境參數(shù)滿足式f(r,t)=0,其中t為時間;用于描述航行體水下發(fā)射過程的流體力學(xué)及運動學(xué)參數(shù)組為ξf(r,t),ξk(r,t);反映流體性質(zhì)間關(guān)系的物理模型 (如本構(gòu)方程、湍流模型、多相流模型等)、與航行體受力有關(guān)的經(jīng)驗公式或假設(shè)寫為ηf[ξf(r,t)]=0,ηk[ξk(r,t)]=0。于是,航行體水下發(fā)射過程的多物理場耦合的非線性偏微分方程組與常微分方程組可寫為

其中,L·[]為包含時空微分的算子,描述了建立在普遍物理規(guī)律之上的流體力學(xué)與運動學(xué)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

圖2給出了航行體水下發(fā)射過程Mamp;S中不確定性因素的組成結(jié)構(gòu)。輸入?yún)?shù)τ(r)=0、f(r,t)=0的不確定性是觀測、統(tǒng)計過程中產(chǎn)生的,稱輸入?yún)?shù)不確定性,一般屬于偶然和認知不確定性耦合的混合型不確定性。物理模型η[ξ(r,t)]=0及方程組L[ξ(r,t)]=0的不確定性是構(gòu)造數(shù)學(xué)或力學(xué)模型過程中產(chǎn)生的,由于對反映物理行為的客觀規(guī)律認知不足或為降低它們的復(fù)雜度而引入簡化假設(shè)導(dǎo)致,是認知不確定性。輸出參數(shù)組ξ(r,t)的不確定性來源有3個:1)輸入?yún)?shù)及模型形式不確定性在Mamp;S過程中引起的不確定性傳播;2)應(yīng)用離散數(shù)學(xué)方法求解微分方程組時引起的數(shù)值模擬不確定度,與計算域及方程的離散方法、求解算法等有關(guān);3)上述兩類不確定性間的非線性耦合作用產(chǎn)生的不確定性。

圖2 潛射航行體水下發(fā)射過程Mamp;S中的不確定性組成結(jié)構(gòu)Fig.2 The composition of uncertainty within the Mamp;S of vehicle's launch process

基于上述討論,潛射航行體水下發(fā)射過程Mamp;S中的UQ模型可寫為

其中,U1·[]是與航行體狀態(tài)、發(fā)射條件及環(huán)境有關(guān)的不確定度,其表達式取決于統(tǒng)計結(jié)果、認知水平,源于對物理對象描述不精確;U2·[]是與數(shù)學(xué)或力學(xué)模型構(gòu)造有關(guān)的不確定度,其函數(shù)形式取決于建模時所認知的科學(xué)理論,源于建模時沒有精確反映客觀對象的物理本質(zhì);U3·[]是數(shù)值模擬過程中產(chǎn)生的不確定度,其數(shù)學(xué)描述取決于數(shù)值離散方法,源于不確定性的傳播、數(shù)學(xué)求解方法沒有準確求解微分方程組以及諸多不確定性因素間的耦合效應(yīng)等。

4 結(jié)論

潛射航行體水下發(fā)射過程是一個多物理場耦合的復(fù)雜物理演化過程,涉及流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、多相流體力學(xué)、運動學(xué)等多個學(xué)科。描述這一復(fù)雜過程的數(shù)學(xué)模型是非線性流體力學(xué)方程組與運動學(xué)方程組耦合在一起的不確定性微分方程組。因此,在深入探討表征航行體水下發(fā)射過程中不確定性因素的組成結(jié)構(gòu)、量化分析及傳播機制的新理論、新方法的基礎(chǔ)上,定量分析不確定性參數(shù)的分布特征及其數(shù)學(xué)描述對航行體流體動力學(xué)參數(shù)的影響,實現(xiàn)對彈道、運動姿態(tài)等的準確分析、評估及較高可信度預(yù)測,并為判斷不確定性因素誘發(fā)彈道失控模式提供數(shù)據(jù)支持,不但是航行體水下發(fā)射技術(shù)研究的一個重要方向,而且可為具有較高的可靠性、穩(wěn)定性及作戰(zhàn)效能的新型航行體研制奠定良好基礎(chǔ),極具理論價值和工程應(yīng)用意義。

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Discuss of Mathematical Methods for Uncertainty Quantification in Motion Process of Vertical Launched Underwater Vehicle

CHEN Fu1,MA Gui-Hui1,QUAN Xiao-Bo2,JIANG Shuai1
(1.School of Energy Science and Engineering,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China; 2.Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering,Beijing 100076,China)

Considering the influential factors,such as the mobile launching platform,ocean currents and waves,the variation of the parameters of water and air,cavity collapse,the interfering factors are random and significant,and the parameters of the ballistic trajectory change so much when a vehicle is launched under water.Firstly in this paper,based on the analysis and identification of the mechanism as well as the composition structure of the various interfering factors,the uncertainty quantification model of motion process of the underwater vehicle is established.Then, the recent progress on the mathematical methods for uncertainty quantification is reviewed briefly, the emphasis will be a method based on generalized polynomial chaos.Also,some challenging and open problems for the uncertainty quantification research in motion process of launched vehicles under water will be discussed.

Vehicles under water;Uncertainty quantification model;Mathematical methods;Reliability

O352

A

2096-4080(2017)04-0065-08

2017-09-13;

2017-11-03

國家自然科學(xué)基金(51679005)

陳浮(1970-),男,博士,教授,主要研究方向為多相耦合流動仿真、不確定性量化。Email:chenfu@hit.edu.cn