福建 黃清波

含參數(shù)的線性規(guī)劃處理方法

福建 黃清波

線性規(guī)劃問題是高考的一個命題熱點，其題型靈活多樣，試題內(nèi)容活潑、新穎.其中探究約束條件或線性目標函數(shù)中參數(shù)的取值(或范圍)，既是一個難點，又是一個?？键c.高考對這類問題的考查可謂常考常新.學生解決這類問題之所以感覺困難，主要是因為這類問題含有參數(shù)從而使得要解決的問題處于動態(tài)變化之中，學生要么不知如何動筆，要么針對參數(shù)進行分類討論時對變化因素考慮不周全而出錯.對此，筆者通過對這一類題進一步分類及剖析，以期突破這一難點.

【類型一】目標函數(shù)中含有參數(shù)

【分析】先畫出可行域，得到交點坐標，再對k進行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點，即可求解.

解：約束條件所表示的區(qū)域為如圖所示的陰影部分，其中點A(4,4)，B(0,2)，C(2,0).

綜上所述，k=2.

( )

A.0 B.-2

C.1 D.-1

【分析】先畫出可行域，利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個，結(jié)合圖形，確定a的取值即可得到結(jié)論.

解：約束條件所表示的區(qū)域為如圖所示的陰影部分，因為z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個，所以-a=1.所以當x=1,y=0或x=0,y=-1時，z=ax+y=-x+y有最小值-1，所以ax+y+1的最小值是0，故選A.

( )

A.5 B.4

【小結(jié)】目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線的斜率有關(guān)，這類問題還有另一個特征，就是其最優(yōu)解是可知的(一個、兩個或無窮多個)，因此解題時可充分利用斜率的特征加以轉(zhuǎn)化.并且要特別注意目標函數(shù)中參數(shù)的位置，如目標函數(shù)是z=kx+y還是z=x+ky，這決定目標函數(shù)對應(yīng)直線平移的方向是向上還是向下.

【類型二】約束條件中含有參數(shù)

( )

A.2 B.1

C.-1 D.-2

【分析】逆向思維，從結(jié)論入手，將目標函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1當成已知條件，對應(yīng)于直線2x+y=7和2x+y=1，結(jié)合已知條件對應(yīng)的直線x=1和x+y=4，通過作圖與求解即可確定使得目標函數(shù)z=2x+y取得最大值與最小值的點M和N，然后將這兩點的坐標代入直線ax+by+c=0，即可確定a,b,c之間的關(guān)系，進而使得問題得以順利求解.

【點評】本題的求解方式是把結(jié)論看成已知，從已知求未知，打破了從正面入手根據(jù)圖形找到使得目標函數(shù)取得最值的點來確定函數(shù)最值的常規(guī)求解思路，逆向思考問題，收到化繁為簡、化難為易的解題效果.適時利用逆向思維解題，可以拓寬解題思路，加深對知識的理解和掌握，提高靈活運用知識的能力.

【分析】先畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論.

( )

A.10 B.12

C.14 D.15

【分析】先畫出可行域，利用目標函數(shù)z=3x+y的最小值為5，建立條件關(guān)系即可求出c的值，然后求最大值即可.

解：當z=3x+y取最小值為5時，有3x+y=5，

【小結(jié)】約束條件中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，這時含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，此時就要根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢，確定區(qū)域的可能形狀，因此，增加了解題時畫圖分析的難度.求解這類問題時要有全局觀念，結(jié)合目標函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向.

【類型三】目標函數(shù)、約束條件中都含有參數(shù)

( )

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

【分析】由約束條件作出可行域，然后對a進行分類，利用數(shù)形結(jié)合分類討論建立方程關(guān)系即可求出a的值.

解：當a=0時，顯然不滿足題意.

綜上，a的值為3，故選B.

( )

C.(1,3)

D.(3,+∞)

福建省南安市國光第二中學)