江蘇 周永興

從課本習(xí)題到高考試題

江蘇 周永興

一、提出問題

二、理論依據(jù)及兩個(gè)變形

問題2：(蘇教版必修四教材89頁12題)求證：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，如何構(gòu)造一個(gè)圖形解釋這個(gè)公式的幾何意義？

證明：只研究a,b不共線的情形.

這表明，平行四邊形對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.

向量是連接代數(shù)和幾何的橋梁，極化恒等式源于教材又高于教材，它最初出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)中的泛函分析，它的巧妙之處在于建立了向量和幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的有機(jī)結(jié)合，在解決與數(shù)量積有關(guān)的問題,特別是共起點(diǎn)的向量數(shù)量積的最值問題中有著獨(dú)特的作用，也越來越受到各種命題老師的青睞.

三、問題1的解決

解法1：引進(jìn)一組基底，轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算

解法2：特殊化，坐標(biāo)法思想

解法3：用極化恒等式，將向量問題幾何化

四、教材相關(guān)題再現(xiàn)

問題3：(蘇教版必修四教材98頁20題)設(shè)a,b,c都是單位向量，且a·b=0，求(c-a)·(c-b)的最小值.

五、近五年各地高考題鏈接

其實(shí),“極化恒等式”在高考數(shù)學(xué)試卷中的出現(xiàn)早就不是第一次了,請(qǐng)看以下幾個(gè)高考題：

( )

A.1 B.2

C.3 D.5

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

江蘇省前黃高級(jí)中學(xué))