河北 田衛(wèi)東

定義在左，計(jì)算在右
——用結(jié)論求解幾例拋物線的高考試題

河北 田衛(wèi)東

在歷年的全國(guó)高考試題中，頻繁地考查了與拋物線定義有關(guān)的題目，對(duì)于其中有些題目的解答，我們往往更側(cè)重運(yùn)用坐標(biāo)法解決，因而運(yùn)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有時(shí)效果不佳．筆者經(jīng)過對(duì)拋物線定義的深入分析研究，并參考部分教學(xué)資料，得到了關(guān)于拋物線的一些重要結(jié)論，用這些結(jié)論求解與拋物線定義有關(guān)的高考題，尤其是選擇填空題，則會(huì)事半功倍，效果非常好．下面將整理得到的部分結(jié)論及相關(guān)高考試題的解答過程呈獻(xiàn)給各位讀者，如有不當(dāng)之處，還請(qǐng)批評(píng)指正．

一、所得常見結(jié)論

如圖，我們以拋物線y2=2px(pgt;0)為例：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)為拋物線上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A，M，B在準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，M1，B1，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線AB經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為θ．

(7)M1F⊥AB．

(9)∠A1FB1=90°，以A1B1為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)F．

(10)設(shè)AM1交y軸于點(diǎn)E，BM1交y軸于點(diǎn)N，則A1，E，F(xiàn)及B1，N，F(xiàn)分別三點(diǎn)共線，且AM1⊥A1F，BM1⊥B1F，即四邊形EFNM1為矩形．

(11)M1A∥B1F，M1B∥A1F．

(12)以AF，BF為直徑的圓與y軸分別相切于點(diǎn)E,N．

(14)AM1平分∠A1AF，BM1平分∠B1BF；A1F平分∠AFO，B1F平分∠BFO．

(15)設(shè)MM1交拋物線于點(diǎn)Q，則|M1Q|=|QM|，|AB|=4|FQ|．

(16)設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)K，則A，Q，K三點(diǎn)共線，且FK是∠AKB的平分線．

(19)①A，F(xiàn)，B共線；②A，O，B1共線；③BB1∥x軸，若其中任意兩個(gè)作為條件，則能推出第三個(gè)成立．

(20)M1A與M1B是拋物線的切線，或者說(shuō)以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)的兩條切線互相垂直且交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．

二、部分結(jié)論的簡(jiǎn)要證明及解釋

∴∠AM1M=∠M1AM，

∵M(jìn)1M∥A1A，∴∠A1AM1=∠AM1M，

∴∠A1AM1=∠M1AM，

∴△AA1M1≌△AFM1，∴∠AFM1=∠AA1M,

∴M1F⊥AB，即結(jié)論(7)成立．

同理可證△BB1M1≌△BFM1，

∴∠B1M1B=∠FM1B，

又∵∠A1M1A=∠FM1A，∴∠AM1B=90°，

∴在Rt△AM1B中，

再結(jié)合直線與圓相切的條件，易得結(jié)論(8)、(9)．

由△AEA1≌△AEF可得A1E=EF，

而EN∥A1K，OK=OF，∴A1,E,F三點(diǎn)共線，

且AM1⊥A1F，同理可證B1,N,F三點(diǎn)共線,

且BM1⊥B1F，

∴四邊形EFNM1為矩形，結(jié)論(10)成立．

∵∠A1M1A=∠AM1F=∠M1BA=∠M1BB1=∠M1B1N，

∴M1A∥B1F，同理M1B∥A1F，即結(jié)論(11)成立．

∵E為線段A1F的中點(diǎn)，且∠AEF=90°，

∴以AF為直徑的圓與y軸相切于點(diǎn)E，結(jié)論(12)成立．

∵M(jìn)1F⊥AB，MG⊥AB，∴M1F∥MG，

而M1M∥FG，∴四邊形FGMM1是平行四邊形，

即結(jié)論(13)成立．由上述證明過程易知結(jié)論(14)成立．

在Rt△M1FM中，∵|QF|=|M1Q|，

∴Q為M1M的中點(diǎn)，|AB|=2|M1M|=4|FQ|，

∴結(jié)論(15)成立．

∴△AA1K∽△BB1K，∴∠B1BK=∠A1AK，

∴∠BKF=∠AKF，

∴結(jié)論(16)成立，也可用解析法證明此結(jié)論，

通過坐標(biāo)關(guān)系可證tan∠AKF=tan∠BKF成立．

由拋物線的定義可知結(jié)論(17)顯然成立．

得y2-2pky-p2=0，由此可知y1y2=-p2，

故結(jié)論(18)成立，這是拋物線焦點(diǎn)弦的一個(gè)重要結(jié)論，各種參考資料上都會(huì)見到它．

在結(jié)論(19)中，我們不妨以①，③作為條件，證明②成立．

由A，F(xiàn)，B共線可得y1y2=-p2，

即k也是直線OA的斜率，所以直線AB1經(jīng)過原點(diǎn)O．

下面證明結(jié)論(20)，

設(shè)P為拋物線y2=2px(pgt;0)準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，

直線PA，PB與該拋物線分別切于A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則PA的方程：yy1=p(x+x1)，

PB的方程：yy2=p(x+x2)，

三、利用結(jié)論簡(jiǎn)解與定義有關(guān)的拋物線高考題(全國(guó)卷)

( )

解：由結(jié)論(3)可得答案為C．

( )

3．(2009·全國(guó)卷Ⅱ理9)已知直線y=k(x+2)(kgt;0)與拋物線C:y2=8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=

( )

解：如圖，設(shè)點(diǎn)B到x軸的距離為h，

∵|FA|=2|FB|，∴|A1A|=2|B1B|，

∴B為AK的中點(diǎn)，∴OB∥FA，且|FA|=2|OB|，

∴|OB|=|FB|，∴∠AFx=∠BFO=θ，

∵|FA|=2|FB|，

( )

5．(2013·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ文10)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn)．若|AF|=3|BF|，則l的方程為

( )

A．y=x-1或y=-x+1

6．(2013·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ理11)設(shè)拋物線C:y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為

( )

A．y2=4x或y2=8x

B．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16x

D．y2=2x或y2=16x

解：如圖所示，由結(jié)論(10)可知E為線段M1F的中點(diǎn)，

∵|OE|=2，∴|M1K|=4，

即p=2或p=8，∴C的方程為y2=4x或y2=16x，故選C．

7．(2014·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ理10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為

( )

8．(2014·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ文10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=

( )

9．(2016·全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ20)已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)，若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ．

解：由結(jié)論(11)的證明過程可證此題．

說(shuō)明：由于篇幅所限，大部分題目未能用坐標(biāo)法給出解題過程，各位讀者可以自行運(yùn)用坐標(biāo)法求解并加以分析比較．

四、一些感悟和建議

河北昌黎第一中學(xué))