郭建宏

摘 要：文章建立了碰撞沖擊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，利用模態(tài)疊加的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)周期解解析表達(dá)式，對(duì)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬。建立該碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré映射[1]，通過(guò)對(duì)其線性化矩陣計(jì)算判斷周期解的穩(wěn)定性[2]，最后對(duì)系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)通向混沌的過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真。

關(guān)鍵詞：碰撞沖擊；周期運(yùn)動(dòng)；Poincaré映射；混沌

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2017）35-0029-02

通常在機(jī)械系統(tǒng)中由于結(jié)構(gòu)的需要或者疲勞磨損會(huì)使零部件之間出現(xiàn)一定的間隙[3]，加上機(jī)械系統(tǒng)的本身振動(dòng)致使這些零部件之間產(chǎn)生碰撞振動(dòng)。碰撞振動(dòng)作為典型的非光滑動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的研究對(duì)疲勞磨損和非光滑因素的確定具有一定的指導(dǎo)意義。如齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，具有后座特性的槍炮，船舶的系留機(jī)構(gòu)，機(jī)器人操作器與環(huán)境接觸和脫離的過(guò)程等。此類系統(tǒng)可以抽象為兩個(gè)質(zhì)量塊之間通過(guò)一個(gè)帶有彈簧-阻尼支撐發(fā)生碰撞，這類系統(tǒng)的向量場(chǎng)是連續(xù)的[4]，但由于間隙和彈性約束引起的剛度突變，從而使系統(tǒng)的向量場(chǎng)的Jacobian矩陣不連續(xù)，因此也稱為連續(xù)非光滑系統(tǒng)[5-6]。深入研究這些具有間隙和運(yùn)動(dòng)約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)了解振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理具有非常重要的意義。

1 動(dòng)力學(xué)模型及其微分方程

3 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬如圖1所示的單自由度分段線性非光滑彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并研究系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性。在圖1所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，在分界面處x=B處取無(wú)量綱系統(tǒng)參數(shù)：m=1，k1=0.08，k2=1，c1=0.05，c2=0.004，B=0.1。為了描述系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的過(guò)程，需要配合相平面圖，Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖進(jìn)行分析振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。如圖2是振動(dòng)系統(tǒng)在激勵(lì)作用下激振頻率？棕分別取2.2823，2.4388，2.4788，2.5123時(shí)，系統(tǒng)相應(yīng)的的相圖和Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖。從圖中可以看出，？棕從初始值起系統(tǒng)開(kāi)始處于穩(wěn)定的周期一運(yùn)動(dòng)，在？棕=2.2823時(shí)系統(tǒng)發(fā)生如圖（a）所示的周期一運(yùn)動(dòng)。但是隨著？棕的不斷增大，振動(dòng)系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入到多周期階段。在？棕=2.4388時(shí)系統(tǒng)處于如圖（b）所示的周期二運(yùn)動(dòng)，當(dāng)？棕=2.4788時(shí)系統(tǒng)處于如圖（c）所示的周期四運(yùn)動(dòng)，隨著？棕的繼續(xù)增大，在？棕=2.5123時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，如圖（d）所示。由此可見(jiàn)，對(duì)于單自由度的線性非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期，運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性都要受到很多因素的制約。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文選取了一個(gè)單自由度的振子與彈性約束發(fā)生碰撞時(shí)的力學(xué)模型，截取系統(tǒng)碰撞前后的瞬時(shí)狀態(tài)為Poincaré截面，其中Poincaré映射是只含有相位角變量的一維映射；通過(guò)研究單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，進(jìn)而證明了這種非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一般為多參數(shù)系統(tǒng)，參數(shù)的變化將會(huì)引起系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)本質(zhì)相應(yīng)的發(fā)生變化，對(duì)單自由度系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)理論有了更深的了解。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅冠煒，謝建華，孫訓(xùn)方.兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)與穩(wěn)定性[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2000（03）.

[2]羅冠煒.碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜分岔與混沌[J].工程力學(xué)增刊，2001.

[3]丁旺才，謝建華.碰撞振動(dòng)系統(tǒng)分岔與混沌的研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2006，35（4）：513-524.

[4]張惠，丁旺才，李飛.兩自由度含間隙和預(yù)緊彈簧碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析[J].工程力學(xué)，2011，3：32-40.

[5]G.W.Luo.Dynamics of an impact-forming machine.International Journal of Mechanical Sciences，48（2006）1295-1313.endprint