郭建宏
摘 要:文章建立了碰撞沖擊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,利用模態(tài)疊加的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)周期解解析表達(dá)式,對(duì)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬。建立該碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré映射[1],通過(guò)對(duì)其線性化矩陣計(jì)算判斷周期解的穩(wěn)定性[2],最后對(duì)系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)通向混沌的過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值仿真。
關(guān)鍵詞:碰撞沖擊;周期運(yùn)動(dòng);Poincaré映射;混沌
中圖分類號(hào):O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):2095-2945(2017)35-0029-02
通常在機(jī)械系統(tǒng)中由于結(jié)構(gòu)的需要或者疲勞磨損會(huì)使零部件之間出現(xiàn)一定的間隙[3],加上機(jī)械系統(tǒng)的本身振動(dòng)致使這些零部件之間產(chǎn)生碰撞振動(dòng)。碰撞振動(dòng)作為典型的非光滑動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的研究對(duì)疲勞磨損和非光滑因素的確定具有一定的指導(dǎo)意義。如齒輪傳動(dòng)系統(tǒng),具有后座特性的槍炮,船舶的系留機(jī)構(gòu),機(jī)器人操作器與環(huán)境接觸和脫離的過(guò)程等。此類系統(tǒng)可以抽象為兩個(gè)質(zhì)量塊之間通過(guò)一個(gè)帶有彈簧-阻尼支撐發(fā)生碰撞,這類系統(tǒng)的向量場(chǎng)是連續(xù)的[4],但由于間隙和彈性約束引起的剛度突變,從而使系統(tǒng)的向量場(chǎng)的Jacobian矩陣不連續(xù),因此也稱為連續(xù)非光滑系統(tǒng)[5-6]。深入研究這些具有間隙和運(yùn)動(dòng)約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)了解振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理具有非常重要的意義。
1 動(dòng)力學(xué)模型及其微分方程
3 數(shù)值模擬
數(shù)值模擬如圖1所示的單自由度分段線性非光滑彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),并研究系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性。在圖1所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中,在分界面處x=B處取無(wú)量綱系統(tǒng)參數(shù):m=1,k1=0.08,k2=1,c1=0.05,c2=0.004,B=0.1。為了描述系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的過(guò)程,需要配合相平面圖,Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖進(jìn)行分析振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。如圖2是振動(dòng)系統(tǒng)在激勵(lì)作用下激振頻率?棕分別取2.2823,2.4388,2.4788,2.5123時(shí),系統(tǒng)相應(yīng)的的相圖和Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖。從圖中可以看出,?棕從初始值起系統(tǒng)開(kāi)始處于穩(wěn)定的周期一運(yùn)動(dòng),在?棕=2.2823時(shí)系統(tǒng)發(fā)生如圖(a)所示的周期一運(yùn)動(dòng)。但是隨著?棕的不斷增大,振動(dòng)系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入到多周期階段。在?棕=2.4388時(shí)系統(tǒng)處于如圖(b)所示的周期二運(yùn)動(dòng),當(dāng)?棕=2.4788時(shí)系統(tǒng)處于如圖(c)所示的周期四運(yùn)動(dòng),隨著?棕的繼續(xù)增大,在?棕=2.5123時(shí)系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng),如圖(d)所示。由此可見(jiàn),對(duì)于單自由度的線性非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程,振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期,運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性都要受到很多因素的制約。
4 結(jié)束語(yǔ)
本文選取了一個(gè)單自由度的振子與彈性約束發(fā)生碰撞時(shí)的力學(xué)模型,截取系統(tǒng)碰撞前后的瞬時(shí)狀態(tài)為Poincaré截面,其中Poincaré映射是只含有相位角變量的一維映射;通過(guò)研究單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,進(jìn)而證明了這種非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一般為多參數(shù)系統(tǒng),參數(shù)的變化將會(huì)引起系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)本質(zhì)相應(yīng)的發(fā)生變化,對(duì)單自由度系統(tǒng)的碰撞振動(dòng)理論有了更深的了解。
參考文獻(xiàn):
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