段太鋼，吳雙惠，金華蓉，卜銀娜，寇華壘

（許繼電氣股份有限公司，河南 許昌 461000）

0 引 言

數(shù)字化變電站是近年來高速發(fā)展的新興技術(shù)，是未來電網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展趨勢。采樣值報文在數(shù)字化變電站中占據(jù)非常重要的地位。過程層電子互感器采集電流電壓信號后，通過光纖將采樣值報文傳輸給間隔層及站控層設(shè)備。目前，國際電工委員會（IEC）已經(jīng)制定了電子式電壓互感器標準 GB／T 20840.7-2007［1］和電子式電流互感器標準 GB／T 20840.8-2007［2］，對基于光纖串口的采樣值報文傳輸進行了規(guī)范。SAC／TC 57制定了 DL／T 860.91［3］和DL／T 860.92［4］標準，對基于光纖網(wǎng)口的采樣值報文傳輸進行了規(guī)范。這些標準有利于實現(xiàn)變電站綜合自動化系統(tǒng)的標準化和互操作性。

限于智能設(shè)備的處理能力和網(wǎng)絡(luò)設(shè)備的吞吐能力，IEC 61850規(guī)定的采樣值報文采樣率較低。有每周波40點、80點、160點、256點等速率，一般采用每周波80點。相對于傳統(tǒng)電量信號每周波1 000點以上的采樣率非常低。顯然，在低采樣率的情況下，非整周期采樣問題更為明顯，直接導(dǎo)致傅里葉變換的頻譜泄露現(xiàn)象和柵欄效應(yīng)更為嚴重［5］。這都將嚴重影響頻域分析的準確度，特別是對相位精度的影響很大。

現(xiàn)有方法大多是通過加窗插值傅里葉變換減小這種誤差［6-10］，只考慮了頻率偏差對結(jié)果的影響。實際上，從不同的相位開始截取數(shù)據(jù)分析，對結(jié)果的影響也是不一樣的。文獻［11］從有效值和功率的角度考慮了初始相位的影響，但是在某些應(yīng)用場合，需要用傅里葉分析各次諧波含量，有效值和基波含量仍有一定區(qū)別。本文從頻率和相位兩個角度，全面分析傅里葉變換非整周期采樣誤差，找出誤差最小條件，并給出相應(yīng)補償算法，提高分析精度。

1 非整周期采樣誤差分析

實際現(xiàn)場工作條件下，電網(wǎng)頻率必定在一定范圍內(nèi)波動，非整周期采樣不可避免。以每周波80點為例，IEC 61850采樣值報文采樣間隔固定為250 μs，不會跟隨電網(wǎng)頻率變換。因而，在電網(wǎng)頻率出現(xiàn)波動的時候，必然出現(xiàn)非整周期采樣現(xiàn)象。電網(wǎng)頻率可以通過各種頻率跟蹤算法得到，不在本文討論范圍內(nèi)，以下分析假設(shè)實際電網(wǎng)頻率已知。

假設(shè)實際電網(wǎng)頻率為f，傅里葉分析理論基波頻率為F，記λ＝f／F；基波采樣點數(shù)為N，幅值為Am，初始相位為θ的采樣信號時域表達式為：

采用離散傅里葉變化（DFT）對采樣信號進行頻域分析，其DFT的基波分析結(jié)果為：

將θ1和θ2記作公式（3）中內(nèi)容：

簡化公式（2）為：

根據(jù)向量誤差定義，非整周期采樣相對于整周期采樣的誤差E為：

相量E的幅值即為幅值比差，相量E的相位即為相位誤差。根據(jù)公式（4）～公式（6）得到誤差E表達式為：

由此可見，非整周期采樣誤差跟基波采樣點數(shù)N，頻率偏差λ，截取波形初始相位θ有關(guān)。而采樣點數(shù)和頻率偏差往往由現(xiàn)場條件決定，后端分析唯一能減少誤差的方法是，選取合適的初始相位θ截取數(shù)據(jù)進行分析。

2 幅值和相位最小誤差條件及補償

在非整周期采樣誤差分析的基礎(chǔ)上，分別從幅值誤差和相位誤差兩個方面尋找最合適的初始相位。

2.1 幅值誤差最小條件及補償

假設(shè)，a和b分別定為式（8）中的量：

得到公式（6）向量的模：

當‖E‖＝1時，幅值誤差為0。從式（9）解得幅 值誤差最小條件為：

式中k為整數(shù)。

因此，當初始相位θ按照式（10）取值時，沒有幅值誤差。但是在實際應(yīng)用中，往往不能完全準確取到任意初始相位，應(yīng)盡量接近最小誤差條件取值，然后用式（9）進行補償。

2.2 相位誤差最小條件及補償

相位誤差即為式（6）的向量角度。相位誤差角度記為δ，則得到δ：

將a，b，α，β分別定義為：

則式（11）簡化為式（13）：

尋找最小相位誤差條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值點，記為f（β）：

式中a，b，α均為已知量，可以通過式（12）求得，β為關(guān)于θ的變量。函數(shù)f（β）的極值點，必然其一階導(dǎo)數(shù)為0，得到：

化簡式（15），得到：

取f′（β）＝0，可以得到：

將式（12）帶入式（17），得到：

從而得到最小相位誤差條件：

式中k為整數(shù)。

在實際應(yīng)用中，可根據(jù)式（19）選取合適的初始相位θ，使相位誤差最小。但此時相位誤差并不為0，應(yīng)再根據(jù)式（11）進行補償。

3 軟件設(shè)計

3.1 最優(yōu)起始相位角

根據(jù)GB／T 15945-1995規(guī)定，電網(wǎng)頻率允許在［49.8，50.2］Hz范圍內(nèi)波動。本文考慮到故障發(fā)生情況下，電網(wǎng)頻率波動范圍會超過國標規(guī)定。因此在實際頻率為［49，51］Hz的寬范圍內(nèi)進行仿真，以增強算法的適應(yīng)能力。

為了驗證本文理論分析的正確性。使用基本DFT變換掃描在不同采樣點數(shù)、不同電網(wǎng)實際頻率、不同起始相位角的基波分量幅值誤差和相位誤差。同時，使用本文算法直接計算在各種情況下的幅值誤差和相位誤差。兩種方法算出的誤差完全相同。因此，在表1～表4中，均只提供一種算法的仿真結(jié)果。

頻率在［49，50］Hz的范圍內(nèi)變化，幅值誤差最小時的最優(yōu)起始相位角如表1所示。

頻率在［50，51］Hz的范圍內(nèi)變化，幅值誤差最小時的最優(yōu)起始相位角如表2所示。

表1～表2為從幅值誤差角度考慮，在不同采樣點數(shù)和實際頻率情況下的最優(yōu)起始相位角。從表中數(shù)據(jù)得出：在實際頻率和理論頻率均為50 Hz時，從任意起始相位角開始采樣，均沒有相位誤差。幅值誤差最小時，最優(yōu)起始相位角大致在45°附近。隨著實際頻率的增加，最優(yōu)起始相位角略微變?。浑S著采樣點數(shù)的增加，最優(yōu)起始相位角也略微變小。本文給出的為IEC 61850規(guī)定的采樣值報文主要采樣點數(shù)下的仿真數(shù)據(jù)。其他采樣點數(shù)情況下，分析方法完全相同。

表1 頻率49.0 Hz～50.0 Hz，幅值誤差最小時的最優(yōu)起始相位角Tab.1 Frequency 49.0 Hz～50.0 Hz，the optimal starting phase angle when amplitude error is minimum

表2 頻率50.0 Hz～51.1 Hz，幅值誤差最小時的最優(yōu)起始相位角Tab.2 Frequency 50.0 Hz～51.0 Hz，the optimal starting phase angle when amplitude error is minimum

頻率在［49，50］Hz的范圍內(nèi)變化，相位誤差最小時的最優(yōu)起始相位角如表3所示。

表3 頻率49.0 Hz～50.0 Hz，相位誤差最小時的最優(yōu)起始相位角Tab.3 Frequency 49.0 Hz～50.0 Hz，the optimal starting phase angle when phase error is minimum

頻率在［50，51］Hz的范圍內(nèi)變化，相位誤差最小時的最優(yōu)起始相位角如表4所示。

表4 頻率 50.0 Hz～51.1 Hz，相位誤差最小時的最優(yōu)起始相位角Tab.4 Frequency 50.0 Hz～51.0 Hz，the optimal starting phase angle when phase error is minimum

表3～表4為從相位誤差角度考慮，在不同采樣點數(shù)和實際頻率情況下的最優(yōu)起始相位角。從表1～表4中的數(shù)據(jù)綜合分析，在實際頻率和理論頻率均為50 Hz時，從任意起始相位角開始采樣，均沒有相位誤差。幅值誤差最優(yōu)起始相位角和相位誤差最優(yōu)起始相位角變化規(guī)律相同。然而，從兩個角度考慮的最優(yōu)起始相位角仍不完全相等?？筛鶕?jù)需要，選擇傾向于其中一個的最優(yōu)值，或在兩者之間加權(quán)綜合考慮。

3.2 誤差曲線

本文以智能變電站最常用的每周期80點為例，仿真在各種情況下的幅值誤差和相位誤差。在其他點數(shù)下，變化規(guī)律完全相同，仿真得到幅值誤差絕對值變化曲線如圖1所示。

圖1 幅值誤差絕對值變化曲線Fig.1 Absolute value curves of amplitude errors

從圖1看出，在本文規(guī)定的實際電網(wǎng)頻率范圍內(nèi)，按照式（10）找到的最優(yōu)起始相位角，能夠使幅值誤差完全為0。仿真得到相位誤差絕對值變化曲線如圖2所示。

從圖2可以看出，在實際頻率和理論頻率不相等的情況下，按照式（19）找到的最優(yōu)起始相位角不能完全消除相位誤差。只能使相位誤差相對最小，仍需要根據(jù)式（11）進行補償。

圖2 相位誤差絕對值變化曲線Fig.2 Absolute value curves of phase errors

4 結(jié)束語

在精度要求不高而實時性要求高的應(yīng)用場合，可大致在45°起始相位附近截取數(shù)據(jù)進行計算，再根據(jù)本文算法補償，誤差相對較小。

在精度要求高的場合，根據(jù)本文公式準確選取最優(yōu)起始相位角，再進行相應(yīng)補償。理論上可以完全消除誤差。

在現(xiàn)場工作條件下，考慮到高次諧波分量的干擾，本文算法不能完全消除誤差，但仍能顯著減少誤差。