張國(guó)利， 杜智慧

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽(yáng) 471934)

關(guān)于對(duì)p級(jí)數(shù)斂散性研究的注記

張國(guó)利， 杜智慧

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽(yáng) 471934)

對(duì)于p級(jí)數(shù)收斂性，一般教材只給出了其隨參數(shù)p的收斂性和發(fā)散性.本文歸納總結(jié)了p級(jí)數(shù)中當(dāng)參數(shù)p取1, 2, 3時(shí)的特殊情況下的研究歷史及一般情況下的推廣.

p級(jí)數(shù)；調(diào)和級(jí)數(shù)；巴塞爾問(wèn)題；阿佩里常數(shù)；zeta函數(shù)

在p級(jí)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，很多教材都只給出了其斂散性的結(jié)論，對(duì)于各種情況下的斂散性研究過(guò)程卻沒有深入研究，本文嘗試對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了一些探索.

我們把數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)

稱為p級(jí)數(shù)，也稱超調(diào)和級(jí)數(shù). 由積分判別法知， 當(dāng)p>1時(shí)級(jí)數(shù)(1)收斂，p≤1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散[1].

1 黎曼zeta函數(shù)

一般情況下，稱

(2)

為黎曼zeta函數(shù)，其中s為實(shí)部大于1的復(fù)數(shù)[2]. 由此可知某些情況下(1)是(2)的特例. zeta函數(shù)是數(shù)學(xué)中很重要的函數(shù)，它在解析數(shù)論中有著極其重要的地位， 尤其是與素?cái)?shù)的分布有著密切的聯(lián)系，它在物理學(xué)、概率論和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用.當(dāng)s取值負(fù)整數(shù)時(shí)，歐拉[3]首先證明了此時(shí)ζ(s)為有理數(shù)，并指出了它在模形式理論中的重要作用.

ζ(s)的一個(gè)積分表達(dá)式為

當(dāng)s取正偶數(shù)2n時(shí)，ζ(2n)有一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，即

由上式，我們可以計(jì)算出ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)等數(shù)值，當(dāng)s=-n,n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，

其中Bn為伯努利數(shù)，Bn用生成函數(shù)定義為

zeta函數(shù)與素?cái)?shù)分布的密切關(guān)系體現(xiàn)在歐拉發(fā)現(xiàn)的恒等式中.

(3)

(3)式右端稱為歐拉乘積.由于s=1時(shí)，(3)式左端發(fā)散，由此可知素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè).

1859年，黎曼證明了zeta函數(shù)滿足黎曼方程

此處Γ(s)表示gamma函數(shù).這個(gè)方程將s取負(fù)奇整數(shù)和正偶整數(shù)的zeta函數(shù)值聯(lián)系了起來(lái). 同時(shí)，他還提出了ζ(s)的零點(diǎn)分布假設(shè)，即著名的黎曼猜想，這也是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的世界七大數(shù)學(xué)難題之一.

2 調(diào)和級(jí)數(shù)

當(dāng)(2)式中s=1時(shí)，稱級(jí)數(shù)

(4)

假設(shè)(4)收斂，設(shè)其和為S，則

因?yàn)閷?duì)任意的x>1，都有

所以

這就推出了矛盾，所以級(jí)數(shù)(4)發(fā)散.

此后，Honsberger，Leonard Gillman，Cusumano，Ecker等人也各自用不同的方法證明了(4)的發(fā)散性[4]. (4)的發(fā)散速度是很慢的，計(jì)算可得此級(jí)數(shù)的前1043項(xiàng)之和也不會(huì)超過(guò)100. 數(shù)學(xué)家歐拉曾證明(4)的前k項(xiàng)和只有一個(gè)對(duì)數(shù)級(jí)的增長(zhǎng)速度，進(jìn)一步，他還證明(4)中的n替換成素?cái)?shù)后級(jí)數(shù)依然發(fā)散.

與(4)相關(guān)的一個(gè)級(jí)數(shù)是

(5)

稱之為交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，通過(guò)萊布尼茨判別法容易證明(5)是收斂的.在1650年Mengoli證明了

上述等式也可以在對(duì)數(shù)函數(shù)ln(1+x)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中令x=1得到.特別地，Hudelson在2010年用圖形化的方法無(wú)字證明了此結(jié)論[5].

3 巴塞爾問(wèn)題

當(dāng)(2)式中s=2時(shí)，稱級(jí)數(shù)

的求和問(wèn)題為巴塞爾問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題是數(shù)論中的一個(gè)重要問(wèn)題，由Mengoli在1644年提出.1735年，年僅28歲的歐拉得到了經(jīng)典的結(jié)果

(6)

并由此在數(shù)學(xué)界聲名大振.歐拉采用的方法如下[6].

由sinx的麥克勞林級(jí)數(shù)得

(7)

又因?yàn)?/p>

(8)

由(7) , (8)兩式，比較x2的系數(shù)得

由此即得(6)式成立.

歐拉在證明的過(guò)程中默認(rèn)(8)式的分解式是唯一的，這是未加證明的結(jié)論.事實(shí)上，在100年之后數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯才給出嚴(yán)格證明，稱之為維爾斯特拉斯分解定理. 一直到1741年，歐拉才另外給出了一個(gè)嚴(yán)格的證明.更多嚴(yán)格的證明可以借助傅里葉級(jí)數(shù)、復(fù)分析和多元函數(shù)微積分等知識(shí)來(lái)給出.1821年，數(shù)學(xué)家柯西沒有借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)，僅用一元函數(shù)極限等知識(shí)給出了這個(gè)結(jié)論的初等證明[7].

由于

所以要想證明(6)式成立，只需證明

成立，歷史上對(duì)(6)式的若干證法都是基于上式. 2003年，Robin Chapman總結(jié)了證明了(6)式的14余種方法.

正是受歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)此研究工作的影響，數(shù)學(xué)家黎曼在1859年定義了zeta函數(shù)這個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念， 并給出了這個(gè)函數(shù)的一些基本性質(zhì).

4 阿佩里常數(shù)

當(dāng)(2)式中s=3時(shí)，稱級(jí)數(shù)和

(9)

為阿佩里常數(shù)，它是數(shù)論和特殊函數(shù)等交叉學(xué)科中一個(gè)非常重要的數(shù)，在電磁學(xué)、量子電動(dòng)力學(xué)和隨機(jī)最小生成樹等數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中有重要應(yīng)用.

Apéry在1979年證明了(9)是一個(gè)無(wú)理數(shù)，此證明被稱之為Apéry定理.Apéry的證明十分復(fù)雜和難懂，Beukers和Zudilin分別在1979和2002年給出了更簡(jiǎn)潔的證明[8-9]，但是至今為止還不知道(9)是否是一個(gè)超越數(shù).

早在1772年，歐拉就給出阿佩里常數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式

(9)式還有很多經(jīng)典級(jí)數(shù)表達(dá)式如

等或積分表達(dá)式如

許多數(shù)學(xué)家都試圖推廣Apéry的方法來(lái)證明ζ(2n+1)的無(wú)理性.2000年Rivoal 和Tanguy 證明了ζ(2n+1)中有無(wú)窮多個(gè)無(wú)理數(shù).2001年，Wadim 和Zudilin證明了ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)，ζ(11)這四個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)[10].

5 結(jié)語(yǔ)

在對(duì)p級(jí)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)參數(shù)p=1, 2, 3等特殊值的研究過(guò)程的講解以及對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)家的介紹，可以使學(xué)生加深對(duì)這些結(jié)論的認(rèn)識(shí)，從而增加學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛.

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A Note on the Research of thep-series’ Convergence and Divergence

ZHANG Guo-li, DU Zhi-hui

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

When teaching the convergence and divergence of thep-series, many mathematical analysis textbooks only provide the convergence and divergence with the parameterp. This paper summarizes the research history and the main conclusion whenpis 1, 2 and 3 and their generalizations.

p-series; harmonic series; Basel problem; Apery constant; zeta function

O173

A

1009-4970(2017)11-0022-03

2017-06-08

張國(guó)利(1978—), 男， 河南溫縣人， 講師.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]