陳后萬 方均斌

(1浙江省洞頭區(qū)第一中學 325700; 2溫州大學數學與信息科學學院 325035)

素質教育倡導對學生的能力培養(yǎng)，注重人的潛能開發(fā)，其根本在于每一個學生今后的發(fā)展和成長.而在教學中，筆者發(fā)現很大一部分高三學生雖做了大量的題，但面對一些“陌生的問題”還是無從下手，教師也總是抱怨：這種類型的題學生“曾經做過”，但“換一個面孔后”學生為什么還是束手無策？雙方很受挫折.盡管原因很多，筆者認為到高三一輪復習之后，基本功扎實的學生所欠缺不是基本知識點的整理歸納，而是綜合應用能力的培養(yǎng)和提高，是對知識的融會貫通.它不是讓學生成為一個“解題機器”，而是需要他們具有一定剖析能力、化歸水平，需要掌握透過表象抓實質的本領.

那么，在高三課堂教學中如何提高學生面對新問題的把控能力呢？筆者認為在高三復習的后階段，教師可以通過改編、拼合、集擇等變題手段對數學問題進行適度處理，不僅提高學生面對新問題的分析、化歸能力，領悟新問題的本質，還可以調動學生的積極性，提高學生猜測原題設計的意圖，讓師生共同進入一個解題的新領域.當然，變題有很多種方式，下面筆者就談談體會最為深刻的三點.

1 改編

我們這里的改編是指：(1)改寫原數學問題的條件，使形式更新、內容更豐富；(2)改寫原題的結論，使封閉題成為開放題，拓展思維；(3)修改問題的呈現方式(如圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉換，或者題型的修改)，這些修改是一種讓學生領會編題者意圖的一種嘗試，也是提高學生駕馭新問題能力的一個舉措.

雖然只是由選擇題改為填空題，形式不同，卻可以說呆萌的變化，得到傲嬌的效果.

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

原題是三角函數問題，根據特殊三角形，運用三角函數和正余弦定理可以解決.原題圖形很不錯，以三角形為背景，抓住P點的軌跡是圓弧，既有美感又有規(guī)律，且原題條件符合極化恒等式的要求.

案例3原題(浙江省2006年高考題第10題)：f：A={1,2,3}到B={1,2,3}的映射滿足f[f(x)]=f(x),這樣的函數個數有多少?

原題主要考查映射概念，部分學生可以用例舉法求解(數量較少)，但容易造成遺漏，分類不完整，思維不嚴密.筆者將其變化為三個不等式，作為它的條件，相對原題更加突出對排列組合知識的考查，讓學生理解并運用排列組合知識.在得出結論f(1)≥f(2)≥f(3)≥f(4)的基礎上，運用排列組合知識，分類求出結果.

這樣，提高了難度，豐富了原有內容，訓練了學生的綜合應用能力.其實，不等式只是排列組合的條件和要求，學生必須聯系問題，學會深入分析、合理轉化，以鍛煉學生對新問題的剖析、化歸能力，提高透過表象抓住實質的本領.

案例4原題證明不等式

a2+b2+1≥ab+a+b.

改編題刪去右邊的代數式，改為a2+b2+1≥，在橫線上填入代數式，使之恒成立并給出證明.

學生甲：a2+b2+1≥1.

學生丙：a2+b2+1≥ab+a+b.

學生?。骸?/p>

這類題起點低，學生可以根據自己不同情況得出不同難度的結論.通過改編，將“封閉題”改為“開放題”，其對學生的思維訓練要求顯然靈活了！

這樣的變題是為了欲擒故縱，先讓問題更開放，讓學生發(fā)散思維、積極聯想，再收網尋求解決問題的辦法.

通過改編題，可以讓學生將原有解法中不足點暴露出來，突顯數學問題的本質；可以考查想要考查的重要概念、基本技能、思想方法；通過改編題，可以在知識點之間形成串聯、轉變，提高學生靈活應用知識以及把控新問題的能力；通過改編題，可以讓學生站在更高的高度去思考問題，去猜測設計者的想法及設計意圖.

2 拼合

拼合就是對兩道或者幾道數學問題的解決方法進行串聯、并聯或者綜合，達到從解法少到多解或者從單科知識、技能的考核到多科的能力綜合.

這道題考查學生的基本向量知識與不等式最值的結合.

原題2已知a(2,0),b=(x,y)，若b與b-a的夾角為300，求|b|的最大值.(《中學教研》2014年第2期高考理科模擬卷)

這道題是比較典型的向量與三角形結合問題，但難度不大.

拼合題已知e1,e2是夾角為1200的兩個單位向量，a=4e1+4e2，b·(a-b)=2，求a與b夾角的最大值.

本題拼合的理由是兩道題都在向量背景下,分別考查學生應用不等式和解三角形知識 (結合圖形).筆者通過拼合,適當改變條件,讓其功能更加強大, 條件“b與b-a的夾角為300”改變?yōu)閎·(a-b)=2，使其原來可以容易作圖(向量的夾角)，變得似乎無從下手，學生甚至認為只能從代數角度入手.但也不是很容易解決.

略解

b·(a-b)=|b|×|a|×cosθ-|b|2=2,

這里運用了參數分離的想法，并在此基礎上運用基本不等式等方法解決.本題若用向量等方法也可以解決，要求的能力更高，若用向量的投影和基本不等式解決，則“含金量”更高.

拼合題已知函數f(x)=4x-2x+1,若方程f(f(x))=a有兩個實數根，則a的取值范圍為.

原題1和2相同之處，都是分段函數,同時都注重學生的數形結合能力，以零點和方程的根為手段.通過拼合變題，轉變到對復合函數的考查，突出了復合函數的單調性及定義域問題.對學生的邏輯思維要求更高.表面看似相似的問題，考查的卻是學生的不同能力，變換了角度，舊瓶裝新酒，以鍛煉學生把控新問題的能力.

拼合也是變題，只是另一種手段，一般是拼合兩道或者多道數學問題的知識點或解決方法，從更高角度去綜合問題，進一步考查學生的能力.通過變換角度，讓學生從中尋找差異，求同存異，抓住問題本質，訓練學生的分析、歸納能力，善用化歸思想，以駕馭新問題.需要注意的是，若綜合的知識太多,難度會變大,拼合應該要循序漸進,才有效果.同時在拼合時，不能過于機械，以免出現條件冗余，甚至矛盾的現象.

3 集擇

所謂集擇就是將若干個常見的數學問題條件集中在一起，要學生根據要求從中選擇出幾個條件得出一個結論；或者任給一個結論A，要求學生選擇其中所給的若干個條件作為條件，由這些條件推出結論A并讓學生體驗編題的樂趣與艱辛.

案例7[1]問題△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，面積為S，分別給出以下條件：

③a2+b2-c2=4S；

⑥cos2C+cos2B-cos2A=1-2sinBsinC；

⑦(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)；

能否從中選擇三個條件或者自編條件，確定三角形？并求解剩余的元素？

該問題設計新穎,活躍了學生思維，活躍了課堂.一個問題既可以以點帶面，也可以四通八達，聯系各方面知識.如此變題，改變了以往學生拿一題做一題的習慣，要求學生自己去編題，去審視每個知識，這需要很強的理解能力和駕馭能力.對他們來說是一種全新挑戰(zhàn).

集擇是一種很好的提高應對新問題的鍛煉方法，一則是學生必須透過一些表面的條件，抓住各條件隱含的本質內容；二是它使學生必須自己架構問題，包括一些錯誤和不合理的想法，統統都要自己想辦法去否定、排除，充分提高了學生的分析和應對能力.

案例8復習回顧已經學過的空間中垂直的結論有哪些?請梳理一下，已知a,b,l是不同的直線，α，β是不重合的平面，從下列幾個條件中，選擇一些條件作為命題的主要條件和結論，構造正確命題：

①l⊥a，②l⊥b，③b∥a，④b⊥α，⑤a⊥α，

⑥a⊥β，⑦b⊥α，⑧l(xiāng)⊥α,⑨α∥β,⑩α⊥β.

通過這一集擇，可以把垂直的知識框架整理出來:線線平行→線面垂直;面面平行→線面垂直;線面垂直→面面平行,等等.本案例把知識的復習變成一道題,讓學生從眾多的選支中梳理出相關結論,改變了常規(guī)一問一答式的復習方法.

集擇方法能讓學生體會如何去編題，對知識點的把握要求更加全面、更有高度，更能準確聯系各個條件；集擇方法還能夠提高學生的分析能力、聯想能力，體會到解題、編題的樂趣.

數學問題的變題方法很多，我們就改編、拼合、集擇談幾點想法.我們認為，學生甚至是老師陷入題海的根本原因是沒有對數學問題進行總結與變化，致使“解一題拋一題的現象”嚴重，而且我們還發(fā)現，很多老師對一道數學問題解法進行總結的比較多，而對數學問題的結構剖析、問題來源、問題變化等進行總結探索的比較少，這或許也是我國目前數學問題教學的一個“軟肋”.筆者長期的教學實踐體會是，要把數學問題的變化經常呈現給學生(至于問題解決之前還是之后，需要看具體的情況)，不要隱去問題的來源，否則會讓學生被千變萬化的表面形式所迷惑.有時還需要和學生“一起變題”或者引導他們與命題者進行“心靈上的對話”.只要長期堅持，一定會讓學生“以不變應萬變”，提升應對數學問題新面孔的能力.