王 敏 代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

1 前言

建筑發(fā)展的歷史也是一部人類生活文化史，是建筑藝術與理論知識積累的歷史.不同的歷史時期，有著不同的建筑式樣，縱觀古今中外幾千年建筑藝術的杰作，體驗歷代建筑藝術大師豐富的建筑理論與經(jīng)驗，就會發(fā)現(xiàn)一座活的建筑，其中蘊含著豐富的人類學、哲學、美學、數(shù)學與機械等知識.所以對于建筑師而言，不再只是建造了一座建筑物，同時還形成了自己的理論.從數(shù)學文化的角度剖析，建筑藝術中蘊含著豐富的數(shù)學文化，其中理性的、抽象的、基于數(shù)學的研究方法能對建筑設計有所裨益，同時許多建筑師也提出要以數(shù)學方法表達建筑造型的可能性.另外對于建筑藝術中的諸多之謎，可以從數(shù)學的角度去解釋，如埃及的金字塔中，齊奧普斯金字塔幾乎是精確的等邊三角形，塔身與周邊的傾角為51°—52°，而齊夫倫金字塔的塔基是一個十分精確的正方形.[注][英]帕瑞克·紐金斯.世界建筑藝術史[M].顧孟潮，張百平，譯.合肥：安徽科學技術出版社，1990：35.維特魯威的《建筑十書》是西方古典時代唯一幸存下來的建筑全書，對其有“一部西方建筑史就是一部維特魯威的接受史”[注][古羅馬]維特魯威.建筑十書[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注，陳平，譯.北京：北京大學出版社，2012：封皮.的評價.維特魯威的手稿被羅馬教廷波基奧(G.F.Poggio)在瑞士的圣蓋爾(St Gall)圖書館發(fā)現(xiàn)的，并于1451年完成譯本，在1487年，維特魯威成為當時第一批以印刷作品問世的作者之一，其影響是巨大的，新的交流手段使得建筑藝術從泥瓦工拜師學藝的經(jīng)驗傳統(tǒng)的延續(xù)，變成了一種文藝上的構想.文中以維特魯威的《建筑十書》為例，分析其中的數(shù)學知識，體驗其中的數(shù)學文化.

2 維特魯威及其《建筑十書》簡介

馬爾庫斯·維特魯威·波利奧(Marcus Vitruvius Pollio)，公元前1世紀生活于羅馬共和制向帝制過渡的重要轉折時期，他是一個“保守主義者”，不遺余力地維護從古希臘傳承下來的人文價值觀和建筑理想.他的父母給予了他較為寬泛的“自由藝術”教育，同時也接受了賴以謀生的職業(yè)教育，但他的學識靠的是自己終身學習，或利用自己的藏書，或利用富人和當權者的圖書館，另外，他還熟習一些技術，并且堅持認為技術如果沒有文學及綜合一切知識是不能被驗證的.所以，維特魯威的課程表中，有繪畫、幾何學、算術、光學、歷史學、哲學、音樂、醫(yī)學、法律、天文學、古典語言學、寫作以及古文獻學，他強調一個人不可能成為所有學科的專家，但掌握這些學科的基礎知識是至關重要的.維特魯威認為，要成為一名理想的建筑師，應該洞察自然物性和人生真諦，要掌握廣泛的知識，他的這一想法對于后人的影響是深遠的，如文藝復興時期的“文藝巨匠”——列奧納多·達·芬奇.總之，維特魯威重視基礎教育，強調終身學習，為提升建筑師的社會地位，他為建筑師的教育努力奮斗，以他的博學與才干為世人提供了理想建筑師的楷模.

維特魯威的《建筑十書》是歐洲中世紀以前遺留下來的唯一一本建筑學專著，這本書后來成為文藝復興時期(14世紀—17世紀)、巴洛克時期(17世紀—18世紀)和新古典主義時期(18世紀末—19世紀)建筑界的經(jīng)典，并且至今仍對建筑學界產(chǎn)生著深遠的影響.《建筑十書》主要是一本建筑技術手冊，從城市的選址、建筑的類型、建筑的材料一直延伸到施工機械和構件的細節(jié)，但是其中有一半以上的內容并非論述建筑本身，而是討論一些與此相關的基礎知識，如數(shù)學、天文學、地理學和自然哲學等.由于其涉及領域廣泛、內容豐富，被稱為一部真正的“古代文化百科全書”.

在建筑技術如此發(fā)達的今天，東西方學者對它的翻譯和研究仍絡繹不絕，因為不管在建筑學還是其他學科領域，人們都不僅將其視為一本古代科技著作，對它抱有一種實用主義的態(tài)度，而且更多地關注其文化史意義，以及書中強調的建筑師的教育、知識的統(tǒng)一性、建筑的意蘊、理論與實踐的關系、建筑與社會倫理、人類健康與環(huán)境等問題.

《建筑十書》的主題涉及兩個方面：一是“建筑”的范圍涵蓋整個營造和機械領域，是一門綜合性很強的藝術，也是社會人文藝術中最基本的藝術形式之一；二是真正意義上的建筑實踐是建立在綜合把握范圍廣闊的理論與實踐知識的基礎上的.[注][古羅馬]維特魯威.建筑十書[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注，陳平，譯.北京：北京大學出版社，2012：53.它不只是一本指導羅馬建筑師如何去接受訓練和實踐的書，而更像是提出一種主張去教導建筑師該如何實踐的一本書.

圖1 1684年畫作，維特魯威(右)向奧古斯都大帝展示《建筑十書》.

3 《建筑十書》中的數(shù)學文化

3.1 數(shù)字發(fā)明于人體四肢

古希臘哲學家普洛塔高瑞斯(Protagoras)曾說過：“人是萬物的尺度.”[注][英]帕瑞克·紐金斯.世界建筑藝術史[M].顧孟潮，張百平，譯.合肥：安徽科學技術出版社，1990：228. [英]薩拉·巴特利特.符號中的歷史[M].范明英，王敏雯，譯.北京：北京聯(lián)合出版公司，2016：179.對人類本身的關注與研究是設計的前提，“以人為本”的觀念，更是維特魯威建筑設計的首要理念.測量作為工程建筑中必不可少的步驟之一，在建筑設計中非常重要.維特魯威汲取了畢達哥拉斯學派及其他一些數(shù)學家的觀點，認為測量的單位來源于人體，如，指、掌、足、肘等.畢達哥拉斯學派的神秘數(shù)論認為“十”為完美數(shù)，因為完美的雙手手指為十個.并且十是由最初的一二三四相加而構成的，在古希臘，十是由四個被稱為單位的元素相加得出的，一旦得出十一或十二，就超過了“十”并且超過了四個一組的四，便不再是完美數(shù)，直到下一個十，最初的四個數(shù)就是完美數(shù)的構成單位.

圖2

然而，還有一些數(shù)學家認為“六”才是完美數(shù)，因為這個數(shù)中包含了六個單位，他們的比值又與數(shù)字六相吻合.如，六的六分之一等于一，六的三分之一等于二，六的二分之一等于三，六的三分之二等于四，六的六分之五等于五，盡善盡美的數(shù)字便是六.六為完美數(shù)字的另一個解釋就是：1+2+3=6,1·2·3=6.如果再加上另一個單位，使數(shù)字向六的雙倍增加，即給六加上它的六分之一便是七；到八時，給六加上它的三分之一；給六加上它的二分之一便得到了九個單位，等等.又因為他們認為腳長是人體身高的六分之一，該數(shù)使得腳的尺寸完美起來，乘以六便得出人體的身高，所以他們堅持認為六這個數(shù)字是完美數(shù).

維特魯威經(jīng)過對常見事物的觀察，研習前人的研究，將六和十這兩個完美的數(shù)字加起來，得出最完美的數(shù)字十六.這項發(fā)明起源于腳，按照古人的觀察，肘是由六掌或二十指構成的，如果一肘中扣除兩掌，余下的四掌等于一足，每掌由四指組成，由此得出一足為十六指，具體如圖2所示.于是，維特魯威指出，按照大自然對人體尺寸的安排，測量中常用的單位為：四指為一掌，四掌為一足，六掌為一肘，四肘為人身高.

3.2 幾何學——建筑師的必修課

自古希臘以后，幾何學成為西方理性思想和科學精神的根基，建筑思想和技術亦不例外，也以幾何學為主要工具來實現(xiàn)其設計.建筑師要掌握識字、繪圖的基本技能，但是要想得心應手地用圖形來表現(xiàn)想要建造的作品的外觀，幾何學的知識是必不可少的.幾何學對建筑助益良多，它傳承了圓規(guī)與直尺的技術，有助于實施現(xiàn)場的平面布局，畫出直角線、水平線和直線等.

圖3

神廟作為西方不朽之神的神圣居所，在西方建筑史中占有重要地位，維特魯威在第3書中對其設計方法進行了說明，神廟設計的基本原理決定了其平面形式，其中大多數(shù)以柱形為主要表現(xiàn)形式，那么圓柱就成為大多神廟中的主要設計.圓柱的柱槽為二十四條[注]意思是將一個圓劃分成二十四等份，再從一個六邊形開始逐漸對它的各個邊進行對分，便可以做到這一點.，它向內凹進，若將直尺置于槽溝內并轉動，直尺的角便會觸及柱槽左右邊緣(如圖3).[注][古羅馬]維特魯威.建筑十書[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注，陳平，譯.北京：北京大學出版社，2012：97.維特魯威的這一設計是對公元前6世紀初“泰勒斯定理”的一個推論的應用，相傳米利都的泰勒斯證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角.而維特魯威在對圓柱中槽溝的設計中演示證明了泰勒斯定理的推論.即“所有內接于圓的三角形，直徑為斜邊，均為直角三角形.”

圖4

西方古代計算上的麻煩導致古代的建筑師寧可采用幾何學的方法而非計算的方法來思考問題[注]這是因為畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)后之后，其“萬物皆數(shù)”思想受到不可換回的沖擊后，他們認為計算不可靠，只有幾何證明才可靠.從那時起直到笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，極端崇尚幾何學的這一思想才逐漸減弱.，如，在維特魯威的《建筑十書》中，他改寫了柏拉圖《美諾篇》中所記述的一段軼事，即蘇格拉底引導無知的奴隸推算正方形面積加倍的基本原理，具體內容如下：

有一塊正方形的土地，十足長十足寬，面積100平方足.如果需要使它的面積翻倍，成為一塊200平方足的土地，同時保持各邊相等，問題便是，這正方形的邊長應該是多少，從而使這翻倍的面積等于200平方足.

如前所述，維特魯威稱通過計算是不可能求出的，所以他按照柏拉圖面積倍增的方法給出了幾何的解法(如圖4所示)，即在原先邊長為十足的正方形內劃一條對角線，將它分為面積相等的兩個三角形，每個三角形的面積為五十平方足，然后再以這條對角線為邊長畫一個正方形，于是，無論一個較小的正方形中的對角線所劃定的兩個三角形的尺寸是多少，每個三角形的面積均為五十平方足，同理，在較大的正方形中便創(chuàng)建出了四個大小相等的三角形.顯然維特魯威應用了正方形的兩條對角線將其分成四個面積相等的等腰直角三角形，然后用五十平方足的三角形還原成正方形的方法即將原來的正方形的面積增倍.

另外，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)和證明了“角尺的原理”(即畢達哥拉斯定理)后，維特魯威面對工匠們做出的不精確角尺，根據(jù)畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的定理，按照下面的方式做了一把角尺：他先取了三根直尺，一根三足長，另一根四足長，第三根五足長，將它們拼在一起，使其端部互相接觸，形成一個三角形，便做成了一個完美的角尺板(如圖5).同時，維特魯威發(fā)現(xiàn)：邊長為三足與四足的兩個正方形的面積之和，就相當于[注]“相當于”就是“等于”的意思.邊長為五足的正方形的面積.[注][古羅馬]維特魯威.建筑十書[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注，陳平，譯.北京：北京大學出版社，2012：156.

這些原理在許多測量中都有用處，維特魯威將其運用到建造樓梯時計算傾斜角，他將最上部的托梁到下面地板之間的樓層高度劃分為三等份，那么樓梯坡度的合適長度便是五等份，所以維特魯威強調不管托梁與地面之間的三等份的尺寸是多少，樓梯的水平長度都為四等份，這樣就可以準確確定出臺階的位置，具體設計如圖6所示.

圖5

圖6

3.3 比例思想研究的源頭之一

建筑設計有它固有的、天生的比例方法.[注][丹麥]S.E.拉斯姆森.建筑體驗[M].劉亞芬，譯.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1990：111.維特魯威的《建筑十書》內容涉及建筑學中制圖的基本原理及方法，比例思想是其中應用最廣泛的內容，在第3書和第4書中都涉及到比例問題，維特魯威在開篇就給出了比例的定義：“比例就是建筑中每一構件之間以及與整體之間相互關系的校驗.”[注][古羅馬]維特魯威.建筑十書[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注，陳平，譯.北京：北京大學出版社，2012：90.由于古代西方?jīng)]有統(tǒng)一的度量單位，比例在建筑學中的應用就顯得異常重要，維特魯威主要涉及兩方面的比例問題，一是把人體的自然比例應用到建筑的丈量中；一是在神廟建筑中由比例產(chǎn)生均衡.

圖7

圖8

另外，神廟建造的重要部分——圓柱的設計對于神廟體系的完備是十分重要的.圓柱的設計包括圓柱的高度、直徑以及柱頭與柱礎的高度等，維特魯威給出的比例體系有兩種方式：一種是直徑是一定的，降低圓柱的高度從而增加柱距或跨度；一種是圓柱的高度不變，增加圓柱的直徑減少圓柱之間的跨度.所以，圓柱頂端柱頸的收分必須按照如圖8設計，具體的比例分配如表1所示.

表1 圓柱設計中各部分比例分配表

若圓柱比五十足更高，則根據(jù)相同的原理對柱頸進行收分.這樣運用比例的理論對建筑物進行的設計仍有許多，如圓柱間距與圓柱直徑之間的比例以及柱頭與柱礎的高度與柱高的關系等.只要按照規(guī)定比例進行的設計在維特魯威的建筑學中才是合理的.這些圓柱設計中的比例關系，在之后柱子的設計中都能找到，如帕拉第奧別墅中的古典式柱子的設計，其中柱子的劃分直到最微小部分的設計都有定則，其基本的單位是柱徑，不僅柱身柱頭及柱礎的尺寸都由柱徑演算而得，而且連柱子上所有線盤的部分及柱距都由此得到.

4 結語

建筑藝術作為人類藝術寶庫中的瑰寶之一，其中蘊含著豐富的哲學、天文學、地理學等知識，作為“古代文化百科全書”的《建筑十書》被譽為西方建筑理論的源頭.在學科劃分越來越細專業(yè)林立的今天，從數(shù)學文化的視角回顧其中的文化意義、科學內容、通識教育和知識統(tǒng)一等觀念，會使我們得到教益.同時領略維特魯威的建筑學體系中從古老的畢達哥拉斯、赫拉克利特、亞里士多德等那里所借鑒的豐富哲學和數(shù)學，也足以窺見古希臘學者對數(shù)學的深刻研究以及數(shù)學作為一門古老學科的廣泛應用性，同時將人體比例與建筑比例的完美結合也體現(xiàn)了數(shù)學知識的自然觀及神秘性.

在以往數(shù)學文化、數(shù)學史方面的論著中涉及建筑學方面的內容也不少，在中小學數(shù)學教學中數(shù)學文化的融合已不再少見，維特魯威《建筑十書》中的諸多案例也可以融入中小學數(shù)學教學中，如小學生認識數(shù)字的教學，可以引用維特魯威的觀點，測量的單位來源于人體.通過對人體各部位的測量及度量其中的關系，更加形象地認識數(shù)字，同時維特魯威按照人體尺寸給出的測量常用單位的介紹，可以使得學生更好地對數(shù)字的大小有估算意識，進而培養(yǎng)學生的數(shù)感.另外，通過在校本課程或數(shù)學活動課中講授維特魯威利用畢達哥拉斯定理制作角尺的過程，更好地理解畢氏定理的應用.神廟建造中的圓柱設計中比例思想的應用也可以使學生認識到數(shù)學應用的廣泛性.