鄭雪靜 陳清華

(1福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院 350117；2泉州師范學院數(shù)學與計算機科學學院 362000)

今年是恢復高考40周年，數(shù)學作為高考的重要學科，也走過了40年的歷程，回首40年高考，我們就建國以來高考數(shù)學試題的演變進行梳理，為即將到來的新一輪高中數(shù)學課程改革在命題與考試方面提供借鑒.

1 民國時期(1912-1949)高考數(shù)學簡介

民國時期的高考大都是高校單獨命題招考，類似于現(xiàn)在的自主招生．抗日戰(zhàn)爭時期的1938～1940年為適應戰(zhàn)時需要，保證招生質(zhì)量，曾實行三年的國立各院校統(tǒng)一招生，1941年因抗戰(zhàn)形勢緊迫被中止統(tǒng)一招生，之后部分高校采用聯(lián)合招生，比如1947年南開大學、清華大學、北京大學三校實行聯(lián)合招生．[1]這一時期的高考數(shù)學試卷多為用英文表達，這與當時的數(shù)學教育采用英文原版教材和使用英文授課有關系．考查內(nèi)容包括：初等代數(shù)、平面幾何和立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何、高等代數(shù)等五部分，其中前三部分是必考內(nèi)容，后兩部分根據(jù)考生報考專業(yè)不同，考試題目會有差別．試題數(shù)目以一般考生能在規(guī)定時數(shù)內(nèi)做完試卷為準(數(shù)學3個小時)[2]，比如1923年國立北京大學高考理科試卷[3]，該試卷共10道題，其中初等代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何各3題，立體幾何1題，相對于現(xiàn)在高考試題，其難度不大，主要考查基礎知識和基本技能，考查的內(nèi)容和方式相對單一.

例1【1923年高考國立北京大學卷·理6】

Ifα，β，care the roots of the equationx3-px2+qx-c=0，find the value ofα2+β2+c2．

解析：若α，β，c是三次方程x3-px2+qx-c=0的三個根，求α2+β2+c2的值．該試題屬于初等代數(shù)問題，考查方程的根及相關運算．依題意α，β，c是方程的根，則(x-α)(x-β)(x-c)=0，將式子展開與x3-px2+qx-c=0進行系數(shù)對比，得α+β+c=p，αβ+βc+cα=q，再由α2+β2+c2=(α+β+c)2-2(αβ+βc+cα)，可得α2+β2+c2=p2-2q．

2 建國以來高考數(shù)學命題與考試方式簡況

建國以來，高考數(shù)學主要是全國統(tǒng)一命題與省市自主命題兩種命題形式．1949年大部分高校沿襲民國時期單獨招考的方法，少數(shù)高校采用聯(lián)合招生的形式．1950年和1951年的高考有分區(qū)(東北區(qū)、西北區(qū)、華北區(qū)、中南區(qū)、西南區(qū)、華東區(qū))聯(lián)考也有統(tǒng)一招考．[4]1952年到1965年維持了14年的全國統(tǒng)一命題制度，1966～1976年十年“文化大革命”取消高考，1977年恢復高考，當時由于來不及組織高考試卷命題，最終由各省市自主命題，1978年恢復全國統(tǒng)一命題．[5]直至1985年上海率先實行自主命題，2002年北京也實行自主命題．從2004年起，開始分省命題，以后分省自主命題的范圍不斷擴大，而到2016年全國26個省又回歸全國統(tǒng)一命題，山東部分采用全國卷(山東高考數(shù)學自主命題)，北京、天津、上海、江蘇、浙江五省市仍自主命題.

值得紀念的是1952年，那年是全國高等學校實行統(tǒng)一命題考試的第一年，它形成了高考制度的基本框架，開啟了中國高考的時代[4]．那年的高考在8月15、16、17日舉行，每個科目考試時間為1小時40分鐘．每個考生必須參加8個科目的考試，具體考試科目和時間見表1．1952年高考錄取時高校根據(jù)專業(yè)要求，按各科不同比例計分，但此方法不能很好地體現(xiàn)各專業(yè)特點．[6]因此，1954年高考科目設置成文、理兩類，1955年改成文、理、農(nóng)醫(yī)三類，1964年再改成文、理兩類．1978年恢復高考后也是按文、理兩類進行科目設置，直至2014年上海、浙江率先進入高考文理不分科試點．

表1 1952年全國高等學校統(tǒng)一招生考試時間和科目

3 建國以來高考數(shù)學試題的演變

建國以來高考數(shù)學試題經(jīng)歷了多重演變，我們主要從題型與題量、試題的背景、試題的性質(zhì)三個方面進行分析.

3.1 題型與題量的演度

以全國統(tǒng)考卷，有文、理卷的以理科卷為統(tǒng)計對象，就建國以來高考數(shù)學試卷[7]的題型與題量進行統(tǒng)計分析，見表2．

表2 建國以來全國高考數(shù)學試卷(理)題型與題量

表2顯示，建國以來，高考數(shù)學試題有選擇題、填空題、解答題三種題型．1950年高考數(shù)學試卷分為兩組：甲組和乙丙組(類似于現(xiàn)在的全國Ⅰ、Ⅱ卷)，題目分為兩部分：第一部分是5道單項選擇題和5道填空題；第二部分是5道解答題．1951年和1952年也分為兩部分，但題量達到24題．1953～1961年試卷一般由5道大題組成，有些大題再分小題，如第1大題以十個天干作為題名再設置甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬等小題，有些試卷有附加題．1951～1982年的試題都是解答題，題量一般在10道大題左右，到1983年開始有所增加，題量在13～28題之間，并且重新出現(xiàn)單項選擇題，選擇題題量在5～18題之間．1984年開始重新出現(xiàn)填空題，雖然1984～1988年試卷中第二大題沒有明確是填空題，但題目只要求直接寫出結果，因此我們把它當成填空題，題量在4～7題之間．2000年至今試題總量一般是22題，其中12道單項選擇題、4道填空題、6道大題，有些大題有2～3個小題．特殊的，江蘇省從2008年開始取消選擇題．另外，1977年恢復高考后，有幾年在高考試卷最后設置參考題或附加題，主要考查微積分知識，其成績一般不計入總分，只作為招生時的參考.

3.2 試題背景的演變

高考數(shù)學試題背景的來源非常廣泛，有教材背景、高等數(shù)學背景、競賽數(shù)學背景、學科交叉背景、社會生活背景等等，我們從數(shù)學自身的性質(zhì)出發(fā)，對建國以來高考數(shù)學試題從純數(shù)學背景到應用數(shù)學背景的演變進行分析，同時對目前高考數(shù)學兩類特殊背景：“數(shù)學閱讀理解背景、數(shù)學文化背景”加以剖析.

(1)純數(shù)學背景

建國后，我們主要學習蘇聯(lián)嚴謹、形式化的數(shù)學風格，這一時期的高考數(shù)學試題主要是純數(shù)學背景，相比于現(xiàn)今高考數(shù)學試題，難度不大．在那個為實現(xiàn)“四個現(xiàn)代化”培養(yǎng)又紅又專人才的年代，強調(diào)的是打好基礎、掌握基礎知識和基本技能，強調(diào)的是對概念的記憶和命題的理解，掌握證明和運算的技能．那時候是精英教育，1978年有610萬考生，錄取人數(shù)40.2萬，錄取率僅7%．[8]之后，為了提高區(qū)分度，數(shù)學試題的難度有所提高，有些試題內(nèi)容甚至涉及微積分的知識．到了20世紀80年代初期，國際上對數(shù)學教育培養(yǎng)能力型、應用型人才的關注影響著我國，高考數(shù)學試題在1984年出現(xiàn)一個歷史性轉折，提出“出活題、考基礎、考能力”的命題指導思想．[9]但主要還是一些純數(shù)學背景試題，重點考查邏輯推理能力、數(shù)學運算能力、空間想象能力三大能力.

例2【1984年高考全國卷·理六(1)】

設p≠0，實系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個虛數(shù)根z1，z2．再設z1，z2在復平面內(nèi)的對應點是Z1，Z2．求以Z1，Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長.

解析：該試題以一元二次方程、復數(shù)、橢圓等純數(shù)學知識為背景，考查一元二次方程根與系數(shù)的關系、復數(shù)加減法幾何意義、橢圓性質(zhì)．由于p、q為實數(shù)，p≠0，z1，z2為虛數(shù)，因此Δ=(-2p)2-4q<0，即q>p2>0．由于兩個虛數(shù)根z1，z2是共軛復數(shù)，所以它們在復平面內(nèi)的對應點Z1，Z2會關于x軸對稱，從而橢圓短軸在x軸上．又因為橢圓經(jīng)過原點，因此原點為橢圓短軸的一個端點，從而短軸長為：2b=|z1+z2|=2|p|；

(2)應用數(shù)學背景

把數(shù)學應用當作實用主義、短視行為進行批判的情形，直到1990年代開始才有所改觀．張奠宙先生曾指出：國內(nèi)外的數(shù)學家多次評論我國學生考試成績往往不錯, 但一到寫論文階段就顯得力不從心．這是我們數(shù)學教育上的一種通病，可能與我們的試題單一、純數(shù)學化不無關系．1992年冬張奠宙、嚴士健、蘇式冬走訪了國家考試中心，建議在高考題中應該有一些應用題．他們說：這些年來，高考八股化的趨勢并未得到遏制，[10]高考應該按照九年制義務教育數(shù)學教學大綱的要求：“要使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練，形成應用數(shù)學的意識．”[11]這與新一輪高中課程改革提出的數(shù)學教育的終極目標是一脈相承的．即：一個人經(jīng)過數(shù)學教育之后，即便他將來從事的工作與數(shù)學無關，也會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界．[12]建國以來的高考數(shù)學只是零星的出現(xiàn)一些應用背景的試題，比如1960年有一道求船與燈塔距離的問題，1979年全國高考理科卷有一道國防海岸線的問題(例3)，1995年高考全國卷理科卷第24題、文科卷第25題有一道關于淡水魚養(yǎng)殖的函數(shù)模型問題．此后的高考數(shù)學試卷，或多或少均有一些應用背景的試題出現(xiàn)．1997年啟動高中課程改革試點工作后，應用問題的形式更加靈活多樣，背景更加豐富，在應用背景、試題設問方面都有所創(chuàng)新．2001～2007年新課程教育改革期間，增加了概率與統(tǒng)計知識，這一階段主要以概率與統(tǒng)計內(nèi)容為應用背景．之后，應用背景更注意源于社會、源于生活的真實情境[13]，使學生認識到數(shù)學來源于社會、生活，又應用于社會、生活中，把冰冷的數(shù)學回歸生動、有趣、現(xiàn)實的情境中，更加有效地考查學生抽象、概括、建立數(shù)學模型的能力，體現(xiàn)數(shù)學的價值，提高學生分析問題和解決問題的能力.

例3【1979年高考全國卷·理五】

外國船只，除特許外，不得進入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域．設A及B是我們的觀測站，A及B間的距離為S里，海岸線是過A、B的直線，一外國船只在P點，在A站測得∠BAP=α，同時在B站測得∠ABP=β．問α及β滿足什么簡單的三角函數(shù)值不等式，就應當向此未經(jīng)特許的外國船只發(fā)出警告，命令退出我海域？

圖1

(3)兩類特殊背景

①數(shù)學閱讀理解背景

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗稿)》指出：高中數(shù)學課程還倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式．[14]這里強調(diào)了對學生數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)，閱讀理解背景試題成為近幾年高考試題的一個亮點，這類試題一般結合文字語言、圖形語言、符號語言進行敘述，題目比較長，信息量和閱讀量一般比較大，考查學生閱讀理解能力、語言轉化和表達的能力，體現(xiàn)“多想少算”的理念，是對學生綜合素質(zhì)和能力的考查，成為高考的熱點題型之一.

分析歷年高考數(shù)學閱讀理解背景試題，主要有以下幾種類型：以教材內(nèi)容為閱讀材料，要求學生揭示所學內(nèi)容的本質(zhì)，掌握思想方法；呈現(xiàn)一些模擬學生解題過程的閱讀材料，讓考生判斷解題過程的正誤，正確的寫出解題依據(jù)，錯誤的寫出正確的解答過程；給定一些文字、圖表的閱讀材料，讓考生通過歸納、探索，提取相關信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論；提供新定義、新定理要求考生閱讀后解決新問題．[15]或是由一些相互聯(lián)系的條件組成的具有邏輯推理的背景，要求考生根據(jù)相關邏輯知識進行推理分析(比如2014年高考全國卷理科、文科第14題填空題：要求根據(jù)甲乙丙的陳述，推斷乙去過的城市)．在信息化時代、大數(shù)據(jù)時代，從海量文字、數(shù)據(jù)、圖表中進行閱讀理解提煉是一項基本能力.

例4【2016年高考新課標Ⅰ卷·理16】

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．

解析：該試題給出一些文字閱讀材料，學生要能夠通過閱讀提取相關信息，建立數(shù)據(jù)間的關系，并且懂得利用數(shù)形結合的方法直觀看出利潤最大值的情況．主要考查不等式、線性規(guī)劃、最值．設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件，利潤之和為z，由相關數(shù)據(jù)，可建立關系式：1.5x+0.5y=150，x+0.3y=90，5x+3y=600(x≥0,y≥0)，在直角坐標系中畫出滿足關系式的區(qū)域圖，即可找到目標函數(shù)z=2100x+900y當x=60，y=100的時候取得最大值216000，從而得到生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和最大值為216000元.

②數(shù)學文化背景

關于數(shù)學文化背景試題，雖然它具有數(shù)學閱讀理解背景的特點，但由于這類試題是近年高考的熱點題型，特別是自教育部考試中心《關于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》([2016]179號)指出：“高考在能力要求內(nèi)涵方面增加數(shù)學文化的要求”之后，數(shù)學文化更是引起教育界的廣泛關注，滲透數(shù)學文化的高考試題是新時期高考數(shù)學考試改革的熱點，因此我們單獨作為一種試題背景加以分析.

數(shù)學文化體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值和科學價值，一個人的成長應該是才、學、識三者兼顧．我們往往只強調(diào)知識和能力的“學”與“才”，忽視了“識”，即見識．其實，見識是將知識和能力引向何方的根本性問題，是知識、能力形成后的個人見解，其背后的支撐是世界觀、人生觀、價值觀．數(shù)學文化在這方面可以起到有效作用．[10]從2003年開始，無論是高考自主命題的地方卷還是全國卷，高考數(shù)學試題從數(shù)學史、數(shù)學精神、數(shù)學應用三個方面陸續(xù)滲透數(shù)學文化[16]，比如2003年高考全國卷理科第15題、文科第16題，就以著名的“四色定理”為題材進行數(shù)學文化的滲透考查．眾觀近年高考數(shù)學文化試題，主要涉及名著和數(shù)學名題，[17]數(shù)學文化試題的呈現(xiàn)有些是以“本來面目”或取其特例；有些是稍作雕琢，以簡化形式呈現(xiàn)，但保留原有思路和方法；有些是加以拓展和推廣．[18]

數(shù)學文化背景試題，在考查數(shù)學的同時也考查學生的閱讀理解能力．然而，學生對數(shù)學文化試題的心聲值得我們給予關注，我們曾對1007名高中生進行調(diào)查：你喜歡這種具有數(shù)學文化背景的試題嗎？為什么？調(diào)查結果回答“不喜歡”的有605人，占60.08%，回答“喜歡”的有302人，占29.99%，回答“還行”的有100人，占9.93%．學生回答“喜歡”的原因大致為：“這種試題蘊含著豐富的文化背景，可以了解數(shù)學的發(fā)展史，拓展視野，領略先人們的智慧，讓枯燥的數(shù)學有了文化背景，在緊張的學習之余提供了文化環(huán)境熏陶，不知不覺提高了文化自信，增加了對數(shù)學的興趣，提高文化素養(yǎng)．”回答“不喜歡”的原因大致為：“這樣的試題題目太長，需要大量的文字理解，很難看懂題目，考試時間緊迫，浪費讀題時間，表面上極具新意，但無意中加重了考生的閱讀負擔，繁瑣的閱讀材料很容易讓學生抓不到入手點，找不到關鍵信息，干擾學生數(shù)學思維，給對深奧文字不易理解的同學帶來困難，失去了數(shù)學的意義，難以起到提升數(shù)學文化涵養(yǎng)的作用．”有六成的學生不喜歡這種具有數(shù)學文化背景的試題，這值得我們深思！也警示我們，要重視對學生數(shù)學閱讀理解能力的培養(yǎng)；要創(chuàng)新數(shù)學文化試題的呈現(xiàn)方式；要將數(shù)學文化有效的滲透在常態(tài)的教學中，真正揭示數(shù)學文化的內(nèi)涵，提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng)；要注意數(shù)學文化試題科學、嚴謹?shù)谋硎?，不要讓“閱讀”成為學生高考的“攔路虎”(如例5).

例5【2017年高三質(zhì)檢福建卷·理4】

朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元寶鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日轉多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”．其大意為：“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問修筑堤壩多少天．在這個問題中，第5天應發(fā)大米

(A) 894升 (B)1170升

(C)1275升 (D)1467升

3.3 試題性質(zhì)的演變

(1)封閉性試題

封閉性試題一般是指試題所給條件完備、過程確定、結論唯一，建國以來的高考數(shù)學試題，甚至從民國時期的高考數(shù)學試題，都是以封閉性為主旋律，這類試題比較普遍，我們這里就不展開分析.

(2)開放性試題

高考數(shù)學命題堅持穩(wěn)中求變，變中求新，從1999年開始陸續(xù)出現(xiàn)一些考查探究能力的開放性試題，有條件開放、解題策略開放、結論開放和綜合性開放等類型．開放題(Open Ended Problem)原是1971年日本學者島田茂為首的一個小組的研究課題的副產(chǎn)品，起初只是作為檢測學生數(shù)學學習水平的一種手段．在我國開始介紹開放題當始于1980年日本學者澤田利夫的一篇文章《從“未完結問題”提出的算術、數(shù)學課的教學的方案》刊登在《外國教育》第4期的時候[19]，這里的“未完結問題”就是指開放題．我國對數(shù)學開放題的集中研究當屬浙江教育學院的戴再平教授，戴教授編著了5本從小學到高中的開放題集，在全國廣為流傳，開放題的理念迅速在全國擴展，高考數(shù)學試題中也陸續(xù)出現(xiàn)開放題，如1999年全國卷文科、理科第18題，2000年全國卷文科、理科第16題，之后開放性試題成為高考試題改革的一個關注點.

例6【2002年高考全國卷·文22】

(Ⅰ)給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖1，圖2)，要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

(Ⅱ)試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3)，要求剪拼成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明.

圖1

圖2

圖3

評析：這是一道典型的開放性試題．戴再平教授利用19世紀初波爾約——蓋爾文(Bolyai-Gerwien)定理說明該題的三個小題的解法和結論有無窮多個．戴教授指出：開放性試題有利于考查學生的探究能力，特別是對創(chuàng)新能力的考核，而第(Ⅲ)小題采用加分的方法，這在高考評分中是一大創(chuàng)新．[20]對于開放性試題的評分應該采用“滿意原則”、“加分原則”，只要學生給出滿足問題要求的答案，就應該滿意而給滿分，對于解答超過一種甚至說明有無窮多種的，應該加分鼓勵．如何命制更能考查學生創(chuàng)新意識和思維過程的開放性試題，還需要我們不斷地探索與實踐.

4 未來高考數(shù)學試題命制與考試時間展望

4.1 “素養(yǎng)立意”命題

建國以來，高考數(shù)學試題的命制經(jīng)歷了“知識立意”到“能力立意”的過程，《普通高中數(shù)學課程標準(征求意見稿)》[12]提出新的命題理念：要基于數(shù)學核心素養(yǎng)的考試命題．這也就意味著高考數(shù)學命題將向“素養(yǎng)立意”演進．“雙基”是我國的優(yōu)良傳統(tǒng)，高考命題在保持傳統(tǒng)精華的基礎上，應該與時俱進，不斷創(chuàng)新，在考查知識技能的同時，關注學生基本思想和基本活動經(jīng)驗的形成，有效考查學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，注重對學生核心素養(yǎng)達成水平的評價．以“素養(yǎng)立意”為導向命制試題，處理好數(shù)學核心素養(yǎng)與知識技能的關系，充分發(fā)揮考試對教學的積極導向作用，為人才培養(yǎng)，人才選拔作出貢獻.

4.2 題型、題量與考試時間

建國以來，高考數(shù)學考試題量在8～28題之間擺動，2000年以來基本隱定在22題．對于高考數(shù)學考試時長，我們搜索了自1952年全國高等學校實行統(tǒng)一命題考試以來的高考準考證，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：除1952年高考數(shù)學時長為1小時40分鐘，從1953年至今，一般為2個小時，只有1977年省市自主命題時部分省(如湖北、廣東)高考數(shù)學考試時長達到2個半小時．不同題型與題量卻要求在相同長度的時間內(nèi)作答，這一問題也許值得我們進一步思考.

2個小時的考試時間，大部分考生和老師都反映做不完．2010年張奠宙先生就“呼吁延長高考數(shù)學考試時間”，他指出：考試是檢測學生解題的能力，而不是解題快慢，學生會解就行，速度并沒那么重要．[21]未來高考數(shù)學要適度調(diào)整考試時間和題量[12]，也就是在不增加題量的前提下延長考試時間，給學生足夠的思維時間；或在不延長考試時間的情況下，充分發(fā)揮各類試題的考查優(yōu)勢，科學地進行題型和題量的調(diào)整，逐步減少選擇題、填空題的題量；命制一定數(shù)量的應用問題，問題情境的設計真實，來源于現(xiàn)實世界；以“素養(yǎng)立意命題”，命制更能考查學生創(chuàng)新意識和思維過程的開放題，以滿意原則和加分原則進行評分，評分的原則和標準是思維和結果的一致性程度，如果學生的思維和結果一致，就應該滿意給滿分，如果學生的思維分析更深刻，就應該加分．