文︳王凱成

再論小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分段函數(shù)問(wèn)題

文︳王凱成

筆者在2007年曾研究過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分段函數(shù)問(wèn)題（王凱成.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分段函數(shù)問(wèn)題（J），小學(xué)教學(xué)研究，2007年第7期）。由于課標(biāo)教材重新修訂，更加注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都滲透了分段函數(shù)的內(nèi)容，因此，重新挖掘研究小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分段函數(shù)問(wèn)題很有必要。

例1（西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)）藍(lán)叔叔選擇的上網(wǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每月繳30元可以上網(wǎng)50小時(shí)，超過(guò)50小時(shí)每小時(shí)收1.5元。藍(lán)叔叔這個(gè)月上網(wǎng)78小時(shí)，需要繳多少元上網(wǎng)費(fèi)？

解：藍(lán)叔叔這個(gè)月上網(wǎng)78小時(shí)，78＞50，按規(guī)定藍(lán)叔叔上網(wǎng)的78小時(shí)中的50小時(shí)需繳費(fèi)30元，剩余的78-50=28（小時(shí)）應(yīng)繳費(fèi)1.5×28=42（元）。所以，藍(lán)叔叔這個(gè)月上網(wǎng)78小時(shí)應(yīng)繳30+42=72（元）的上網(wǎng)費(fèi)。

一般地，設(shè)某人這個(gè)月上網(wǎng)x（x是正整數(shù)）小時(shí)，需要繳 （fx）元的上網(wǎng)費(fèi)。那么 （fx）是分段函

例2（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)）某市自來(lái)水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5元；超過(guò)12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

解：（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，由于11＜12，按規(guī)定應(yīng)繳水費(fèi) 2.5×11=27.5（元）。

（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，17＞12，按規(guī)定17噸中的12噸每噸繳費(fèi)2.5元，12噸應(yīng)繳2.5×12=30（元）；超出的 17-12=5（噸）每噸繳費(fèi)3.8元，5噸應(yīng)繳3.8×5=19（元）。所以小可家上個(gè)月應(yīng)繳水費(fèi)為30+19=49（元）。

一般地，設(shè)某家上個(gè)月用水量為x噸，應(yīng)繳水費(fèi)為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

例3（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)）為了鼓勵(lì)節(jié)約用電，某市電力公司規(guī)定了以下的電費(fèi)計(jì)算方法：每月用電不超過(guò)100千瓦時(shí)，按每千瓦時(shí)0.52元收費(fèi)；每月用電超過(guò)100千瓦時(shí)，超過(guò)部分按每千瓦時(shí)0.6元收費(fèi)。小明家10月付電費(fèi)64.6元，用電多少千瓦時(shí)？

解：因?yàn)?4.6＞52，所以小明家10月的用電量超過(guò)了100千瓦時(shí)。小明家10月用電量為：100+（64.6-52）÷0.6=121（千瓦時(shí)）。

設(shè)小明家10月的用電量為x千瓦時(shí)，那么可以用右圖直觀呈現(xiàn)題設(shè)條件。

一般地，設(shè)某家10月用電量為x千瓦時(shí)，付電費(fèi)為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)也有電費(fèi)分段收費(fèi)問(wèn)題。請(qǐng)看例4。

例4 （根據(jù)西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)練習(xí)題改編）為了鼓勵(lì)節(jié)約用電，某市實(shí)行“階梯電價(jià)”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示。

月用電量x（千瓦時(shí)）0＜x≤170170＜x≤240240＜x每千瓦時(shí)電費(fèi)（元） 0.52 0.57 0.87

小華：我家這個(gè)月用電170千瓦時(shí)，應(yīng)付多少元？

小青：我家這個(gè)月用電185千瓦時(shí)，應(yīng)付多少元？

例5 （人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)第105頁(yè)例2，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第82頁(yè)例題）每一次只能烙兩張餅，每個(gè)餅的兩面都要烙，每面3分鐘。如果要烙1張餅、2張餅、3張餅、4張餅……10張餅，怎樣烙合理？你發(fā)現(xiàn)了什么？

解：烙1張，有2面，每次烙1面，烙2次，需2×3=6（分鐘）；

烙2張，有4面，每次烙2面，烙2次，需2×3=6（分鐘）；

烙3張，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9（分鐘）。

烙4張、5張、……10張餅，怎樣烙合理？

轉(zhuǎn)化：

（1）烙偶數(shù)張餅，不妨設(shè)為2n張，那么2張2張地烙，每2張需要6分鐘，共n個(gè)2張，所以烙2n 張餅需要 6n=（2n）×3(分鐘)。

（2）烙大于1的奇數(shù)張餅，不妨設(shè)為2n+1張，那么先烙3張餅，需要9分鐘，剩下的2n+1-3=2（n-1）張，2 張 2 張地烙，烙 2（n-1）張需要 6（n-1）分鐘。所以烙2n+1（n是正整數(shù)）張餅需要9+6（n-1）=6n+3=（2n+1）×3（分鐘）。

由（1）和（2）可見，烙x（x＞1）張餅，無(wú)論x是奇數(shù)還是偶數(shù)，烙這x（x＞1）張餅都需要3x分鐘的時(shí)間。

一般地，設(shè)烙x張餅，需要的時(shí)間為f（x）分鐘，那么f（x）是分段函數(shù)：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=6；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=3x。

例6（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)）長(zhǎng)陽(yáng)動(dòng)物園的門票價(jià)格規(guī)定如下表所示。西街小學(xué)四年級(jí)同學(xué)去長(zhǎng)陽(yáng)動(dòng)物園春游，一班有48人，二班有49人，三班有52人。

購(gòu)票人數(shù) 1～50 51～100 100以上票價(jià) 15元/人 13元/人 10元/人

（1）每個(gè)班分別購(gòu)票，各需要多少元？

（2）三個(gè)班合起來(lái)購(gòu)票，一共需要多少元？

解：（1）一班有 48人購(gòu)票，由于 1＜48＜50，每人15元，一班購(gòu)票需要15×48=720（元）；二班有49人購(gòu)票，由于1＜49＜50，每人 15元，二班購(gòu)票需要15×49=735（元）；三班有52人購(gòu)票，由于50＜52＜100，按規(guī)定52人中的50人購(gòu)票每人15元，剩下52-50=2（人）購(gòu)票每人13元，三班購(gòu)票需要 15×50+13×2=776（元）。

（2）三個(gè)班合起來(lái)一共有48+49+52=149（人），149人購(gòu)票，按規(guī)定149人中的50人購(gòu)票每人15元，另外50人購(gòu)票每人13元，剩下的149-50-50=49（人）購(gòu)票每人10元，三個(gè)班合起來(lái)購(gòu)票，一共需要15×50+13×50+10×49=1890（元）。

一般地，設(shè)x人在長(zhǎng)陽(yáng)動(dòng)物園購(gòu)票，購(gòu)票費(fèi)為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

例7 （根據(jù)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)練習(xí)題改編）出租車收費(fèi)規(guī)定：3km以內(nèi)7元；超過(guò)3km，每千米1.5元（不足1km按1km計(jì)算）。小李坐出租車6.3km，要付多少錢？

解：6.3＞3，6.3-3=3.3，3.3 千米應(yīng)按 4 千米收費(fèi)，收費(fèi) y=7+1.5×4=13（元）。

一般地，設(shè)行車?yán)锍虨閤千米，收費(fèi)為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：當(dāng)0＜x≤3時(shí)，f（x）=7；當(dāng)x是大于3的整數(shù)時(shí)，f（x）=7+1.5（x-3）；當(dāng)x大于3且不是整數(shù)時(shí)，f（x）=7+1.5（［x］-2），其中[x]表示x的整數(shù)部分。

例8（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)）某地打固定電話每次前3分鐘內(nèi)收費(fèi)0.22元，超過(guò)3分鐘每分鐘收費(fèi)0.11元（不足1分鐘按1分鐘收費(fèi)）。媽媽一次通話時(shí)間是8分29秒，她這一次通話的費(fèi)用是多少？

解：媽媽這次通話的時(shí)間是8分29秒，超過(guò)3分鐘，按照收費(fèi)規(guī)定，8分29秒中的前3分鐘收費(fèi)0.22元，剩下的5分29秒應(yīng)按6分鐘付費(fèi)，且這6分鐘每分鐘付費(fèi)0.11元。

所以，媽媽這一次的通話費(fèi)用是：0.22+0.11×6=0.88（元）。

一般地，設(shè)某人的通話時(shí)間為x分鐘，應(yīng)付費(fèi)為f（x）元，那么f（x）是分段函數(shù)：

數(shù)學(xué)教育家李秉彝提出，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂。上通數(shù)學(xué)就是要了解數(shù)學(xué)內(nèi)容所滲透的數(shù)學(xué)思想方法，把具體的數(shù)學(xué)知識(shí)上升到更高的層次，用高觀點(diǎn)來(lái)理解。下達(dá)課堂就是要熟悉學(xué)生的知識(shí)水平與能力，在高觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平上進(jìn)行有效教學(xué)，而不是機(jī)械地照搬高觀點(diǎn)。上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂應(yīng)該成為每一位數(shù)學(xué)教師的自覺行動(dòng)。

（作者單位：陜西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心）