胡亞南

【摘 要】數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)人個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用。而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯理解的起點(diǎn)，是它引導(dǎo)我們用數(shù)學(xué)的語言認(rèn)識(shí)世界、描述世界和表達(dá)世界，是它讓我們與大自然融為一體。在高中教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生解題的出發(fā)點(diǎn)和突破點(diǎn)，更是教師教學(xué)的著眼點(diǎn)和落腳點(diǎn)。怎么上好概念課？怎么讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵和外延？是每個(gè)教師都在探索的問題，筆者在研究教師課程能力的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了劉英琦老師的理解性教育模式“課程教學(xué)文獻(xiàn)研究——觀念文化性內(nèi)容和核心素養(yǎng)——前測評：教學(xué)目標(biāo)和評價(jià)設(shè)計(jì)——任務(wù)分析：設(shè)計(jì)并實(shí)施理解性教學(xué)活動(dòng)——后測評：師生的教與學(xué)反思”，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和所教學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行研究和分析。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；本質(zhì)；過程；理解性模式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）31-0043-04

隨著高三復(fù)習(xí)的深入和推進(jìn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在教師傳授解題方法技巧的時(shí)候聽課認(rèn)真、接受能力也表現(xiàn)得較強(qiáng)，遇到復(fù)習(xí)概念性、基礎(chǔ)知識(shí)的時(shí)候就心不在焉，甚至低頭做自己的事情，通過大量練習(xí)發(fā)現(xiàn)在考查基礎(chǔ)知識(shí)和概念性的問題面前他們卻表現(xiàn)得心有余而力不足，這就是典型的“重解題技巧，輕概念基礎(chǔ)”造成的。

根據(jù)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中課程的基本理念“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)、注意適度形式化”，數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡、把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。以此為研究的初衷，借鑒劉老師的理解性教育模式，針對高一高二的數(shù)學(xué)概念課筆者提出“重形成、重探索、重過程”的理解性教育理念，在提高概念學(xué)習(xí)效果的同時(shí)提高教師的課程能力。

現(xiàn)以“直線與平面所成角”為例在理解性教學(xué)上進(jìn)行探究。

一、課程教學(xué)文獻(xiàn)研究

課前參考的文獻(xiàn)主要有教材、教參、課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說明、優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)、優(yōu)秀課例視頻、數(shù)學(xué)大家的專題研究和所涉及內(nèi)容的數(shù)學(xué)發(fā)展史和文化背景。文獻(xiàn)研究的主要目的是明確教學(xué)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中的地位、在單元知識(shí)體系中的作用和地位，確定知識(shí)目標(biāo)；通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的研究，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生明白研究的意義價(jià)值和研究歷程，確定情感價(jià)值觀目標(biāo)；通過教參、課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明明確知識(shí)和能力的要求，初步確定重難點(diǎn)。

直線與平面所成的角，是在學(xué)生已有平面角的概念基礎(chǔ)上，在異面直線所成角的學(xué)習(xí)之后，又一重點(diǎn)研究學(xué)習(xí)的空間角。異面直線所成的角、直線與平面所成的角及后面將學(xué)習(xí)的二面角都是立體幾何的重要概念，也都是學(xué)生進(jìn)一步研究空間多面體的基礎(chǔ)和發(fā)展構(gòu)建空間概念的依據(jù)。因此，它起著承前啟后的作用。同時(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力的重要素材。而要得到以上三角均需轉(zhuǎn)化為平面中相交直線的夾角來求得，所以復(fù)習(xí)異面直線所成的角有利于學(xué)生進(jìn)行對比聯(lián)系，掌握直線與平面所成角同時(shí)也為后繼學(xué)習(xí)作好鋪墊。平面外的直線和其在平面內(nèi)的射影的夾角是直線與平面內(nèi)任意直線所成角中的最小值、平面外的直線和其在平面內(nèi)的射影的夾角的大小僅取決于直線與平面的位置說明了直線與平面所成角概念的合理性，教學(xué)中需讓學(xué)生理解，才能真正認(rèn)同和掌握概念。應(yīng)用概念求解直線與平面所成角中關(guān)鍵是找出直線在平面中的射影，在教學(xué)中需量化，強(qiáng)調(diào)解題步驟。

二、觀念文化性內(nèi)容和核心素養(yǎng)

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，人們常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。高中階段的立體幾何初步知識(shí)主要是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力，“空間角”和“距離”的度量問題主要是培養(yǎng)學(xué)生 “空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”的化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，所以本節(jié)課之前的“異面直線所成角”在設(shè)計(jì)上就重在培養(yǎng)學(xué)生大膽提出問題、解決問題的思維習(xí)慣，以問題鏈的形式鼓勵(lì)學(xué)生一步一步自己探索發(fā)現(xiàn) “異面直線所成角”的概念，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)概念的自主意識(shí)，提高學(xué)生對于新問題的提出、分析和解決的能力，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)和敢于挑戰(zhàn)自我的精神。問題鏈如下圖1：

因?yàn)檫@個(gè)概念并不是很難理解，所以很多學(xué)生在提出問題后就可以輕輕松松地得到理想答案，并能統(tǒng)一結(jié)論。那為什么還要對這個(gè)簡單概念大費(fèi)周章引導(dǎo)學(xué)生自己探索呢？第一，簡單問題學(xué)生“跳一跳，就可以摘到桃子”，為什么不讓他們自己在探索中體會(huì)其中的快樂呢？第二，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到解決空間問題就是要平面化的轉(zhuǎn)化與化歸思想；第三，讓學(xué)生有意識(shí)用已有的相關(guān)知識(shí)解決新的問題，提高學(xué)生解決問題的能力，“授人以魚不如授人以漁”。為下一節(jié)課“直線與平面所成角”的學(xué)習(xí)提供了研究方法和數(shù)學(xué)思想的支持。

那么，根據(jù)上述研究本節(jié)課的觀念文化性內(nèi)容和核心素養(yǎng)總結(jié)如圖2。

三、前測評，教學(xué)目標(biāo)和評價(jià)設(shè)計(jì)

前測是設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、難易程度的基礎(chǔ)，根據(jù)上節(jié)課作業(yè)的情況進(jìn)行輔導(dǎo)交流，然后做知識(shí)和方法的前測性檢驗(yàn)，主要檢驗(yàn)是否具備學(xué)習(xí)新課的知識(shí)和能力，根據(jù)前測情況確定教學(xué)目標(biāo)、再定重難點(diǎn)和設(shè)計(jì)教學(xué)過程。

1. 前測內(nèi)容

（1）異面直線所成角是什么？體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想？

（2）根據(jù)異面直線所成角的定義和思想，大膽猜想直線與平面所成角的定義？

第一個(gè)問題是學(xué)習(xí)新內(nèi)容的基本保障，要求100%的通過率，第二個(gè)問題是鼓勵(lì)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上大膽猜想，合理就行。

2. 根據(jù)前測結(jié)果設(shè)置教學(xué)目標(biāo)如下

（1）知識(shí)目標(biāo)：①理解掌握直線和平面所成的角定義及定義的合理性；②初步掌握求直線和平面所成角的方法和步驟。

（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力、提出問題解決問題的能力和概括總結(jié)的能力。

（3）核心素養(yǎng)：學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化轉(zhuǎn)化與化歸（空間問題平面化）的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3. 評價(jià)設(shè)計(jì)

（1）課堂表現(xiàn)：對問題鏈中涉及問題的反應(yīng)和回答情況；（2）實(shí)時(shí)評價(jià)：課堂的變式練習(xí)、跟蹤練習(xí)；（3）課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？學(xué)會(huì)了什么？有什么數(shù)學(xué)思想和大家分享的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自己總結(jié)新知識(shí)、新方法、提煉數(shù)學(xué)思想，提高他們的總結(jié)反思能力、語言表述能力和學(xué)習(xí)能力，最終提升對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀念性認(rèn)知。

4. 課后作業(yè)

（1）學(xué)案作業(yè)（分三個(gè)層次A＼B＼C）；（2）拓展作業(yè)：你能定義“平面與平面所成角”嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)一分為二，有新課的后測、深化內(nèi)容，同時(shí)也有下一節(jié)課的前測性探究問題，進(jìn)一步滲透學(xué)習(xí)空間問題的思想方法和研究方式，提高學(xué)習(xí)能力。

5. 重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：①直線和平面所成的角定義的生成；②求直線和平面所成的角的方法步驟。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：概念理解、斜線在平面內(nèi)的射影的確定和后續(xù)計(jì)算。

四、任務(wù)分析：設(shè)計(jì)并實(shí)施理解性教學(xué)活動(dòng)

根據(jù)以上分析，結(jié)合理解性教學(xué)模式“經(jīng)驗(yàn)性理解—本質(zhì)性理解—結(jié)構(gòu)化理解—觀念文化性理解”的四個(gè)層次，進(jìn)行如下創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)：

1. 概念引入——經(jīng)驗(yàn)性理解

通過已有異面直線所成角的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在方法和思想上進(jìn)行引導(dǎo)，從經(jīng)驗(yàn)性理解轉(zhuǎn)化為本質(zhì)性理解。

【問題1】前面學(xué)習(xí)了異面直線所成的角，請大家回顧一下概念及形成，并說出體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想。

【設(shè)計(jì)意圖】提醒學(xué)生線線角的探究過程，意在引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)、遷移思想方法。

【問題2】直線和平面所成角呢？

【預(yù)設(shè)問題】生甲：直線與平面有三種位置關(guān)系，平行和在面內(nèi)是0°，直線與平面相交就不知道了。

生乙：直線與平面垂直那就是90°。

【設(shè)計(jì)意圖】認(rèn)識(shí)斜線，明白直線與平面所成角主要是斜線與平面所成角。

【問題3】直線與平面相交，并且不垂直于平面我們把它叫作斜交，直線就叫作斜線，那你們認(rèn)為斜線與平面的交點(diǎn)叫什么呢？想一想，如果是垂直，交點(diǎn)叫什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)小概念激發(fā)學(xué)生探索熱情，學(xué)生在引導(dǎo)下異口同聲說出“斜足”，當(dāng)?shù)玫嚼蠋熆隙〞r(shí)，童心未泯的學(xué)生似乎不敢相信就這么定義出來了。順勢讓學(xué)生明白有些概念就是從日常生活中來，貼近我們的理解和想象，以此激發(fā)學(xué)生大膽設(shè)想的創(chuàng)新意識(shí)。

2. 概念提出——經(jīng)驗(yàn)性理解

【問題4】你認(rèn)為直線與平面所成的角應(yīng)該刻畫出什么特征呢？

生甲：不同斜線相對同一平面的位置。

【問題5】根據(jù)異面直線所成角的概念，請大家分組討論直線與平面所成角是哪個(gè)角？

討論結(jié)果：轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角，那與平面內(nèi)那條直線所成角能夠代表它相對于平面的傾斜程度呢？大家動(dòng)手?jǐn)[一擺，動(dòng)一動(dòng)。

【設(shè)計(jì)意圖】在知識(shí)和方法已經(jīng)儲(chǔ)備完成的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生自己探究，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生立體幾何實(shí)物化的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能擺的就動(dòng)用手中的一切工具把實(shí)物展示出來。

3. 概念探索——本質(zhì)性理解

（1）概念探究。

【討論結(jié)論】與投影所成的角（規(guī)范概念中的射影的概念），同時(shí)提出問題6。

【問題6】為什么你們一致認(rèn)為是這個(gè)角？

生：在我們擺的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)角是最小的。

（2）概念猜想：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角。

師：你們確定是最小的嗎？證明了嗎？你們敢給一個(gè)沒有經(jīng)過證明的東西就這樣糊糊涂涂地下定義了嗎？

（3）證明猜想：如圖3：OA是平面？琢的一條斜線，A為斜足，O？注⊥？琢，B是垂足，AC為平面？琢內(nèi)的任意一條與AB不重合的直線，直線OA與AB所成的角為？茲1，直線OA與AC所成的角為？茲。猜想：？茲1<？茲

【備注】以上構(gòu)建數(shù)學(xué)問題以學(xué)生敘述為主，教師規(guī)范語言即可。

（4）重要結(jié)論：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一直線所成的角中最小的角。

【設(shè)計(jì)意圖】既要培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，又要培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，同時(shí)在證明過程中提高學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力，此過程讓學(xué)生感受定義的可行性和合理性。

4. 概念形成——結(jié)構(gòu)化理解

（1）斜線和平面所成的角的概念。一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影的夾角叫作斜線和平面所成的角。

（2）規(guī)定：①如果直線和平面垂直，就說直線和平面所成的角是直角。②如果直線和平面平行或在平面內(nèi)，就說直線和平面所成角是直角。

強(qiáng)調(diào)：①直線和平面所成的角的范圍是：[0°，90°]。②定義直線和平面所成角的可行性及合理性。③理解公式cos？茲=cos？茲1·cos？茲2中三個(gè)角的真正含義，明確？茲是這三個(gè)角中的最大的角。

5. 概念應(yīng)用——“空間問題平面化”的數(shù)學(xué)觀念文化性理解

通過高考試題和典型例題的練習(xí)和講解，進(jìn)一步促進(jìn)新知識(shí)的結(jié)構(gòu)化理解——總結(jié)出解決問題的思路和步驟，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的觀念文化性理解。

【概念辨析】

1. 已知直線l與平面α所成的角為30°，那么直線l與平面α內(nèi)其他直線所成最小的角為（ ）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°

2. 已知直線l與平面α所成的角為30°，那么直線l與平面α內(nèi)其他直線所成最大的角為（ ）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°

【設(shè)計(jì)意圖】在應(yīng)用中進(jìn)一步深化概念的理解，形成結(jié)構(gòu)性理解，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)使用價(jià)值，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)動(dòng)力和興趣。

【典例分析】

例1：在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，試求直線BD1與平面ABCD所成的角的正弦值。

【設(shè)計(jì)意圖】得到結(jié)構(gòu)性理解：

（1）求直線和平面所成的角的步驟：一作二證三求解。

（2）求直線和平面所成的角的關(guān)鍵：作（找）斜線在平面內(nèi)的射影。

變式：在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1C1與截面ABC1D1所成的角。

例2：如圖，已知AB為平面α的一條斜線，B為斜足，AO⊥？琢，O為垂足，BC為？琢內(nèi)的一條直線，∠ABC=60°，∠OBC=60°，求斜線AB和平面α所成的角。

變式：已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ΔABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于______。

【真題體驗(yàn)】

（2007年全國2卷）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ）

【設(shè)計(jì)意圖】一系列課堂上進(jìn)行的限時(shí)練習(xí)、真題強(qiáng)化，是最及時(shí)、最有效的評價(jià)反思方式，加強(qiáng)學(xué)生對概念的結(jié)構(gòu)化理解，形成解決問題的模式，不僅提高課堂效率，而且提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

五、后測評：師生的教與學(xué)反思

主要通過兩測，即“當(dāng)堂檢測”和“后測”來評價(jià)學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用情況，評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

通過當(dāng)堂的練習(xí)、變式和課堂小結(jié)，學(xué)生對概念的認(rèn)知可達(dá)100%，概念的理解92%，應(yīng)用81%，所以教師通過講解、演示、個(gè)別輔導(dǎo)的方式提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

課堂后測的常規(guī)作業(yè)分三個(gè)層次：A.理解概念并能解決簡單直線與平面所成角，比如在長方體、正方體中，射影就在表面的直線；B.能解決較復(fù)雜線與面所成角，比如在長方體表面的直線與對角面所成角；C.掌握并靈活解決線面角，比如直棱柱、正四面體的線面所成角問題。通過學(xué)生的答題情況，達(dá)到A要求的將近100%，個(gè)別學(xué)生計(jì)算上出現(xiàn)問題；達(dá)到B要求的92%，剩余的學(xué)生有的是在對角面上找不到射影，也就是空間想象能力不足，有的是找到算不對；達(dá)到C要求的70%，其中大部分同學(xué)沒有證明射影，剩余的30%主要是在直棱柱中找不到斜線的射影或是找錯(cuò)，體現(xiàn)空間想象和線面垂直的分析能力欠缺，空間想象能力和線面位置分析能力的提升不可一蹴而就，所以這個(gè)缺憾可以在后續(xù)的空間問題向量化、解析化后得以彌補(bǔ)。

本節(jié)課在課程理解與決策方面有比較深入細(xì)致的研究，對概念教學(xué)足夠重視，符合新課改“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)、注意適度形式化”的基本理念；在課程的設(shè)計(jì)中，以問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)設(shè)疑、主動(dòng)探索、積極主動(dòng)解決問題，重視概念的生成過程，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展現(xiàn)狀，符合新課改“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”；在課程的實(shí)施與組織方面，由于前期準(zhǔn)備充分，對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況有充分的分析和調(diào)研，所以課堂實(shí)施游刃有余，應(yīng)對科學(xué)理性；在課程的評價(jià)與反思方面也有所突破，有課堂檢測、小結(jié)以及后測的評價(jià)體系，及時(shí)有效地反思教學(xué)，提高教學(xué)效果。

總之，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)最有效的工具和抓手，上好概念課對學(xué)生認(rèn)識(shí)世界、改變世界具有重大意義，上好概念課也是帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略和欣賞數(shù)學(xué)內(nèi)在美的途徑。

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（編輯：張 婕）