蘇召斌，林 森

（中交天津港航勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，天津 300457）

絞刀運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的歐拉角表示

蘇召斌，林 森

（中交天津港航勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，天津 300457）

傳統(tǒng)的絞刀運(yùn)動(dòng)往往被簡(jiǎn)化為橫移加旋轉(zhuǎn)的二維運(yùn)動(dòng)方式，這種運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化方法難以準(zhǔn)確地定義絞刀的位置和姿態(tài)。以剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，嚴(yán)格推導(dǎo)了絞刀運(yùn)動(dòng)的歐拉表示方法，以全新的視角描述了絞刀的運(yùn)動(dòng)。對(duì)繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了公式推導(dǎo)，能夠簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確地描述絞刀的位置和姿態(tài)變化。使用絞刀橫移偏轉(zhuǎn)角度、下放角度和旋轉(zhuǎn)角度定義絞刀的位置和姿態(tài)，并給出了絞刀和刀齒位置姿態(tài)的表達(dá)形式。

絞刀；歐拉角；坐標(biāo)變換

0 引言

在港口建設(shè)、航道疏浚及吹填工程中，絞吸式挖泥船被廣泛應(yīng)用[1]，絞刀是絞吸式挖泥船的核心裝備。絞吸挖泥船在估算挖泥產(chǎn)量時(shí)，將被挖泥土看成切層厚度、步進(jìn)距離和擺寬的乘積，切層厚度指絞刀切削塊的豎向尺寸，步進(jìn)距離指切削塊的縱向尺寸，擺寬就是指切削區(qū)間的橫向尺寸。事實(shí)上，絞刀的運(yùn)動(dòng)是三種轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加，分別為繞著定位鋼樁的轉(zhuǎn)動(dòng)、繞著橋架耳軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和絞刀軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)[2]。絞刀距離定位鋼樁約為100 m，距離絞刀耳軸約40 m，而絞刀直徑僅僅約為3 m，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化以后，普遍將絞刀運(yùn)動(dòng)分解為沿著水平方向的平動(dòng)和沿著絞刀軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)[3]。在絞吸挖泥船施工的一個(gè)擺寬區(qū)間，絞刀繞著定位鋼樁的擺動(dòng)幅度將近，目前對(duì)絞刀的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化與實(shí)際工作狀態(tài)并不相符。

目前，描述空間結(jié)構(gòu)姿態(tài)表示的有PRY角、歐拉角和四元數(shù)等，其中歐拉角是用來(lái)描述轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的3個(gè)獨(dú)立角參量，描述絞刀的運(yùn)動(dòng)更適合[4-6]。

1 坐標(biāo)變換

1.1 絞刀運(yùn)動(dòng)分析

絞刀整體運(yùn)動(dòng)一般被看做橫移和轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，其中絞刀距離鋼樁軸線的距離遠(yuǎn)大于絞刀的直徑，繞鋼樁的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)被簡(jiǎn)化為橫移運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，當(dāng)絞吸挖泥船向前推移一個(gè)步進(jìn)距離，絞刀進(jìn)入下一個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在每一個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，鋼樁均是在固定位置。如圖2所示，除了繞鋼樁轉(zhuǎn)動(dòng)外，絞刀的運(yùn)動(dòng)還包括：繞橋架耳軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和繞絞刀軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。因此，絞刀的運(yùn)動(dòng)是上述三種轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

圖1 絞刀繞鋼樁運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of the cutter rotated around the steel pile

圖2 絞刀繞橋架耳軸轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch of the cutter rotated around the bridge trunnion

1.2 三維坐標(biāo)變換

剛體的運(yùn)動(dòng)可以等效為一次平動(dòng)和一次轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上的任意一點(diǎn)P在固定坐標(biāo)系A(chǔ)中的齊次坐標(biāo)為AP=（xA，yA，zA，1），在坐標(biāo)B系中的齊次坐標(biāo)為BP=（xB，yB，zB，1），則存在關(guān)系式：

式中：繞x軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為Rx（琢）；繞y軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為Ry（茁）；繞z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為Rz（酌）。對(duì)于右手坐標(biāo)系逆時(shí)針為正，即繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由y軸轉(zhuǎn)向z軸為正；繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由z軸轉(zhuǎn)向x軸為正；繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由x軸轉(zhuǎn)向y軸為正。

1.3 定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的歐拉變換

歐拉角是用來(lái)唯一地確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)物體位置的3個(gè)一組獨(dú)立參量，由章動(dòng)角茲，進(jìn)動(dòng)角鬃和自轉(zhuǎn)角漬組成。按照旋轉(zhuǎn)所繞軸次序的不同，共有12種不同的歐拉角，6種對(duì)稱型歐拉角為：XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ和 ZYZ。6種非對(duì)稱型歐拉角為：XYZ、XZY、YXZ、YZX、ZXY和ZYX。

如圖3所示的ZXZ型歐拉角，即坐標(biāo)軸先繞z軸旋轉(zhuǎn)鬃角，再繞新的x軸（即N軸）旋轉(zhuǎn)茲角，最后繞新的z軸（即z憶軸）旋轉(zhuǎn)漬角，剛體旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

同理，其它5種對(duì)稱型歐拉角對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣可以按照旋轉(zhuǎn)的先后順序求解。

圖3 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角示意圖Fig.3 Diagrammatic sketch of Euler angle rotated round the fixed point

當(dāng)歐拉角類型為ZXY時(shí)，即坐標(biāo)軸先繞y軸旋轉(zhuǎn)鬃角，再繞新的x軸旋轉(zhuǎn)茲角，最后繞新的z軸旋轉(zhuǎn)漬角，剛體旋轉(zhuǎn)矩陣為：

同理，其它5種非對(duì)稱型歐拉角對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣可以按照旋轉(zhuǎn)的先后順序求解。

1.4 繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉變換

記固定坐標(biāo)系為o-xyz，空間物體繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)的可以按照如下步驟進(jìn)行：

1）將軸線平移到坐標(biāo)原點(diǎn)寅2）將軸線繞固定坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)琢角至xoz平面寅3）將軸線繞固定坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)茁角至z軸寅4）繞固定坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)茲角度寅5）將軸線繞固定坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)-茁角至xoz平面寅6）將軸線繞固定坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)-琢角至xoz平面寅7）將軸線平移到原位置。

則空間物體繞任意軸的歐拉變換可以看做一系列的旋轉(zhuǎn)變換，按照式（12）進(jìn)行變換：

式中：T（a1，b1，c1，a2，b2，c2，茲）為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，旋轉(zhuǎn)軸線用起點(diǎn) p1（a1，b1，c1）和 p2（a2，b2，c2）終點(diǎn)來(lái)表示；茲為旋轉(zhuǎn)角度。軸線的方向可以表示為（a，b，c）：

同理，步驟3）為軸線繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)-茁角度的變換：

其變換矩陣為：

步驟4）的變換矩陣參照式（6），步驟5）的變換矩陣為式（18）逆矩陣，步驟6）的變換矩陣為式（16）逆矩陣，步驟7）的變換矩陣為式（14）逆矩陣，則把上述7個(gè)矩陣順次連乘就是繞任意軸的歐拉變換矩陣：

2 絞刀的運(yùn)動(dòng)

2.1 坐標(biāo)系建立

以絞刀抬出水面并且絞刀軸指向船艏方向?yàn)榛鶞?zhǔn)狀態(tài)，建立固定參考系M。其中以絞刀軸為z軸并以指向輪轂方向?yàn)檎?，以大圈下平面為xoy平面。同時(shí)，建立隨動(dòng)坐標(biāo)系N，則絞刀在基準(zhǔn)狀態(tài)時(shí)，坐標(biāo)系N和坐標(biāo)系M重合，相對(duì)于船體而言，x軸朝右，y軸朝下，z軸朝前，如圖4所示。

圖4 絞吸挖泥船F(xiàn)ig.4 Cutter suction dredger

2.2 絞刀姿態(tài)確定

絞吸挖泥船施工時(shí)，絞刀首先被下放到一定深度處，然后繞著鋼樁水平擺動(dòng)，同時(shí)絞刀也繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。為了表述方便，記絞吸挖泥船橫向擺動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角為鬃，一般在正負(fù)60毅之間；絞刀的下放角茲，一般小于50毅；絞刀的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為漬，可取任意角度。

絞刀的運(yùn)動(dòng)表示方式和歐拉角次序有關(guān)。絞刀在施工時(shí)，絞刀刀齒分別繞著鋼樁軸線、耳軸軸線和絞刀軸線運(yùn)動(dòng)。其中鋼樁軸線的優(yōu)先級(jí)最高，耳軸軸線次之，絞刀軸線最低，因此歐拉角的次序ZXY。只要給定具體的鬃、茲和漬的大小，就可以按照式（11）確定絞刀的姿態(tài)。

2.3 絞刀位置確定

記鋼樁軸線到耳軸軸線的距離為A，耳軸軸線到參考系M的距離為B，則位置矩陣為

綜上所述，絞刀的運(yùn)動(dòng)位置和姿態(tài)可以描述為：

式中：s茲表示 sin茲；c茲表示 cos茲；s鬃 表示 sin鬃；c鬃 表示 cos鬃；s漬 表示 sin漬；c漬 表示 cos漬。

同理，記任意刀齒初始時(shí)刻的柱坐標(biāo)為（R，準(zhǔn)，z），則刀齒的位置和姿態(tài)可以描述為：

式中：XA是轉(zhuǎn)動(dòng)后刀齒在固定參考系M下的X坐標(biāo)；YA是轉(zhuǎn)動(dòng)后刀齒在固定參考系M下的Y坐標(biāo)；ZA是轉(zhuǎn)動(dòng)后刀齒在固定參考系M下的Z坐標(biāo)。

2.4 實(shí)例驗(yàn)證

假設(shè) A=70，B=30，歐拉角為（10，-30，90），即絞刀向右偏轉(zhuǎn)10毅，下放絞刀20毅，轉(zhuǎn)動(dòng)90毅，記絞刀上的刀齒柱坐標(biāo)為（1.5，20，0），笛卡爾坐標(biāo)為（1.410，0.513，0），絞刀大圈中心的坐標(biāo)為（0，0，0），將各參數(shù)帶入式（22）中，則偏轉(zhuǎn)后絞刀大圈中心的笛卡爾坐標(biāo)為（16.667，15.000，-5.477），該刀齒新的笛卡爾坐標(biāo)為（18.076，14.487，-5.477）。

3 結(jié)語(yǔ)

1）以剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，討論了在直角坐標(biāo)系中的歐拉坐標(biāo)變換方程。對(duì)于絞刀運(yùn)動(dòng)描述而言，該方法比傳統(tǒng)的橫移加旋轉(zhuǎn)的輪擺式運(yùn)動(dòng)方式更加準(zhǔn)確。

2）推導(dǎo)出繞任意軸的歐拉角旋轉(zhuǎn)方程，利用絞刀鋼樁-耳軸-絞刀軸的先后繞轉(zhuǎn)次序，推導(dǎo)出絞刀姿態(tài)和位置的關(guān)系表達(dá)形式。

3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)次序和旋轉(zhuǎn)方向的不同，利用歐拉坐標(biāo)變換方法描述了絞刀刀齒的運(yùn)動(dòng)軌跡，給出了任意刀齒在任意歐拉角時(shí)的位置和姿態(tài)表達(dá)形式。

在給定絞刀的下放角度、轉(zhuǎn)動(dòng)偏角和絞刀自轉(zhuǎn)角度時(shí)，能夠唯一確定絞刀的位置和姿態(tài)，同時(shí)也能確定每一個(gè)刀齒的位置。在后續(xù)的研究中，對(duì)軌跡方程進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，能夠得出各刀齒的速度，進(jìn)而求出各刀齒的運(yùn)動(dòng)加速度，能夠?yàn)榻g刀的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持。

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Expression of the moving orientation of cutter by Euler angle

SU Zhao-bin,LIN Sen
（CCCC Tianjin Port&Waterway Prospection&Design Research Institute Co.,Ltd.,Tianjin 300457,China）

The traditional sports of cutter is often simplified as two-dimensional motion with transverse and rotation,this simplified method can not accurately define the movement and posture of cutter.As the starting point of the rigid body kinematics,we rigorously derived the Euler expression of cutter movement,and described the movement of the cutter from a new perspective.We deduced the Euler rotation to any axis,and can describe the position and attitude of the cutter simply and effectively.Uses the sliding angle,downward angle and revolving angle can define cutter position and attitude,and gives the expression of the position and attitude of cutter and tooth.

cutter；Euler angle；coordinate transformation

U615.351

A

2095-7874（2017）12-0062-05

10.7640/zggwjs201712014

2017-05-17

2017-07-13

蘇召斌（1986— ），男，山東鄄城人，碩士，工程師，固體力學(xué)專業(yè)，主要從事疏浚挖泥機(jī)具研究和巖土切削數(shù)值模擬工作。E-mail：suprc@163.com