劉建

利用動點理解二次函數(shù)的性質(zhì)

劉建

動點問題能培養(yǎng)我們的推理能力和函數(shù)思想，在最近幾年的中考中經(jīng)常出現(xiàn).請看下面這道題.

題目：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．點P是斜邊AB上一點，過點P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點Q，設(shè)AP=x，△APQ的面積為y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致為（ ）

圖1

圖2

分析：常規(guī)解題思路是：分點Q在AC上和BC上兩種情況討論；分別求出兩種情況的面積關(guān)系式；根據(jù)函數(shù)關(guān)系式對應(yīng)的圖象確定選項.

解法一：當Q點與C點重合時,

當點Q在AC上時，如圖1，

∵∠A=30°，AP=x，

當點Q在BC上時，如圖所2示，

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，

∴BP=16-x，∠B=60°，

解法二：估算分析法

觀察△ABC中的點P的運動過程，當點Q與點C重合時，PQ取最大值，此時AP＞BP，而選項C，D中的圖象均表示AP=BP，與實際情況不符，故排除選項D和C；點Q位與點C重合時，S△APQ的面積最大，點Q在點C兩側(cè)逐漸離開時，面積逐漸減少.如圖3，當Q在CP的左側(cè)時，AP1的長和高P1Q1都減少，S△AP1Q1減少較快，當Q在CP的右側(cè)時，高P2Q2減少，但AP2增加，S△AP2Q2變小的速度較慢，這樣就可排除選項A.選B.

上述兩種解法，第一種方法是最常規(guī)的方法，也比較順手.因為在解題的過程中，要看函數(shù)圖象，肯定要求出△APQ面積與x之間的函數(shù)關(guān)系.對于這個題目，這是最麻煩的一種方法.第二種方法最為簡單，但是比較抽象.對于抽象性的問題，很難想到，甚至難于理解，這需要開拓我們的思維，通過推理,得出結(jié)論.這種估算分析法，對于解選擇題特別適用.

圖3

王二喜