蔣建平， 楊 栓

(上海海事大學 海洋科學與工程學院， 上海 201306)

基于改進p-y曲線法的單樁水平受荷計算

蔣建平， 楊 栓

(上海海事大學 海洋科學與工程學院， 上海 201306)

在Winkler地基梁模型的基礎上，基于改進p-y曲線法提出了一種在復雜水平荷載作用下求解部分埋置水平受荷單樁在軟黏土中彎矩和位移的計算方法。該方法考慮了土體的塑性、土抗力與水平位移之間的非線性，且采用差分法進行求解并編寫相應的Matlab程序，便于給出精確的理論解答。通過構(gòu)制不同的地層結(jié)構(gòu)，對比樁身位移、彎矩的變化，獲得了最佳的地層結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明地表表層土強化處理很重要。最后將計算結(jié)果與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)進行對比，吻合程度較好。說明所提方法可在達到工程精度要求的基礎上，減小所需土體參數(shù)的獲取難度，降低工程成本。

水平荷載； 非線性； 改進p-y曲線； 部分埋置樁； 差分法； 地層結(jié)構(gòu)

樁基礎作為一種古老的基礎形式被沿用至今，是基礎工程的主要形式之一。在高樁碼頭、海洋平臺、大跨度的跨海大橋等工程中得到了廣泛應用。樁不但承受上部結(jié)構(gòu)的自重，且承受著風荷載、波浪力以及土體側(cè)向位移等水平荷載作用。目前工程中主要以中短樁為主，隨著國際貿(mào)易的逐年增加，海洋平臺、碼頭不斷向著深水化、國際化的方向發(fā)展，則要求基樁從中短樁向中長樁、超長樁發(fā)展。超長樁現(xiàn)在理論上還沒有明確的定義，但很多情況下總長L接近或超過50 m及長徑比L/D≥40[1]的樁即可作為超長樁進行分析。

目前很多學者對水平受荷樁進行了研究也提出了一些計算理論。歸納起來主要有Winkler彈性地基梁法、整體數(shù)值法和彈性理論法等[2]。其中彈性地基梁法應用最為廣泛，該方法可分為彈性地基反力法和p-y曲線法[3]。彈性地基反力法又可細分為常數(shù)法、K法、C法和m法。常數(shù)法是由我國學者張有齡提出的，故也稱張氏法。該法由于數(shù)學處理簡單，曾在日本、美國等國家流行，但該法的假定與工程實際脫離較大，在工程應用中已逐漸被淘汰；我國公路交通部門在1974年通過一些試樁試驗反算出反力系數(shù)隨深度的0.5次方增加，即C法。m法假定地表處的地基反力系數(shù)為零，且該系數(shù)沿樁身方向呈線性增加趨勢。

彈性地基反力法不能反映土體的非線性，僅在小位移和小荷載的情況下得到較好的效果，而對于大位移和大荷載的工況，或土體較弱的情況下，往往會產(chǎn)生較大誤差。所以對于土體產(chǎn)生較大位移的情況，采用p-y曲線法求解較為合理。在對水平受荷樁的計算上，人們更為關(guān)心的是樁身的最大位移和最大彎矩。

規(guī)范推薦的p-y曲線法是以原狀土的不排水抗剪強度Cu和三軸試驗最大主應力差一半時的應變ε50為基本參數(shù)，但這兩個參數(shù)獲取難度大；而本文基于改進p-y曲線法中采用固結(jié)快剪指標近似計算不同深度處的不排水抗剪強度Cu；ε50參考Matlock法、統(tǒng)一法提出的參數(shù)值和前面計算得到的Cu確定，這樣大大降低了所需土體參數(shù)的獲取難度。本文根據(jù)Winkler地基模型構(gòu)造方程組，利用樁土間相互作用力的平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件，建立樁土共同作用方程，求解樁身各點的水平位移yi。結(jié)合樁身位移yi求解樁身彎矩，編制相應的Matlab計算程序，最后將本文計算結(jié)果與現(xiàn)場試驗進行對比，驗證本文方法的有效性。

地層結(jié)構(gòu)對各類巖土工程的受力、變形、穩(wěn)定性和經(jīng)濟性有著重要的影響[14]。同一樁基工程中選擇不同的地層結(jié)構(gòu)，對樁身彎矩、位移的影響是不同的。本文主要針對黏土層，且構(gòu)制不同的地層結(jié)構(gòu)，分析得出對樁基承載性狀最有利的地層結(jié)構(gòu)。

1 計算方法分析

1.1 p-y法介紹

圖1 豎直彈性地基梁示意Fig.1 Schematic diagram of vertical elastic foundation beam

建立如圖1所示坐標系：坐標原點O定于樁軸線與土表面的交接點,地表平面為y軸，沿樁身深度方向為x軸。

假設土體產(chǎn)生的土反力為p，樁的橫向抗彎剛度為EI,則可導出樁身位移的基本微分方程：

(1)

樁頂受到水平荷載作用，隨著荷載的增加樁側(cè)土體由彈性變形過渡到塑性變形，在彈性區(qū)域可以采用彈性地基反力法；在塑性區(qū)域采用極限地基反力法。根據(jù)彈性變形與塑性變形邊界上的連續(xù)條件求解樁身的水平抗力，p-y曲線法是目前應用最為廣泛的方法。p-y曲線法之所以能夠得到廣泛的應用是因為其既適用于樁身小變形，又適用于樁身大變形的情況；且適用于任意尺寸、剛度和嵌固狀態(tài)的樁。規(guī)范推薦的p-y曲線法中，由于原狀土的不排水抗剪強度Cu、三軸試驗最大主應力差一半時的應變ε50兩個參數(shù)的獲取較困難且費用高，難以在實際工程中推廣。魯子愛、周天喬等提出一種新型p-y曲線法彌補了以上不足[9]。

1.2 修改后p-y曲線法

海洋工程軟黏土中水平受荷樁的p-y曲線公式[9]：

Cu=c+0.4∑γhtanφ，Cu≤96 kPa

y50=0.3ε50B

在水平荷載作用下樁身的橫向位移通過求解基本微分方程(1)獲得。考慮到樁承受水平力和彎矩作用時，影響樁和土體受力、變形的因素很多，特別是把土體作為彈塑性變形體來考慮時，常常需要采用能利用計算機進行求解的數(shù)值分析方法，如有限差分法、有限元法等。本文采用差分法進行求解。

1.3 有限差分法

有限差分法的基本原理是將樁身離散為若干個單元(假定樁身是等截面的)，對各個節(jié)點以差分式近似代替樁身彈性微分方程中的導數(shù)式。對于剛度EI為常數(shù)的樁，將整個樁身沿長度方向離散為n個等分段，每個單元長度為h。在分界點i處,設樁身的水平位移為yi、截面彎矩為Mi、土反力pi、剪力為Qi，并記該點處p-y曲線的割線模量為Esi。

假定f(x)為連續(xù)函數(shù)，各單元的長度為h,則在i點處：

(2)

通常稱式(2)為一階向前差分式,同理可以寫出一階向后差分式：

(3)

同理還可以寫出以i為中心的一階中心差分式：

其中：Δx=2h；Δy=yi+1-yi，當h很小時，則導數(shù)dy/dx近似等于Δy/Δx，即(dy/dx)i=(Δy/Δx)i，所以有：

(4)

由微分性質(zhì)得：

這里用Δ2表示二次差分，則i點處的二階中心差分：

(Δ2y)i=Δ(yi-yi-1)=Δyi-Δyi-1=(yi+1-yi)-(yi-yi-1)=yi+1-2yi+yi-1

當h很小時，

(5)

三階中心差分：

四階中心差分：

(Δ4y)i=Δ2(Δ2y)i=Δ2(yi+1-2yi+yi-1)=yi+2-4yi+1+6yi-4yi-1+yi-2

當h很小時，

(6)

綜上得到中心差分式如下：

(7)

(8)

(9)

對于樁體剛度為常數(shù)的樁的微分方程(1)可寫成下式：

(10)

將式(9)代入式(10)得

(11)

稍加整理得到i點處的差分方程為：

(12)

對每個分界點i(i=0,1,2,3,…，n)都能列出式(12)的方程，整個樁身被分成n段，共有n+1個分界點，即有n+1個方程，但有n+5個未知位移yi，還需補充4個方程，才能確定唯一的一組解，這4個方程需要由邊界條件確定。

在樁頂(i=0)的受力情況明確，彎矩M0,剪力Q0已知，以此作為樁頂?shù)倪吔鐥l件，根據(jù)微分關(guān)系可以求得兩個補充方程：

(13)

(14)

以樁底的彎矩Mn和樁底的剪力Qn作為邊界條件時，補充方程如下：

(15)

(16)

(17)

(18)

聯(lián)立方程(12)～(16)或者(12)～(14)，(17)～(18)得線性方程組，求出樁身各點的位移yi。

1.4 Matlab編程求解思路：

(1)假定1組Esi是p-y的切線模量，由于p-y曲線未知，所以一開始根據(jù)p-y曲線還是無法定出Esi；

(2)根據(jù)構(gòu)造的方程組求解樁身的水平位移yi；

(3)由p-y曲線求得樁的水平位移yi所對應土抗力p值，再由Esi=pi/yi，求得1組新的Esi；

(4)重復步驟(2)，(3)直至前后兩次迭代求得的y值在允許的誤差范圍內(nèi)為止；

(5)確定yi值后，轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力可按下式計算。

θi=(yi+1-yi-1)/(2h)

(19)

Mi=EI(yi-1-2yi+yi+1)/h2

(20)

Qi=EI(-yi-2+2yi-1-2yi+1+yi+2)/h3

(21)

通常情況下，實際工程中人們對樁身彎矩大小關(guān)注較多，樁身彎矩的計算式如下：

(22)

1.5 本文方法和Matlab程序的優(yōu)點

圖2 水平受荷樁示意Fig.2 Schematic diagram of horizontal load pile

以往工程中人們通常將土體看成彈性體，例如文獻[11]采用彈性地基反力法，但該方法不能反映出土體的非線性，對于港口、海洋等軟弱土體適應性較差。p-y曲線法，考慮了土體的非線性，較為符合樁土相互作用的實際情況，可適應于樁身發(fā)生較大變形、海洋軟土地基等情況[11-12]；鑒于規(guī)范中使用的p-y曲線法獲取原狀土三軸試驗中不排水抗剪強度Cu和三軸試驗中最大主應力差一半時的應變ε50較為困難，而改進的p-y曲線中不需要通過試驗來測得這兩個參數(shù)，大大減小了所需土體參數(shù)的獲取難度，降低了工程成本；本文編寫的Matlab程序可以根據(jù)不同工況，進行靈活調(diào)整，而且編寫的Matlab程序計算精度高、速度快；提高了該方法的實用性。

2 算例驗證

根據(jù)南京水利科學研究院和河海大學于1982年在鎮(zhèn)江大港進行的水平受荷樁短期靜載試驗[13]，測試樁采用鋼管樁，測試樁的樁徑1 200 mm，樁的壁厚19 mm，泥面以上自由長度為7.9 m，泥面以下樁長45 m，樁身的抗彎剛度為2.936×106kN·m2，加載點距離泥面7.9 m。水平受荷樁示意見圖2，試驗土體參數(shù)見表1。

表1 試驗土體各土層參數(shù)Tab.1 Parameters of each layer of experiment soil

在靜載單樁試驗中分別在樁頂施加100，200，300 kN的水平力，樁身位移和彎矩的計算結(jié)果如圖3和4。

圖3 樁身水平位移對比Fig.3 Comparison of pile horizontal displacement

圖4 樁身彎矩對比Fig.4 Comparison of pile bending moment

位移和彎矩的計算結(jié)果都與試驗數(shù)據(jù)吻合較好，驗證了本文方法的正確性。該方法不但可以滿足實際工程對精確度的要求，還減小了所需土體參數(shù)的獲取難度，大大方便了在工程中的推廣和應用。

3 工程算例

某工程的樁基礎，樁長48 m，埋深40 m，樁徑1.2 m，樁身彈性模量3.25×104MPa。樁周土體參數(shù)見表2。在樁頂上作用有水平集中力F=300 kN?？紤]到實際近海工程及水上橋梁工程中的樁基礎往往受到?jīng)_於、人工處理等作用，導致樁基周地層結(jié)構(gòu)發(fā)生變化?，F(xiàn)基于本文推導的方法，分析水平作用力影響深度范圍內(nèi)的不同地層結(jié)構(gòu)對樁基水平承載力的影響。

表2 某工程各土層參數(shù)Tab.2 Parameters of each layer of soil in one project

為將地層結(jié)構(gòu)表述清楚，對土層進行編號從上到下分別用①②③④⑤表示。因為施加300 kN的水平力，對上面3層土的影響最為明顯。以下通過改變水平力影響深度范圍內(nèi)的地層結(jié)構(gòu)比較樁身位移和彎矩的變化。工況1地層結(jié)構(gòu)為：①②③④⑤(稍硬土層在底層，軟弱土層在首層，此為正常地層結(jié)構(gòu))；工況2地層結(jié)構(gòu)為：①③②④⑤(稍硬土層在中間，兩個軟弱土層夾稍硬土層)；工況3地層結(jié)構(gòu)為：③②①④⑤(稍硬土層在頂層，軟弱土層在底層，經(jīng)過工程處理后地層結(jié)構(gòu))。

由圖5和6可以看出不同地層結(jié)構(gòu)對樁身位移和彎矩有較大的影響。當由工況1變到工況2時，樁頂位移減小了8.2%，樁身最大彎矩減小了1.4%；當由工況1變化到工況3時，樁頂位移減小了22.3%，樁身最大彎矩減小了12.6%。由此可知地層結(jié)構(gòu)對樁身彎矩、位移具有一定的影響。且最軟弱土層在首層時(即工況1)，樁身位移、彎矩都最大。當首層土體經(jīng)處理之后(即工況3)，樁身位移和彎矩都明顯減小。

圖5 某工程樁身水平位移對比Fig.5 Comparison of pile horizontal displacement

圖6 某工程樁身彎矩對比Fig.6 Comparison of pile bending moment

4 結(jié) 語

(1)本文把樁假定為彎曲桿件，結(jié)合彈性地基梁理論，運用Matlab編寫相應程序，與大型有限元軟件相比，具有計算速度快、易于調(diào)整等優(yōu)點。通過與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的對比，驗證了本文方法的正確性與可行性。

(2)土體參數(shù)獲取的難易程度決定了方法的認可程度，本文方法中采用易于獲得的土體黏聚力c近似計算出p-y曲線中所需的原狀土不排水抗剪強度Cu，根據(jù)計算所得的Cu確定最大主應力差一半時的應變ε50，降低了工程成本，提高了該法在工程應用中的認可度。

(3)本文基于改進p-y曲線法的求解程序簡單易懂、經(jīng)濟實用，且能較好地考慮不同地基分層、土體參數(shù)變化、樁長變化等情況下部分入土單樁的水平荷載性狀，具有較強的適應性。

(4)計算復雜水平荷載作用下部分入土單樁在軟黏土中的樁身位移和彎矩時，應考慮土體的塑性。

(5)在水平力影響深度范圍內(nèi)對樁身位移、彎矩的最不利地層結(jié)構(gòu)是從上到下由軟到硬；最有利的地層結(jié)構(gòu)是從上到下由硬到軟。結(jié)果表明實際工程中對首層土體進行處理很重要。

[1] 姚文娟, 吳懷睿, 程澤坤, 等. 基于p-y曲線法的超長樁非線性數(shù)值分析[J]. 巖土工程學報, 2011, 33(11): 1683- 1690(YAO Wenjuan, WU Huairui, CHENG Zekun, et al. Nonlinear numerical analysis of super-long piles based onp-ycurves[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(11): 1683- 1690. (in Chinese))

[2] 王國粹, 楊敏. 黏土中水平受荷樁基計算方法[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2012, 40(3): 373- 378. (WANG Guocui, YANG Min. Calculation of laterally loaded piles in clay[J]. Journal of Tongji University(Natural Science), 2012, 40(3): 373- 378. (in Chinese))

[3] 尹杰, 黎相森, 羅慧明, 等. 基于P-Y曲線法的單樁水平承載力計算[J]. 廣東造船, 2016, 35(1): 34- 36. (YIN Jie, LI Xiangsen, LUO Huiming, et al. Calculation of single pile lateral load capacity based onP-Ycurves[J]. Guangdong Shipbuilding, 2016, 35(1): 34- 36. (in Chinese))

[4] MCCLELLAND B, JR FOCHT J A. Soil modulus for laterally loaded piles[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, 1958, 82: 1- 22.

[5] MATLOCK H. Correlation for design of laterally loaded piles in soft clay[C]∥Offshore Technology Conference, Houston, Texas，1970: 77- 94.

[6] REESE L C, COX W R, KOOP F D. Analysis of laterally loaded piles in sand[C]∥Offshore Technology Conference, Houston, Texas，1974： 95- 105.

[7] REESE L C, COX W R, KOOP F D. Field testing and analysis of laterally loaded piles om stiff clay[C]∥Offshore Technology Conference, 5- 8 May, Houston, Texas, 1975.

[8] 史佩棟. 樁基工程手冊[M]. 北京: 人民交通出版社, 2008. (SHI Peidong. Pile and pile foundation handbook[M]. Beijing: China Communications Press, 2008. (in Chinese))

[9] 周天喬, 魯子愛, 王德虎. 橫向受載超長PHC管樁計算方法[J]. 水運工程, 2013(6): 155- 160. (ZHOU Tianqiao, LU Ziai, WANG Dehu. Calculation method of laterally loaded super-long PHC pile[J]. Port and Waterway Engineering, 2013(6): 155- 160. (in Chinese))

[10] 蔣建平, 陳文杰. 復雜水平荷載作用下部分埋入單樁的計算方法[J]. 水運工程, 2016(7): 116- 121. (JIANG Jianping, CHEN Wenjie. Calculation method for partially embedded single pile under complex horizontal loading[J]. Port and Waterway Engineering, 2016(7): 116- 121. (in Chinese))

[11] 王成華, 孫冬梅. 橫向受荷樁的p-y曲線研究與應用述評[J]. 中國港灣建設, 2005(2): 1- 4. (WANG Chenghua, SUN Dongmei. Review of the researches and applications ofp-ycurves for laterally loaded piles[J]. China Harbour Engineering, 2005(2): 1- 4. (in Chinese))

[12] 劉紅軍, 上官士青, 王虎. 水平受荷樁p-y曲線法的數(shù)學規(guī)劃法求解[J]. 工程力學, 2014, 31(4): 225- 231. (LIU Hongjun , SHANGGUAN Shiqing, WANG Hu. An optimization algorithm solution of thep-ycurve method for laterally loaded piles[J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(4): 225- 231. (in Chinese))

[13] 王惠初, 魯子愛.P-Y曲線法在鎮(zhèn)江大港橫向受載樁中的應用[J]. 河海大學學報, 1986, 14(1): 124- 131. (WANG Huichu, LU Ziai. Application ofP-Ycurve method to laterally loaded piles in Zhenjiang port[J]. Journal of Hohai University, 1986, 14(1): 124- 131. (in Chinese))

[14] 蔣建平. 巖土工程地層結(jié)構(gòu)效應與層組參數(shù)[M]. 北京: 人民交通出版社, 2011. (JIANG Jianping. Stratigraphic structure effect and stratigraphic parameters in geotechnical engineering[M]. Beijing: China Communications Press, 2011. (in Chinese))

Acalculationofhorizontalloadedsinglepilebasedonimprovedp-ycurvemethod

JIANG Jianping， YANG Shuan

(CollegeofOceanScienceandEngineering,ShanghaiMaritimeUniversity,Shanghai201306,China)

Based on the Winkler foundation beam model and the improvedp-ycurve method, this paper presents a method to calculate the bending moment and displacement of a partially embedded single pile under complex lateral loading. In this method, the nonlinearity between the soil plasticity, soil resistance and the horizontal displacement is taken into account, the finite difference method for solving this problem is used, and the corresponding Matlab program is given. And then an accurate theoretical solution can be carried out easily by the developed method. In order to obtain the best stratigraphic texture from the different stratigraphic textures constructed, the displacement and the bending moment of the pile are compared. The results show that the treatment of surface soil is very important. The validity of the proposed method is demonstrated through the comparison between the calculation results of the proposed method and the field experimental results. The use of the developed method can meet the engineering accuracy requirements, and reduce the difficulty of soil parameters acquisition and the engineering cost at the same time.

lateral loading; nonlinear; improvedp-ycurve; partially embedded piles; finite difference method; stratigraphic texture

TU473

A

1009-640X(2017)05-0080-08

10.16198/j.cnki.1009-640X.2017.05.012

蔣建平， 楊栓. 基于改進p-y曲線法的單樁水平受荷計算[J]. 水利水運工程學報, 2017(5): 80-87. (JIANG Jianping, YANG Shuan. A calculation of horizontal loaded single pile based on improvedp-ycurve method[J]. Hydro-Science and Engineering, 2017(5): 80-87. (in Chinese))

2017-01-14

國家自然科學基金面上項目(41372319)； 上海市教委科研創(chuàng)新項目(14YZ101)； 上海市研究生教育創(chuàng)新計劃實施項目(水利工程一級博士點培育)(20131129)

蔣建平(1966—)， 男， 湖南邵陽人， 教授， 博士， 主要從事樁基礎、海岸工程、巖土力學、港航工程方面的教學和研究工作。E-mail： jjpwx@163.com