孫暢岑　齊藝　田聰　袁野　孫喬

摘 要：為實(shí)現(xiàn)強(qiáng)諧波干擾和噪聲干擾等復(fù)雜應(yīng)用場(chǎng)景下動(dòng)態(tài)同步相量的精確測(cè)量，提出了一種新的相量測(cè)量算法。將兩個(gè)Kaiser窗相乘實(shí)現(xiàn)Kaiser自乘窗設(shè)計(jì)。將一段時(shí)間內(nèi)的測(cè)量結(jié)果取滑動(dòng)平均以提高噪聲抑制性能，并由此推導(dǎo)出等效加權(quán)卷積自乘窗函數(shù)用于相量測(cè)量。應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)表示動(dòng)態(tài)相量，應(yīng)用最小二乘實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的設(shè)計(jì)。靜態(tài)和動(dòng)態(tài)測(cè)試結(jié)果表明，文章提出的新算法在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下均具有很高的測(cè)算準(zhǔn)確度，具備優(yōu)異的抗諧波和抗噪聲性能。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)同步相量；諧波；相量測(cè)量；最小二乘法；FIR濾波器

中圖分類號(hào)：TM933 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2018）32-0001-05

Abstract： A new phasor measurement algorithm is proposed to realize the accurate measurement of dynamic synchronized phasors in complex application scenarios such as strong harmonic interference and noise interference. The design of Kaiser self-multiplication window is realized by multiplying two Kaiser windows. Taking the measured results over a period of time as the moving average to improve the noise suppression performance， the equivalent weighted convolution self-multiplication window function is derived to be used in phasor measurement. The dynamic phasor is expressed by Taylor series， and the FIR filter is designed by least square method. The static and dynamic test results show that the new algorithm has high accuracy under both static and dynamic conditions， and has excellent anti-harmonic and anti-noise performance.

Keywords： dynamic synchronized phasor； harmonics； phasor measurement； least square method； FIR filter

引言

為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)安全監(jiān)測(cè)，快速發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中可能存在的故障[1]，動(dòng)態(tài)同步相量（Dynamic Synchrophasor）的測(cè)量起到了重要的作用[2-4]。電氣與電子工程師協(xié)會(huì)于2011年發(fā)布了修訂版的IEEE C37.118.1標(biāo)準(zhǔn)[5]。該標(biāo)準(zhǔn)對(duì)不同動(dòng)態(tài)條件下相量測(cè)量單元（Phasor Measurement Unit， PMU）的測(cè)量準(zhǔn)確度提出了明確的指標(biāo)。

目前，PMU被大量應(yīng)用在輸電網(wǎng)中。隨著大量新能源（如光伏設(shè)施和儲(chǔ)能裝置等）接入配電網(wǎng)中，配電網(wǎng)的潮流方向從原來的單向變成雙向。且這些新能源裝置使配電網(wǎng)呈現(xiàn)強(qiáng)烈的不確定性和動(dòng)態(tài)性。為了能實(shí)現(xiàn)配電網(wǎng)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，未來PMU也被考慮應(yīng)用到配電網(wǎng)中。但由于大量電力電子裝置的使用，配電網(wǎng)中還含有豐富的諧波、間諧波分量。而且配電網(wǎng)受噪聲影響明顯。如何在諧波和噪聲含量豐富時(shí)，仍能準(zhǔn)確地測(cè)量動(dòng)態(tài)同步相量，成為一個(gè)亟須解決的問題。

文獻(xiàn)[6-10]通過對(duì)穩(wěn)態(tài)條件下的DFT及其改進(jìn)算法測(cè)量相量的誤差產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行分析，從而對(duì)測(cè)量得到的幅值和相位進(jìn)行修正。該算法具有較高的準(zhǔn)確度，但是在動(dòng)態(tài)條件下，該算法并不適用。文獻(xiàn)[11]將動(dòng)態(tài)同步相量用泰勒級(jí)數(shù)表示，并基于動(dòng)態(tài)同步相量與信號(hào)之間的關(guān)系近似表示實(shí)際信號(hào)，最后通過最小二乘法求解得到同步相量。該算法原理清晰，但由于該算法在信號(hào)建模時(shí)，未考慮當(dāng)信號(hào)中存在豐富的諧波和間諧波時(shí)，算法的準(zhǔn)確度下降。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[12]在對(duì)信號(hào)建模時(shí)，將其表示成動(dòng)態(tài)同步相量和指定次諧波和間諧波的疊加，以此實(shí)現(xiàn)該次諧波和間諧波的陷波設(shè)計(jì)。但是該方法需要提前已知諧波、間諧波的幅值、頻率、相位等參數(shù)。然而，在實(shí)際情況下，這些參數(shù)均是未知的。文獻(xiàn)[13-15]應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)表示動(dòng)態(tài)同步相量，并對(duì)該動(dòng)態(tài)同步相量以及原始信號(hào)作傅里葉變換，再應(yīng)用不同時(shí)刻的結(jié)果聯(lián)立求解后得到同步相量。該算法在一定程度上提高了動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量的準(zhǔn)確度，但是該算法計(jì)算量大，且未考慮間諧波的影響。

1 Kaiser自乘窗

Kaiser窗具有良好的主瓣和旁瓣特性，適用于對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)進(jìn)行處理[16，17]。Kaiser窗的窗函數(shù)表達(dá)式為：

其中，N為窗長(zhǎng)，n=0，1，…，N-1。I0（·）代表第一類0階修正貝塞爾函數(shù)。？茁為窗函數(shù)的特征系數(shù)，該參數(shù)決定了窗函數(shù)的旁瓣特性，這里??？茁=4。當(dāng)信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波分量時(shí)，其會(huì)影響動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量的精度。因此，在設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，需要實(shí)現(xiàn)旁瓣的高度抑制。本文考慮通過構(gòu)造Kaiser自乘窗實(shí)現(xiàn)上述特性。所謂Kaiser自乘窗，是將Kaiser窗與其自身相乘，得到一個(gè)新的窗函數(shù)。

其中，n=0，1，…，N-1。容易得到，Kaiser自乘窗的窗長(zhǎng)仍為N。圖1給出了Kaiser窗和Kaiser自乘窗的幅頻響應(yīng)對(duì)比圖。分析圖1可知，Kaiser自乘窗的旁瓣衰減要明顯優(yōu)于Kaiser窗，這將有助于構(gòu)造間諧波和諧波強(qiáng)抑制特性的FIR濾波器。但從圖1也可以看出，Kaiser自乘窗的主瓣寬度比Kaiser窗大，從而使Kaiser自乘窗的頻率分辨率降低。

2 基于Kaiser自乘窗加權(quán)的FIR濾波器設(shè)計(jì)

2.1 濾波器設(shè)計(jì)原理

動(dòng)態(tài)同步相量被定義為一個(gè)頻帶遠(yuǎn)小于基波頻率的帶限信號(hào)x（t）[5]，其可以表示為

其中，n=-N，…，0，…，N，時(shí)間窗長(zhǎng)度Nw=2N+1。這樣，就實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)同步相量的近似表示，即x≈xk=Ek？鬃k。接著，可用最小二乘法實(shí)現(xiàn)參考時(shí)刻（n=0）的同步相量估計(jì)。但是當(dāng)信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波分量時(shí)，上述方法存在較大誤差。這里考慮采用Kaiser自乘窗加權(quán)的方法實(shí)現(xiàn)諧波和間諧波分量的抑制。即

其中，W=diag{w2（n）}。算子diag{·}表示矩陣的對(duì)角化運(yùn)算。這樣，？鬃k矩陣的線性估計(jì)最優(yōu)解為其最小二乘估計(jì)，即

從而可得矩陣（EkHWHWEk）-1EkHWHW中，與同步相量？鬃0對(duì)應(yīng)的行向量即為所設(shè)計(jì)的FIR濾波器。

2.2 增強(qiáng)噪聲抑制性能

實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)中還可能存在噪聲。為了抑制噪聲干擾，考慮對(duì)一段時(shí)間內(nèi)測(cè)量得到的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均，即

2.3 濾波器特性分析

圖2給出了矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器（Kaiser窗采用3階泰勒級(jí)數(shù)，長(zhǎng)度為4周波，矩形窗長(zhǎng)度為1周波）和矩形窗FIR濾波器（長(zhǎng)度為5周波）的頻譜特性對(duì)比圖。從圖中可以看出，相對(duì)于未采用窗函數(shù)加權(quán)的FIR濾波器，矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器具有優(yōu)異的旁瓣衰減特性，這能在很大程度上實(shí)現(xiàn)諧波和間諧波的抑制，從而提高諧波和間諧波含量豐富時(shí)的動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量準(zhǔn)確度。另外，從圖中可以看出，上述濾波器在基波頻率附近呈現(xiàn)出一種平滑特性，即在一定的頻率范圍內(nèi)，信號(hào)的增益均為1，這正是實(shí)現(xiàn)帶限信號(hào)動(dòng)態(tài)同步相量測(cè)量的根本原理。以下將結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)說明本算法的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。

3 仿真測(cè)試

本文主要考察在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下，信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波時(shí)，算法在測(cè)量同步相量的準(zhǔn)確性。本文采用相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中建議的總測(cè)量誤差（Total Vector Error， TVE）[5]對(duì)算法的相量測(cè)量準(zhǔn)確度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.1 頻率偏移測(cè)試

在信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波的情況下，對(duì)本文提出的算法的靜態(tài)性能進(jìn)行測(cè)試，并與DFT算法和矩形窗FIR濾波器的性能加以比較?？紤]信號(hào)中含有3次、5次、7次和120Hz的諧波和間諧波，其諧波畸變率分別為：10%、10%、5%和5%。其具體表達(dá)式如式（15）所示。

圖3給出了基波頻偏（額定頻率為50Hz）分別為-5，-4，…，0，…，4，5Hz時(shí)，分別采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測(cè)算同步相量的最大TVE值（對(duì)40個(gè)周波的數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)算）。其中，信號(hào)每周波采樣點(diǎn)數(shù)為48，濾波器長(zhǎng)度均為239，DFT算法所采用的時(shí)間窗為5周波。從圖3可以看出，在信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波的情況下，信號(hào)頻偏在[-5 5]Hz范圍內(nèi)變化時(shí)，矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器算法測(cè)算同步相量的TVE值均小于矩形窗加權(quán)FIR濾波器算法和DFT算法。由此可以看出，即使在不同的頻率偏移條件下，本文提出的新算法具有優(yōu)異的抗諧波性能，而且性能遠(yuǎn)超相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的指標(biāo)要求。

3.2 噪聲抑制性能測(cè)試

考慮對(duì)算法的噪聲抑制性能進(jìn)行測(cè)試，對(duì)一個(gè)頻率為50Hz的正弦信號(hào)疊加信噪比分別為30、40、50、60和70dB的噪聲信號(hào)，分別用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器和DFT三種算法估計(jì)相量。表1給出了應(yīng)用不同算法的最大TVE值。通過表1可知，應(yīng)用不同算法的測(cè)量誤差均非常小，且?guī)缀跸嗟?。因此可認(rèn)為三種算法的抗噪聲性能較為接近，均具有良好的抗噪聲性能。

3.3 動(dòng)態(tài)性能測(cè)試

本文主要考察信號(hào)中含有豐富的諧波和間諧波時(shí)，基波和各次諧波的幅值和頻率（或相位）波動(dòng)時(shí)算法的測(cè)算準(zhǔn)確度。動(dòng)態(tài)信號(hào)的表達(dá)式如式（16）所示，其中，a（t）=1+0.1cos（10πt），f0=50Hz，

圖4、圖5分別給出了不同時(shí)刻（共10個(gè)周波），采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測(cè)算得到的動(dòng)態(tài)同步相量的幅值和相位（波動(dòng)的頻率可折算成波動(dòng)的相位）值，并分別與理論值比較。從圖4、圖5可以看出，應(yīng)用矩形窗卷積Kaiser自乘窗濾波器測(cè)算得到動(dòng)態(tài)同步相量幅值和相位值與理論值基本趨于一致，而應(yīng)用矩形窗FIR濾波器測(cè)算的得到的結(jié)果在理論值附近波動(dòng)，應(yīng)用DFT算法測(cè)算得到的結(jié)果與理論值差別較大。

圖6給出了不同時(shí)刻（共10個(gè)周波），采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗濾波器、矩形窗FIR濾波器、DFT算法測(cè)算動(dòng)態(tài)同步相量時(shí)的TVE值。從圖6看出，相較于矩形窗FIR濾波器和DFT算法，采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器進(jìn)行測(cè)算時(shí)，其TVE值最小，且?guī)缀鯙?。由此可以看出，本文提出的新算法在動(dòng)態(tài)條件下仍具有優(yōu)異的抗諧波性能，而且其性能遠(yuǎn)超相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的指標(biāo)要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)實(shí)際應(yīng)用復(fù)雜應(yīng)用場(chǎng)景（如：豐富的諧波和間諧波分量），構(gòu)造了一種加權(quán)卷積自乘窗，并設(shè)計(jì)了一種矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器。在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下，分別對(duì)算法的性能進(jìn)行測(cè)試發(fā)現(xiàn)，相較于矩形窗FIR濾波器和DFT算法，采用矩形窗卷積Kaiser自乘窗FIR濾波器測(cè)算動(dòng)態(tài)同步相量的誤差最小，而且其性能遠(yuǎn)超相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的指標(biāo)要求。本文提出的新算法在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下均具有優(yōu)異的抗諧波性能，且具有良好的抗噪聲性能。

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