陳恩偉 張凱 王軍

摘要： 可簡(jiǎn)化為軸向移動(dòng)繩系統(tǒng)的各類工程設(shè)備，諸如繩系衛(wèi)星纜繩、纜車索道、物料輸送帶等，因其橫向振動(dòng)問(wèn)題而備受關(guān)注，當(dāng)前針對(duì)軸向移動(dòng)繩的研究，大多集中在典型邊界條件的基礎(chǔ)上，而對(duì)于非典型邊界條件的研究十分缺乏?；诮?jīng)典的行波反射理論，以非典型邊界的軸向移動(dòng)繩為例，研究一種行波邊界反射疊加法，通過(guò)左右行波在移動(dòng)繩兩側(cè)邊界的反射，結(jié)合其初始條件以及兩側(cè)邊界連續(xù)性條件獲得反射波的表達(dá)式，進(jìn)而分三個(gè)階段推導(dǎo)反射過(guò)程，最終通過(guò)疊加得出移動(dòng)繩橫向振動(dòng)的解析表達(dá)式。以一端固定，另一端帶有阻尼的定長(zhǎng)度軸向移動(dòng)繩為算例，結(jié)合中心差分法，通過(guò)MATLAB仿真，驗(yàn)證了行波邊界反射疊加法的正確性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞： 軸向繩移系統(tǒng)； 非典型邊界； 橫向振動(dòng)； 邊界反射

中圖分類號(hào)： TB123； O327； TH132.3+3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2018）05-0870-05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.017

引 言

傳送帶、升降機(jī)電梯、帶鋸、繩系衛(wèi)星等工程設(shè)備廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)、生活之中，但是這些工程設(shè)備的振動(dòng)問(wèn)題所導(dǎo)致的安全隱患極大地限制了此類工程設(shè)備的應(yīng)用推廣。上述工程設(shè)備的振動(dòng)問(wèn)題的研究，可歸結(jié)為軸向移動(dòng)繩系模型的研究。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在軸向移動(dòng)繩橫向振動(dòng)建模、計(jì)算、邊界反射方面做了大量的研究工作。Wickert和Mote[1]利用復(fù)雜的模態(tài)分析和格林函數(shù)對(duì)任意激勵(lì)和初始條件的軸向移動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)的表達(dá)式進(jìn)行了精確的推導(dǎo)；Ram和Caldwell[2]用達(dá)朗貝爾法和鏡像法研究了一種繩移系統(tǒng)的自由振動(dòng)，繩子受到張力在兩個(gè)支撐之間被拉伸，而兩端的支撐以相同大小的速度相向運(yùn)動(dòng)。Liu和Rincon[3]研究了端點(diǎn)固定在移動(dòng)邊界上的軸向移動(dòng)繩，系統(tǒng)模型考慮了繩子振動(dòng)時(shí)繩長(zhǎng)的變化和彈性繩的非線性行為，并用有限差分近似法求解張力時(shí)變的振動(dòng)方程；Chen和Ferguson[4]利用拉格朗日方程建立軸向移動(dòng)繩模型，計(jì)算在模態(tài)坐標(biāo)下移動(dòng)繩的橫向振動(dòng)能量，發(fā)現(xiàn)繩的能量變化率隨著繩長(zhǎng)的變化而非線性變化，且隨著一階固有頻率的變化而線性變化。這些文獻(xiàn)中對(duì)于軸向移動(dòng)繩的研究，邊界條件中不包含質(zhì)量、彈簧、阻尼等非典型邊界條件，僅對(duì)固定、自由等簡(jiǎn)單的典型邊界條件下的軸向繩系統(tǒng)進(jìn)行研究。

最近，Akkaya 和 van Horssen[5]基于D′Alembert公式，獲得了具有典型與非典型邊界條件下的半無(wú)限長(zhǎng)移動(dòng)繩系的橫向振動(dòng)的精確解。此外，作者還分析了基于不同邊界條件的反射與阻尼特性。Tang和Ying[6]基于波動(dòng)理論分析了軸向移動(dòng)繩的動(dòng)力特性，用傳遞函數(shù)公式和波動(dòng)的理念得到了軸向繩移系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)。Gaiko和van Horssen[7]研究了幾種不同類型的邊界半無(wú)限長(zhǎng)移動(dòng)繩系統(tǒng)的邊界反射。以上軸向繩系模型的研究雖涉及非典型邊界條件，但僅在半無(wú)限邊界條件下，所以對(duì)于完整非典型邊界條件下的軸向移動(dòng)繩的研究依舊具有重大理論意義。

本文所研究的“行波邊界反射疊加法”基于經(jīng)典的“行波反射法”理論[8]，由于研究對(duì)象存在軸向移動(dòng)速度，使得其左右行波、反射波，行波運(yùn)行周期均與經(jīng)典的“行波反射法”有不同的形式。行波邊界反射疊加法利用初始左、右行波以及其多次在兩側(cè)邊界的反射波的公式進(jìn)行疊加得到繩系運(yùn)動(dòng)的解析解?；谝欢斯潭ā⒘硪欢藥в凶枘岬姆堑湫瓦吔鐥l件的軸向移動(dòng)彈性繩系統(tǒng)為模型，利用Hamilton′s原理獲得運(yùn)動(dòng)方程。同時(shí)，為了獲得邊界解的連續(xù)性，引入復(fù)雜的邊界連續(xù)性條件，考慮繩波在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行了多次邊界反射歷程，根據(jù)時(shí)間的先后將此歷程分為三個(gè)階段，并針對(duì)每一個(gè)階段分別求解。最后根據(jù)Lee和Mote Jr[9]所做的工作，結(jié)合本文的工作進(jìn)行相互驗(yàn)證，從而證明了本文理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。本文方法只給出一種非典型邊界條件的響應(yīng)推導(dǎo)，但方法原理對(duì)于其他非典型邊界條件同樣適用。

1 運(yùn)動(dòng)方程及邊界反射推導(dǎo)

一端帶有黏性阻尼器的軸向移動(dòng)彈性繩模型如圖1所示，其中繩密度為ρ，繩子張力為T，軸向繩移速度為v，繩長(zhǎng)為l0，右邊界處阻尼系數(shù)為η，u（x，t）為軸向移動(dòng)繩在坐標(biāo)x處與時(shí)間t時(shí)的橫向位移。