1文章問題起源

文章《四種解法中到底誰對誰錯》[1]對一道“看似簡單卻引起激烈爭論的近似值計算問題”，作者王淼生、吳衛(wèi)軍老師的課題組團隊老師提出了四種算法，由于計算結(jié)果不一樣，老師各抒己見，誰也說服不了誰.為此作者提出了自己對數(shù)學中近似計算的觀點，讀后受益匪淺，也想談談一點不同看法，與作者、讀者交流筆者的理解與思考.

2原文觀點摘要

為方便讀者閱讀，先將文章中提到的2016年貴州省黔南州的中考題及主要觀點摘錄：

圖1為解決都勻市停車難的問題，計劃在一段長為56米的路段規(guī)劃出如圖1所示的停車位，已知每個車位都是長為5米，寬為2米的矩形，且矩形的寬與路的邊緣成45°角，則該路段最多可以劃出個這樣的停車位.（取2=1.4，結(jié)果保留整數(shù)）

文章中，作者提供了課題組團隊老師的四種解法，其前部分都是一樣的：

圖2如圖2，因為CE=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°，所以BE=CE=2，BD=DE-BE=3，在直角三角形BCE中，BC=ECsin45°=22，在直角三角形ABD中，AB=BD·sin45°=322，設至多可劃x個車位，依題意可列不等式：

22x+322≤56.（1）

爭論的焦點在近似計算的流程上：

第一種意見是：

將2=1.4直接代入（1），化簡整理得x≤19.25，因為x是正整數(shù)，所以x的最大值為19.

第二種意見是：

對（1）化簡整理：x≤142-34，（2）

再將2=1.4代入（2），化簡整理得x≤18.85，因為x是正整數(shù)，所以x的最大值為18.

由于代入的順序不同，導致近似計算的結(jié)果不一樣，引起了爭議.

第一種意見是命題專家組給出的解答，文章作者認為是正確的；

第二種意見是團隊老師給出的解答，由于計算結(jié)果與事實有出入，作者認為是錯誤的，并“追根溯源”，說明錯誤的原因在：解答步驟中的“2×2=2”里面的“2”與最后代入的“2=1.4”中的“2”是不等價的！此處“2×2=2”中的“2”是常規(guī)意義下的無理數(shù)，而“2=1.4”中的“2”則是一個有理數(shù)，且為1.4，這違背了數(shù)學統(tǒng)一性即前后一致的原則！這才是錯誤的根本原因所在！因此可以斷定解法2是錯誤的！然后“正本清源”，認為命題專家給出的解答是正確的，盡管其解答過程看似不合“情理”.

3理解釋惑

看了文章中的“追根溯源”、“正本清源”，糊涂了，看似不合“情理”的解答過程反而對，而“合情合理”的解答過程反而錯.果真如此，那今后教學中該如何操作呢？難怪團隊老師誰也說服不了誰.問題到底出在哪兒呢？

3.1首先用計算機真實模擬操作一次設計方案，驗證最終結(jié)果：

按1∶200的比例在幾何畫板中精確作圖，如圖3.

圖3圖形直觀顯示結(jié)果是該路段最多可以劃出19個這樣的停車位，因此命題專家給出的答案沒有錯.注意，筆者說的是命題專家給出的答案沒有錯.

3.2計算機模擬操作的結(jié)果證實“第二種意見下”的答案是錯的！然而對照數(shù)學中近似計算的基本原則：近似計算為避免一開始代入進行近似計算導致運算量過大，和二次四舍五入導致結(jié)果誤差大，一般是先化簡、再計算、最后取近似值[4].反觀第二種意見下，近似計算的解答過程是符合近似計算的運算規(guī)則，嚴格遵循教學要求規(guī)范執(zhí)行，合情合理，理應正確，但它的計算結(jié)果與事實有出入，這是為什么呢？細讀文章中的四種解法（其實是一種），不同之處是求不等式中x的近似值時，在計算的流程上產(chǎn)生了分歧.計算流程的不同對最終結(jié)論應該沒有影響，因為不管是哪一種計算流程，它影響的僅僅是解答的“繁與簡”！因此錯誤不在計算程序上，而是題目中的附加條件“2=1.4”在2的取值精度上有問題.

對于解法1、3，實質(zhì)是計算x≤56-32222中的56-32222的近似值，用計算器精確計算：56-32222≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效數(shù)字）計算：

56-32222≈19.0519801980…；對于解法2、4，實質(zhì)是計算x≤142-34中的142-34的近似值，用計算器精確計算：142-34≈

19.048989873223330683223642138936…，或取2≈1.414（四位有效數(shù)字）計算：142-34≈19.046.

從計算結(jié)果可以看出，無論是精確到0.01：x≤19.05；或者取整數(shù)：x≤19.四種解法的結(jié)果都是一樣的，答案也是一致的，x的最大值是19.

再看按題目附加條件直接代入計算：

56-32222=56-32×1.42×1.4=19.25；142-34=14×1.4-0.75=18.85.

不難發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)兩種不同的近似計算結(jié)果，根源在題目的附加條件“取2=1.4”，因為1.4×1.4=1.96，這與“2×2=2”或“1.414×1.414=1.999396”，2的取值精度不同引起誤差過大，導致結(jié)果不一！這是造成最終錯誤的根源所在.

3.3對于近似計算，可以允許有一定的誤差，但誤差不能超出規(guī)定的范圍，因此在近似計算時，要求參與運算的近似數(shù)，要比已知數(shù)據(jù)、最后的結(jié)果中所含的小數(shù)位數(shù)多保留一位.本題中要求的“142-34”，其中分數(shù)34=0.75，精確到0.01，因此2的近似值必須精確到0.001，即取“2≈1.414”，不能取“2=1.4”！endprint

4教學反思感悟

4.1命題不可隨意！本題的考查目標也是本題的最大亮點是運用數(shù)學知識構建數(shù)學模型解決生活的問題，是詮釋核心素養(yǎng)、優(yōu)化思維品質(zhì)的經(jīng)典范例，不是在近似計算的程序上設計障礙為難考生，估計命題專家也是這么想的，添加條件“取2=1.4”是從簡化運算量的角度考慮的，但未曾想到兩種運算程序會導致結(jié)果不一，這是命題專家的一個失誤！命題工作是一項高風險的工作，在命題過程中偶爾出點錯誤也是難以避免的，但命題無科學性錯誤是底線，必須慎之又慎[2].

4.2教師要有質(zhì)疑的意識[3]！兩種不同的近似計算流程，導致兩種不同的結(jié)果，在反思解答過程沒有問題時，為何不敢質(zhì)疑專家出現(xiàn)失誤、質(zhì)疑題目條件的問題？文章中牽強附會時提出“解答步驟中的2×2=2里面的2是常規(guī)意義下的無理數(shù)，而2=1.4中的2則是一個有理數(shù)，且為1.4，這違背了數(shù)學統(tǒng)一性即前后一致的原則！”筆者認為是難以自圓其說的，也就不可避免地引起課題組的老師非議.題目中的數(shù)值2是在實際問題中自然產(chǎn)生的，在研究實際問題的過程中我們本應該根據(jù)實際問題的需要取2的近似值，而不是人為地規(guī)定2=1.4，甚至說2=1.4中的2是一個有理數(shù)且為1.4，說2=1.4中的2是一個有理數(shù)且為1.4，這才是違背了數(shù)學統(tǒng)一性原則，2是在實際問題中自然產(chǎn)生的無理數(shù)，它不因命題者的附加限制條件而改變其無理數(shù)的身份！

4.3關于計算，筆者認為學生的計算能力需要培養(yǎng)，需要強化訓練，但不是用繁瑣的計算或人為地設置障礙來刁難學生，“繁、難，無技術含量的重復練習”只會讓學生對數(shù)學望而生畏、繼而討厭數(shù)學，教師關鍵是讓學生明白其算理，數(shù)學的學習，關鍵在掌握數(shù)學的思想、方法[4].2≈1.4或2≈1.414，目的是實際問題中近似計算的需要，它應該根據(jù)實際問題決定其精確度要求，而不是由主觀臆斷，作者為證明自己的觀點正確，在文章中又例舉案例2，但案例2的本質(zhì)是考查計算機計算程序的近似計算問題，本意是讓電腦機械操作的程序題，考查目的是讓學生了解電腦的操作流程，而案例1的建立數(shù)學模型解決實際問題的，兩者背景不同，考查目標不一，它們有本質(zhì)的區(qū)別！我們不要做學生在學校里從老師那兒學會討厭數(shù)學的“劊子手”.

4.4關于“近似計算問題”，在現(xiàn)代社會的生產(chǎn)生活實踐、科學研究與經(jīng)濟交往中，人們不可避免地要和各種各樣的數(shù)據(jù)打交道，由于各種各樣的原因，這些數(shù)據(jù)有時并不是所描述對象的準確值，只是近似地刻畫所描述的對象，這種數(shù)叫做近似數(shù)或近似值.隨著時代的發(fā)展，對于近似計算的問題，以前是“人的筆算”，而現(xiàn)在全部由“計算工具——計算機”代替，數(shù)學運算已經(jīng)成為一種“機械思維活動”，為根據(jù)解決實際問題的需要，我們可以借助機器，按照既定的程序反復操作而獲得需要的結(jié)果.因此我們需要近似計算，但要求與過去不同，我們必須適應時代的發(fā)展，把科學技術領域的復雜計算交由“計算工具——計算機”處理，把教學的重點轉(zhuǎn)移到引導學生關注運算的道理！正因為如此，新的課標對運算能力的要求為“正確地從事運算”，而弱化了對近似計算的要求.

4.5事實勝于雄辯！對于生活中的實際問題，最好也是最簡單的說服方法是讓事實說話.例如在概率學中有一個經(jīng)典的案例，叫“蒙蒂·霍爾問題”，因為最后的結(jié)論與常人頭腦中的固有認識不一致，大家眾說紛紜，哈佛大學的概率學權威Diaconis教授接受電視臺的邀請解說時，他的做法是在臺上當場邀請觀眾一起進行實驗.Diaconis教授解說：概率的判斷是依靠大量實驗才獲得的[5].本題課題組團隊老師各抒己見，誰也說服不了誰，最有說服力的是實際試驗，試驗結(jié)果會告訴你最終的結(jié)果是誰對誰錯！

參考文獻

[1]王淼生，吳衛(wèi)軍.四種解法中到底誰對誰錯[J].中學數(shù)學雜志，2017（8）：48-50.

[2]崔恒劉.杜絕“拿來主義”，改編推進發(fā)展[J].中學數(shù)學（下），2017（6）：93-95.

[3]崔恒劉.讀刊需入刊改編須謹慎[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（6）：64-65.

[4]崔恒劉.網(wǎng)絡上有關“近似計算規(guī)定”的爭鳴[J].中小學數(shù)學（初中），2014（1-2）：77-77.

[5]崔恒劉.蒙蒂·霍爾問題的認識及思考[J].中學數(shù)學（下），2016（9）：81-83.endprint