王翠芳

【摘要】 本文主要探討了應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下線性代數(shù)課程的混合式教學(xué)改革思路，以案例教學(xué)為依托，突出實用性;利用UMU互動平臺，開展線上教學(xué);融入數(shù)學(xué)實驗，體現(xiàn)應(yīng)用性;借助思維導(dǎo)圖，促進(jìn)知識系統(tǒng)化.通過綜合運用數(shù)字化教學(xué)平臺，加大案例教學(xué)與實驗教學(xué)的比重，可以有效提高學(xué)習(xí)效率與教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】 案例;UMU平臺;數(shù)學(xué)實驗;思維導(dǎo)圖

【基金項目】 2016年天津市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究（HE3040）.

線性代數(shù)是高等院校理工科、管理類等專業(yè)開設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，其理論與方法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù)、人工智能和網(wǎng)絡(luò)通信等領(lǐng)域，對經(jīng)濟和社會生活都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.線性代數(shù)主要以討論空間中線性關(guān)系的理論和方法為主要內(nèi)容，概念抽象，定理復(fù)雜，計算煩瑣.但目前很多高校仍以理論教學(xué)為主，沿用傳統(tǒng)的“ppt+板書”的灌輸式學(xué)習(xí)，學(xué)生參與課堂的積極性比較低.教學(xué)內(nèi)容上雖然增加了一些應(yīng)用，但大多數(shù)用在內(nèi)容導(dǎo)入上，缺少真實性、情境性和操作性，主要教學(xué)內(nèi)容與實際應(yīng)用或?qū)I(yè)學(xué)習(xí)銜接不夠緊密.學(xué)生被動地接受大量抽象的符號、公式和程序化的邏輯運算，久而久之產(chǎn)生厭煩情緒，逐漸失去興趣，也就很難在后續(xù)專業(yè)課中學(xué)以致用.

在應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下更注重對學(xué)生應(yīng)用能力、實踐能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因此，線性代數(shù)課程的教學(xué)不僅肩負(fù)著讓學(xué)生掌握基本理論知識的職責(zé)，更重要的是有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，幫助他們形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)綜合能力的提升.多年教學(xué)實踐表明，充分利用數(shù)字化教學(xué)平臺，借助信息化手段，加大案例教學(xué)與實驗教學(xué)的比重，有助于調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，增強了課程的實用性和應(yīng)用性，是全面提升教學(xué)質(zhì)量的重要途徑.

一、以案例為依托，突出實用性

在教學(xué)中融入有實際背景的案例，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠更好地體現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用性和服務(wù)性，也有助于提高學(xué)生分析問題的能力，從而提高課堂效率和教學(xué)質(zhì)量.教材中也提到了很多比較具有代表性的案例，比如，人口遷移問題、投入產(chǎn)出問題、城市間的航班路線圖、生物種群增長問題、平板溫度測量問題等[1].針對不同專業(yè)背景的學(xué)生，可以選擇不同的案例.例如，在介紹行列式的計算時可以借助八卦圖的“玄機”，增強趣味性.

案例 ?隨機挑選八個數(shù)字組成八卦圖，比如，?? 1 2 3 4 ??5 6 7 8?? ，把這些數(shù)字按列組成二階行列式，然后逐對相乘再進(jìn)行加減運算，不管怎樣選取數(shù)字，最后結(jié)果都是0.你能破解八卦圖的“玄機”嗎？

解 ?第一次：前兩列，后兩列組成的二階行列式相乘取加號.第二次：第一三列，二四列組成的二階行列式相乘取減號.第三次：外圈與內(nèi)圈兩個二階行列式相乘取加號，即

事實上，這與四階行列式按照拉普拉斯定理展開的結(jié)果完全吻合，

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8? =2?? 1 2 5 6??? 3 4 7 8? -? 1 3 5 7??? 2 4 6 8? +? 1 4 5 8??? 2 3 6 7?? =0.

任意選擇8個數(shù)，組成八卦圖?? a1 a2 a3 a4 ??a5 a6 a7 a8?? 都有同樣結(jié)論.

面對理工科專業(yè)的學(xué)生，也可以引入如下問題.

案例 ?現(xiàn)有一堤壩發(fā)生管涌，江水不斷地涌出.假定每分鐘流出的水量相同.現(xiàn)有四臺水泵，預(yù)計30分鐘可以抽完;如果再增加四臺水泵，預(yù)計12分鐘可抽完.為保證安全，需在8分鐘之內(nèi)抽完水，問至少需要多少臺水泵？

解 ?設(shè)開始抽水前已存水量為x，管涌時每分鐘流出的水量為y，每臺水泵每分鐘可抽水z.如果有m臺水泵，抽完水需t分鐘，依題意，得

x+30y-120z=0， x+12y-96z=0， x+ty-mtz=0.

這是一個關(guān)于x，y，z的三元齊次線性方程組，依題意有非零解，所以系數(shù)行列式

D=? 1 30 -120 1 12 -96 1 t -mt? =0，得t= 1 440 18m-24 .

因為要在8分鐘內(nèi)抽完水，所以t<8，即 1 440 18m-24 <8，解得m>11.33，也就是說要在8分鐘內(nèi)抽完水，至少需要12臺水泵.該計算過程可通過 Matlab軟件實現(xiàn).

二、利用UMU互動平臺，開展線上教學(xué)

作為全校非數(shù)學(xué)專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，線性代數(shù)往往采取大班授課，近百人的課堂容量，使得課上的交流討論，解惑答疑變得比較困難，而且很多情況下教師不能掌握學(xué)生 的真實學(xué)習(xí)情況，有些學(xué)生上課聽講狀態(tài)，作業(yè)做得都不錯，但一到考試就完全不知所云，這也讓教師頭疼不已.另一方面，隨著網(wǎng)絡(luò)與智能手機的迅速普及，ppt+黑板的傳統(tǒng)教學(xué)模式很難激起學(xué)生興趣，因此，有必要將傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式和數(shù)字化學(xué)習(xí)結(jié)合起來，優(yōu)勢互補.對教師來說，既能充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，又有更多機會監(jiān)控教學(xué)過程;對學(xué)生而言，更能體現(xiàn)積極參與、發(fā)揮創(chuàng)造的主體性地位.目前很多網(wǎng)絡(luò)平臺，如微信公眾號，藍(lán)墨云班課，UMU互動平臺等都已成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體.

UMU互動學(xué)習(xí)平臺是一款綜合性軟件，既可以通過手機端也可以通過瀏覽器訪問，包含簽到、拍照上墻、游戲、提問、討論、抽獎、考試等功能，其中最具特色的是屏幕投射，教師可以利用手機應(yīng)用端拍攝課堂活動的照片，比如，學(xué)生的解題過程或討論場面都等可以即時展示在大屏幕上[3].由于線性代數(shù)在行列式計算，矩陣的變換時運算量都比較大，屏幕投射功能在課堂上能夠充分體現(xiàn)優(yōu)勢，教師能夠針對學(xué)生的解題過程更方便地進(jìn)行評價，既提高了效率，也能激發(fā)師生之間產(chǎn)生情感共鳴，有助于更好地教學(xué).

課前通過UMU互動平臺發(fā)布教學(xué)內(nèi)容，方便學(xué)生預(yù)習(xí)，教師可以實時監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，并通過提問的方式檢驗學(xué)生的預(yù)習(xí)效果.課上，教師精講精練，重點突出，也可以通過UMU平臺組織討論，多種教學(xué)方式交替進(jìn)行，有助于凝聚學(xué)生注意力，提高課堂效率.課下，學(xué)生可以通過平臺提交圖文作業(yè)，教師隨時隨地進(jìn)行批改，提供個性化指導(dǎo).借助在線學(xué)習(xí)平臺，可以輕松實現(xiàn)課程的課前、課中、課后的有效銜接，掌控學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)度和深度，還有助于更深刻地了解學(xué)生，有些學(xué)生課堂上沉默寡言，但是線上卻互動活躍.線上學(xué)習(xí)情況也將作為學(xué)生平時成績的構(gòu)成.對學(xué)生而言，能夠充分利用碎片化時間，擴展了學(xué)習(xí)時間與空間，也可以自己把控學(xué)習(xí)節(jié)奏，自主、獨立地根據(jù)自己所需進(jìn)行個性化的學(xué)習(xí).

三、融入數(shù)學(xué)實驗，體現(xiàn)課程應(yīng)用性

目前，線性代數(shù)在圖像處理、工程計算、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮重要的理論基礎(chǔ)作用，面對多變量的復(fù)雜問題，通過筆算或計算器，不僅浪費了大量寶貴的時間，而且還大大挫傷學(xué)生的積極性，所以加強學(xué)生的線性代數(shù)應(yīng)用能力與計算能力是時代發(fā)展的需要.將課堂教學(xué)和計算機操作有機結(jié)合起來，把復(fù)雜的線性代數(shù)問題簡單化、具體化，既培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，也提高了學(xué)生動手實踐的能力，保證了教學(xué)質(zhì)量.

MATLAB以其簡單、實用、易于操作等特點深受教師們推崇，也是在數(shù)學(xué)建模競賽必會的一種軟件.線性代數(shù)中絕大部分計算如線性方程組的求解、行列式、矩陣等都有現(xiàn)成的程序，因此，很多高校將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學(xué)中.比如，要求矩陣的特征值，特征向量，將矩陣對角化，教材中需要用兩至三頁的篇幅，但用MATLAB只需一個命令即可，優(yōu)勢非常明顯.比如，對于常見的斐波那契數(shù)列的求解問題，通過MATLAB軟件幾分鐘就可以輕松解決，但筆算的話卻需要很長時間且容易出錯.

案例 ?意大利數(shù)學(xué)家裴波那契提出著名的兔子繁殖問題[4]：一對小兔子（一雄一雌）出生一個月后，每個月可以生出一對小兔子，小兔子經(jīng)過一個月后也可以繁殖.現(xiàn)有一對小兔子，假定兔子會一直繁殖下去，沒有死亡，問第n個月月初會有多少對兔子？

解 ?每個月兔子的對數(shù)構(gòu)成的數(shù)列就是著名的Fibonacci數(shù)列{Fn}：

滿足條件F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn（n=1，2，3…）

由關(guān)系式 Fn+2=Fn+1+Fn， F1=F2 ?（n=1，2，3…）.

令 A =? 1 1 1 0? ， α n=? Fn+1 Fn? ， α 0=? F1 F0? =? 1 0? ，

則上述關(guān)系可寫成矩陣形式 α n+1= Aα n，遞推可得 α n= A n α 0.

于是求Fn的問題歸結(jié)為求 α n，即求 A n的問題.

在MATLAB中輸入命令：

A=sym（′[1 1;1 0]′）

[P，D]= eig（A）

得 A 的特征值矩陣 D =?? 1+ 5? 2? 0 0? 1- 5? 2?? ，特征向量矩陣 P =?? 1+ 5? 2? 1 1? 1- 5? 2?? ，

再由 P -1 AP = D 得， A = PDP -1， A n= PD n P -1，

在MATLAB中直接輸入公式 A n= PD n P -1，計算出 A n，再輸入

Fn+1 Fn ?= α n= A n? 1 0? ，很容易計算出Fn= 1? 5???? 1+ 5? 2? n-? 1- 5? 2? n ，

代入任一整數(shù)，都可計算出Fn的值，比如，F(xiàn)20=6 765，F(xiàn)30=832 040，即20個月后約有6 765對兔子，30個月后有832 040對兔子.通過MATLAB軟件幾分鐘就可以輕松解決，但筆算的話需要的時間就很長了.

四、借助思維導(dǎo)圖，促進(jìn)知識系統(tǒng)化

思維導(dǎo)圖（mindmap）是由英國托尼·巴贊提出，是一種有效的思維模式.思維導(dǎo)圖是用圖解的形式和網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)，加上關(guān)鍵詞和圖像，表達(dá)知識點的邏輯順序關(guān)系，從而挖掘人的記憶、創(chuàng)造性、機體等各方面的潛能[5].線性代數(shù)知識點紛繁復(fù)雜，通過思維導(dǎo)圖對知識進(jìn)行復(fù)習(xí)和整理，有助于學(xué)生理清知識脈絡(luò)，抓住主要問題，實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)化和連貫性.比如，在對行列式相關(guān)知識點總結(jié)時，可以繪制如下導(dǎo)圖：

初等行變換在線性代數(shù)中應(yīng)用廣泛，具有十分重要的地位，且各個部分相互關(guān)聯(lián)，可以通過以下思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生理解記憶.

線性代數(shù)教學(xué)改革是一項長期的工程，要充分運用信息化教學(xué)手段，開展形式多樣的混合式教學(xué)，最大化彌補傳統(tǒng)教學(xué)模式在空間、時間的限制，努力提升教學(xué)的針對性和有效性.在課程建設(shè)改革過程中，教師也要不斷提升信息化能力，要從授之以魚，轉(zhuǎn)變?yōu)槭谥詽O，成為學(xué)生獲取知識的推動者，力求做到教育教學(xué)理論與信息技術(shù)的深度融合，教學(xué)相長，為培養(yǎng)具備綜合能力的高素質(zhì)人才奠定基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]文軍，屈龍江，易東云.線性代數(shù)課程教學(xué)案例建設(shè)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016（6）：46-52.

[2]楊文霞，何朗，彭斯俊.基于SPOC和翻轉(zhuǎn)課堂的線性代數(shù)混合式教學(xué)改革與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017（4）：44-50.

[3]許麒麟，黃威榮.四種常見的課堂在線互動平臺比較研究[J].教育現(xiàn)代化，2017（10）：174-177.

[4]黃秋和，莫京蘭，寧桂英.線性代數(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2016.

[5]東尼博贊.博贊學(xué)習(xí)技巧[M].卜煜婷，譯.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2015.