梁向

【摘要】 圓錐曲線問題一直以來都是高中數(shù)學(xué)的一大考點.憑借著它自身的綜合性、嚴謹性和靈活性，更能考驗學(xué)生對知識點的掌握程度.同樣的，在歷年的高考數(shù)學(xué)試題中，關(guān)于圓錐曲線的考查，更是重中之重.雖然圓錐曲線學(xué)習(xí)難度比較大，但也是有一定規(guī)律的.在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該引導(dǎo)、幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)掌握其規(guī)律和技巧，加深學(xué)生的熟悉程度，能夠進一步迅速做出正確解答.本文我們將對橢圓（圓為橢圓中的特例）、雙曲線和拋物線中的定點、定值問題的方法和技巧進行簡要的分析、總結(jié)歸納.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;定點;定值

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，圓錐曲線一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點，也是一大重點.其中一般包括了橢圓（圓為橢圓中的特例）、雙曲線和拋物線.縱觀以往的教學(xué)經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)對圓錐曲線的考查更能體現(xiàn)學(xué)生對它所在整個學(xué)科的熟悉、掌握和運用程度.相應(yīng)的，高中數(shù)學(xué)考查內(nèi)容的重點也向這方面有所傾斜.

關(guān)于對圓錐曲線定點和定值問題的考查已經(jīng)成為考試中的常見問題，涉及的題型也是多種多樣，小到選擇題，大到最后的壓軸題.通過對這類問題的考查，更能看出學(xué)生的思維邏輯的條理性、計算能力的嚴謹性和對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的綜合理解能力和靈活變通能力.與之對應(yīng)的，此類問題的考查已經(jīng)成為高考的熱門之一.

一、關(guān)于定點的簡要討論

（一）對定點問題的考查類型

通過對往年高考數(shù)學(xué)考題的分析和總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)對橢圓、雙曲線和拋物線中過定點的考查包括了選擇題、填空題和解答題.考查方式也是不一而同，比如，“論證直線與圓錐曲線相交是否有過定點的問題”“論證是否過定點（x，y）”“求解所過定點坐標(biāo)”等等.

在選擇題型中，考生常見到的是“選擇它們所過的定點坐標(biāo)是什么”.這類問題計算要求和思維邏輯要求難度比較低，解答也相對比較容易.

對卷面的分析，對圓錐曲線的考查更容易出現(xiàn)在解答題或者論證題中，同時它們也是整張試卷的壓軸題.此時學(xué)生解答或者論證過程中需要清晰的思路、嚴謹?shù)挠嬎愫挽`活變通.例如，在2011年試卷中的相關(guān)題目“點A和點B是定點（1，0）的直線l與橢圓E：x2÷2+y2=1相交兩個點，當(dāng)直線l發(fā)生變化時，在x軸上是否存在一定點R，使x軸是∠ARB的平分線？若存在，求出點R的坐標(biāo).”此時，學(xué)生需要的不僅是簡單的計算，如果頭腦中沒有一個清晰的思路，基本上會步步出錯.

（二）關(guān)于定點方面問題的解答思路

關(guān)于曲線方程中對定點問題的解答，大致可通過兩個方向進行解答.一類是根據(jù)題目中的已知信息和潛藏信息通過直接的論證和計算進行解答;另一類是通過問題所問，從側(cè)面代入推斷其存在的合理性.兩類方法各有其優(yōu)缺點，針對不同的題目亦需要學(xué)生進行甄別選擇.

直接法對考生知識儲存和靈活運用有較高的要求.在解答曲線方程過程中，學(xué)生需要對橢圓（圓為橢圓中的特例）、雙曲線、拋物線的特點有深刻地了解，能夠在已知題目信息中結(jié)合相關(guān)曲線方程的特點發(fā)現(xiàn)潛藏的信息，而后對這些信息進行總結(jié)歸納，通過一定的邏輯語言表達論證得出正確的結(jié)論.而第二種方法更多是從問題中尋找答案，將所問的內(nèi)容代入題目信息進行驗證[1].

與此同時，考生需在日常習(xí)題訓(xùn)練中做到數(shù)形結(jié)合，“一題一圖”的要求也不為過分.在作圖過程中能將深奧復(fù)雜的邏輯通過簡單直接的書面形式表達出來，學(xué)生接收理解信息的難度也會因此降低.

從本質(zhì)上講圓錐曲線是通過一元二次方程進行表達.因此，學(xué)生可以利用一元二次方程的特性與題目產(chǎn)生聯(lián)系，進而會得到更深層次的解題條件，靈活運用坐標(biāo)法、設(shè)而不求法、點差法向答題方向靠攏.例如，2015年高考試卷中的20題：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=x2÷4與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.請問，y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN，并說明理由.

這是曲線方程中關(guān)于定點的經(jīng)典題目.考查學(xué)生對新問題的探索和運算能力，首先根據(jù)題目中曲線C方程可知點M（2 a ，a），N（-2 a ，a）或M（-2 a ，a），N（2 a ，a）.其次做出判定，利用設(shè)而不求法將y=kx+a代入曲線C方程，將其整理成關(guān)于x的一元二次方程，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)和點P的坐標(biāo)，將直線PM，PN的斜率之和用a來表示，再利用PM，PN斜率和為0導(dǎo)出a，b關(guān)系，從而找出適合條件的點P.具體解法如下：

設(shè)存在點P（0，b）符合題意，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將y=kx+a代入曲線C方程，整理可得x2-4kx-4a=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4a，則k1+k2=（y1-b）÷x1+（y2-b）÷x2，代入曲線方程可得k1+k2=k（a+b）÷a，當(dāng)b=-a時，k1+k2=0，則直線PM的傾斜角和直線PN的傾斜角互補，所以∠OPN=OPM，存在P（0，a）符合題意.

在對曲線方程定點求解時，我們需要教導(dǎo)學(xué)生明白什 么是定，什么是不定，如何在不定中尋求定的信息.考生應(yīng)該時刻謹記在圓錐曲線中關(guān)于曲線的特性是永遠不會改變，造成定點問題的關(guān)鍵是某些幾何量與曲線參數(shù)無關(guān)性.

在選擇題中關(guān)于定點的解答最優(yōu)的辦法是將選項或者特殊值帶入進行運算推論，較為高效地做出正確解答.而在解答論證題中，較多使用設(shè)而不求法和特殊值帶入法能有效地將問題化繁為簡，大大降低解題難度[2].

例如，曲線E： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e= 1 2 ，過F1的直線交曲線E為A，B兩點，且三角形ABF2周長為8.現(xiàn)設(shè)一動直線l：y=kx+m與曲線E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，請問在平面坐標(biāo)內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？試證明.

這是一道開放性比較強的題目，解答之前，我們可以較為容易得出曲線E的方程為 x2 4 + y2 3 =1.根據(jù)橢圓關(guān)于x軸的對稱性，過F1的直線與橢圓的兩個交點也會關(guān)于x軸對稱，通過這些可以判斷出若存在定點M，則M一定在x軸上，更進一步取特殊值直線過橢圓頂點的切線，圓與x軸相較于M（1，0），N（3，0），當(dāng)切點在第一象限，∠PNQ一定是鈍角，則點N不存在，若存在定點則為點M（1，0）.具體解析就不用再說了.

二、淺析曲線方程中的定值問題

（一）圓錐曲線中定值的考查方式

相交于曲線方程中的定點問題，近幾年高考對于定值問題考查比例偏大.在這五年中，對于曲線方程中定值定點的考查共31道，定值問題更是占有19道之多.這些題目往往通過曲線方程與直線的關(guān)系進行表述.涉及的題型主要是選擇題和解答論證題.

在選擇題中，解答的難度相較于論證題會有所降低，答題思路和運算簡單清晰.題目考查的重點是考生對圓錐曲線特性的掌握熟悉程度，答案也是有跡可循的.

出現(xiàn)在填空題時，難度會比選擇題大，這時候考查的主要是學(xué)生的運算能力.例如，在2016年江蘇省數(shù)學(xué)試卷中的那道題：拋物線4x=y2的弦AB過焦點F，則三角形ABC的S2與|AB|的比值為（? ）.在解答這道題的時候，考生需要了解拋物線的特性，將其特性代入進行運算即可得到正確結(jié)果.

當(dāng)曲線方程中定值作為解答題出現(xiàn)時，它的難度會有一個幾何式的增長，這時考驗的不僅僅是學(xué)生對其掌握程度或是簡單的運算，它將更深層次考驗思維邏輯辯證、運算緊密性和其他知識的旁敲側(cè)引.例如，2012年高考試卷中的21題：已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：（x+1）2+（y-05）2=r2（r>0）有一個公共交點，且在A處兩曲線的切線為同一直線l.設(shè)m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點為D，求D到直線l的距離.通過題目所問可知點D到直線l的距離是一個定值，下面所求的是這個定值是多少.

（二）定值問題的解答技巧

與（一）中所述對應(yīng)題目類型，我們一一進行闡述.

首先對于選擇題中曲線定值問題，我們可引導(dǎo)學(xué)生利用對曲線方程的了解將特殊值或者選項代入計算，看它們在題目條件中存在的合理性進行判別.這點與定點問題比較類似，卻又不像它那么簡單，具體問題還需要具體甄別.

由于填空題題干相應(yīng)簡單精練，所以考查的內(nèi)容不會太過復(fù)雜，答案一般是較為特殊的數(shù)值，但并不是說可以不去掌握這方面的內(nèi)容.作答過程中盡可能地去掉等式中的變量，這樣就會迅速得出正確結(jié)果.

再說就是論證解答題中對定值問題的研究了.怎么說呢？21題一般是高考數(shù)學(xué)試卷大題中的大題，它的出現(xiàn)意味著難度的空前增大，而曲線定值往往就會在此刻出現(xiàn).解題方法也是大致分為兩種，即直接法和間接法.下面我們試分析2012年高考試卷中所出現(xiàn)的這道題目[3].

由題意可簡單推理出圓M的方程為（x+1）2+（y-05）2=1.25（具體解答此處省略）.首先我們先假設(shè)（a，（a+1）2）為拋物線C上一點，則該點處的切線方程為y-（a+1）2=2（a+1）（x-a），化簡得y=2（a+1）x+1-a2.又因為該直線與圓M相切，到圓心的距離為? 5? 2 ，化簡可得a2（a2-4a-6）=0，解得a0=0，a1=2+ 10 ，a2=2- 10 .由于拋物線C在（av，（a+1）2）（v=0，1，2）處的切線分別是l，m，n，其方程為① y=2x+1;② y=2（a1+1）x-a1+1;③ y=2（a2+1）-a2+1.后兩式相減得：x=（a1+a2）÷2=2，將x=2帶入②可得y=-1，D（2，-1），進而可求解出點D到直線l的距離.

三、結(jié)束語

隨著歷年高考的不斷變更，對數(shù)學(xué)中圓錐曲線的考查也變得多種多樣，題目類型也會隨之更加新穎和完善.作為高考數(shù)學(xué)的熱門問題，曲線方程一直都是以常青樹的形象存在于試卷中的方方面面，其中對定值定點的考核相較于最大值最小值的考核比重日益加大.在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中，應(yīng)時時刻刻教導(dǎo)學(xué)生對圓錐曲線有較為清晰的認識，熟悉它們的特性，綜合其他知識靈活運用設(shè)而不求法、極值和特殊值代入法、轉(zhuǎn)化法以及坐標(biāo)法進行作答.同時適時對該類題 型整合分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，在考場上做出迅速解答.

【參考文獻】

[1]戴團結(jié).圓錐曲線中的定值、定點問題[J].考試周刊，2015（59）：60-61.

[2]姚紅.圓錐曲線中一類定點問題的研究[J].數(shù)學(xué)通訊：教師閱讀，2015（8）：41-43.

[3]趙玲燕.巧用變式探究方法，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維——對圓錐曲線中的定點、定值問題的教學(xué)思考[J].課程教育研究，2014（36）：208-209.