齊斌德

一、以中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景

中華上下五千年的文明發(fā)展歷程中形成了許多優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，高考數(shù)學(xué)命題時(shí)選擇中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景，在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法的同時(shí)，可以引導(dǎo)考生深刻認(rèn)識(shí)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長(zhǎng).

例1 ??（2017年全國(guó)Ⅰ卷）如圖所示，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（? ）.

A. 1 4

B. π 8

C. 1 2

D. π 4

解析 ?設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則圓的半徑為1，正方形的面積為4，圓的面積為π，根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系，黑色部分面積是圓的面積的一半，所以黑色部分的面積為 π 2 ，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得此點(diǎn)取自黑色部分的概率為P= π 8 ，故選B.

賞析 ?本題結(jié)合中國(guó)傳統(tǒng)文化中的瑰寶“太極圖”來(lái)考查正方形的面積、圓的面積、對(duì)稱(chēng)關(guān)系以及幾何概型的知識(shí).學(xué)生在欣賞“太極圖”優(yōu)美形態(tài)的同時(shí)發(fā)現(xiàn)圖形的對(duì)稱(chēng)性，在提升學(xué)生的人文底蘊(yùn)的同時(shí)考查學(xué)生的讀圖、用圖能力，直接考查了學(xué)生的直觀想象這一核心素養(yǎng)，同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中考查了考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算這些核心素養(yǎng).

例2 ??（2017年北京卷）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與 M N 最接近的是（? ）.（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

解析 ?由M=3361得lgM=361×lg3≈361×0.48=17328，由N=1080得lgN=80，所以lg M N =lgM-lgN≈17328-80=93.28，所以 M N ≈1093.28≈1093，故選D.

賞析 ?本題以中華民族傳統(tǒng)文化中的瑰寶“圍棋”為背景，考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算.圍棋是中國(guó)古代4大藝術(shù)“琴、棋、書(shū)、畫(huà)”中的“棋”，現(xiàn)已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)領(lǐng)域.圍棋使用方形格狀棋盤(pán)及黑白二色圓形棋子進(jìn)行對(duì)弈，棋盤(pán)上有縱橫各19條直線將棋盤(pán)分成361個(gè)交叉點(diǎn)，棋子走在交叉點(diǎn)上，雙方交替行棋，落子后不能移動(dòng)，以圍地多者為勝，圍棋被認(rèn)為是世界上最復(fù)雜的棋盤(pán)游戲之一.近幾年，“人工智能”不斷發(fā)展，在2017年5月23日—5月27日舉行的“人機(jī)大戰(zhàn)”中，世界排名第一的柯潔以0 ∶ 3負(fù)于機(jī)器人ALPHAGO，在人們熱議“人工智能”的同時(shí)，圍棋也成為人們熱議的對(duì)象.本題以圍棋為背景，考查圍棋的復(fù)雜度，有較強(qiáng)的時(shí)代氣息.可以在提升考生人文底蘊(yùn)的基礎(chǔ)上讓考生感受中國(guó)傳統(tǒng)文化的博大精深，在解決該問(wèn)題的過(guò)程中可以考查考生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、以數(shù)學(xué)史為背景

在數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)河中，出現(xiàn)了一些流傳至今的數(shù)學(xué)著作以及數(shù)學(xué)思想，這些著作和思想對(duì)數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展起著積極的推動(dòng)作用，其中的很多思想和方法至今還在解決問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用，一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，像陳年老酒，歷久彌香.以我國(guó)古代一些數(shù)學(xué)命題和重要思想為背景的高考試題成了傳播數(shù)學(xué)文化的重要載體.

例3 ??（2017年全國(guó)Ⅱ卷）《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（? ）.

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

解析 ?從頂層開(kāi)始往下數(shù)，每層塔的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比q=2的等比數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和記為Sn，由題意S7= a1（1-q7） 1-q =a1（27-1）=127a1=381，解得a1=3，故選B.

賞析 ?《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其作者為程大位，該書(shū)是一部應(yīng)用數(shù)學(xué)書(shū)，是以珠算為主要的計(jì)算工具，列有595個(gè)應(yīng)用題的數(shù)字計(jì)算，都不用籌算方法，而是用珠算演算.評(píng)述了珠算規(guī)則，完善了珠算口訣，確立了算盤(pán)用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變.該書(shū)從流傳的長(zhǎng)久，廣泛和深入程度來(lái)講，是任何一部數(shù)學(xué)著作不能與其相比的.本題以《算法統(tǒng)宗》中的燈塔個(gè)數(shù)為背景，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，在讓學(xué)生感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌成就的同時(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例4 ??（2017年浙江卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度，祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6= .

解析 ?如圖所示，單位圓內(nèi)接正六邊形可以看作是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成的，則其面積為6×? 3? 4 ×12= 3 3? 2 .

賞析 ?“割圓術(shù)”是我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫(xiě)《九章算術(shù)注》中的一片注記，是以圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)無(wú)限逼近圓的面積，劉徽形容“割圓術(shù)”說(shuō)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣.“割圓術(shù)”在人類(lèi)歷史上首次將極限和無(wú)窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類(lèi)文明史中不朽的篇章.本題以“割圓術(shù)”為背景考查圓內(nèi)接正六邊形的面積的求法，讓考生在感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻(xiàn)的同時(shí)，考查考生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

三、以生產(chǎn)和生活實(shí)際為背景

重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活實(shí)際中的應(yīng)用一直是落實(shí)數(shù)學(xué)新課程的重要標(biāo)志，涉及生產(chǎn)和生活實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題已經(jīng)成為每一年高考數(shù)學(xué)試卷的必考內(nèi)容，旨在考核學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本素養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的建模素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)，2017年高考理科試題中，以生產(chǎn)或生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景的試題共有18題.

例5 ??（2017年全國(guó)Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們4人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（? ）.

A.乙可以知道4人的成績(jī)

B.丁可以知道4人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

解析 ?記成績(jī)優(yōu)秀為A，良好為B，則甲乙丙丁四人的成績(jī)?yōu)閮蓚€(gè)A、兩個(gè)B，若甲看到的成績(jī)?yōu)锳A（或BB），則甲知道自己的成績(jī)?yōu)锽（或A），而甲不知道自己的成績(jī)，因此，乙、丙的成績(jī)?yōu)橐粋€(gè)A一個(gè)B，甲丁的成績(jī)也為一個(gè)A一個(gè)B，此時(shí)乙看了丙的成績(jī)便可以知道自己的成績(jī)，丁看了甲的成績(jī)便可以知道自己的成績(jī)，因此，選擇D.

賞析 ?本題以生活中的一個(gè)“猜成績(jī)”的游戲?yàn)楸尘?，選取生活中的一個(gè)場(chǎng)景命題，要求學(xué)生從已知的事實(shí)出發(fā)，得出相對(duì)應(yīng)的結(jié)果，考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯推理這一核心素養(yǎng).

例6 ??（2017年上海）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第n個(gè)月（n∈ N *）共享單車(chē)的投放量和損失量分別為an和bn（單位：輛），其中an= 5n4+15，n∈[1，3]， -10n+470，n∈[4，+∞）， ?bn=n+5，第n個(gè)月的共享單車(chē)的保有量Q是前n個(gè)月的累積投放量與累積損失量的差.

（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量;

（2）已知該地區(qū)共享單車(chē)停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車(chē)容納量（單位：輛）Sn=-（n-46）2+8 800，設(shè)在某月底，共享單車(chē)的保有量達(dá)到最大，則該保有量是否超過(guò)了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量.

解析 ?（1）Q4=（a1+a2+a3+a4）-（b1+b2+b3+b4）=20+95+420+430-（6+7+8+9）=935.

Q= 14，n=1， 102，n=2， 514，n=3， - 11 2 n2+ 919 2 n-815，n≥4，

所以當(dāng)n=42時(shí)，Q取得最大值，最大值為8 782，此時(shí)S42=-（42-46）2+8 800=8 784>8 782，故當(dāng)Q取得最大值時(shí)，停放點(diǎn)能容納.

賞析 ?隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，“共享經(jīng)濟(jì)”逐漸走進(jìn)人們的日常生活并開(kāi)始為人們所接受，本題以“共享單車(chē)”這一新生事物為背景，有較強(qiáng)的社會(huì)現(xiàn)實(shí)意義，考查了數(shù)列的有關(guān)知識(shí)以及函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，綜合考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算這些核心素養(yǎng).