呂思宇
【摘要】定積分在自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用,是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基本問題,定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問題.本文從定積分的定義出發(fā),將數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的定積分經(jīng)典類型進(jìn)行了總結(jié),幫助我們理解積分的概念.
【關(guān)鍵詞】計(jì)算方法;定積分;極限
一、定積分的概念
設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時(shí),和S總趨于確定的極限I,這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作∫baf(x)dx,即∫baf(x)dx=I=limλ→0∑ni=1f(ξi)·Δxi.
二、定積分的意義
(一)幾何意義
設(shè)y=f(x)≥0且在[a,b]上連續(xù),若f(x)為曲線,則∫baf(x)dx表示[a,b]上曲邊梯形的面積.
(二)物理意義
設(shè)y=f(x)≥0且在[a,b]上連續(xù),若f(x)為速度,則∫baf(x)dx表示[a,b]上變速運(yùn)動(dòng)的路程.
三、定積分概念的應(yīng)用及推廣
1.可以把積分區(qū)間[a,b]推廣到無限區(qū)間上,如[a,+∞)等,或者,函數(shù)推廣到無界函數(shù),也就是廣義積分.
2.可以把積分區(qū)間[a,b]推廣到一個(gè)平面區(qū)域,被積函數(shù)為二元函數(shù),那么積分就是二重積分;同樣當(dāng)被積函數(shù)成為三元函數(shù)、積分區(qū)域變成空間區(qū)域時(shí)就是三重積分.
(一)積分的計(jì)算方法
定義法:定積分的定義法計(jì)算是運(yùn)用極限的思想,簡(jiǎn)單地說就是分割求和取極限.任意分割任意取值所計(jì)算出的i值如果全部相同的話,則定積分存在.
第一步:分割.
將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,一般情況下采取等分的形式.h=b-an,那么分割點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),(a+h,0),(a+2h,0),…,(a+(n-1)h,0),(b,0),ξk在[xk-1,xk]任意選取,但是我們?cè)谧鲱}過程中會(huì)選取特殊的ξk,即左端點(diǎn),右端點(diǎn)或者中點(diǎn).經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形.我們近似的看作是n個(gè)小長方形.
第二步:求和.
計(jì)算n個(gè)小長方形的面積之和,也就是∑nk=1f(ξk)h.
第三步:取極限
I=limh→0∑nk=1f(ξk)h=hlimh→0∑nk=1f(ξk),h→0即n→∞,也就是說分的越細(xì),那么小曲邊梯形就越接近小長方形,當(dāng)n趨于無窮之時(shí),小曲邊梯形也就是小長方形,那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積,也就是定積分的積分值.
(二)牛頓-萊布尼茨公式
牛頓-萊布尼茨公式很好地把定積分與不定積分聯(lián)系在一起.利用此公式,可以根據(jù)不定積分的計(jì)算計(jì)算出定積分.這個(gè)公式要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須連續(xù).求連續(xù)函數(shù)的定積分只需求出的一個(gè)原函數(shù),再按照公式計(jì)算即可.
定理 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù),且F(x)是f(x)的原函數(shù),則∫baf(x)dx=F(b)-F(a).
例1 用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分∫10xdx.
解 原式=12x210=12.
總結(jié):我們知道,不定積分與定積分是互不相關(guān)的,獨(dú)立的.但是在連續(xù)的條件下,微積分基本定理把這兩個(gè)互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來,這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果,有著重大的意義.同樣的一道題目,用牛頓-萊布尼茨公式明顯比定義法簡(jiǎn)單.
四、定積分的換元積分法
應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求定積分,首先求被積函數(shù)的原函數(shù),其次再按公式計(jì)算.一般情況下,把這兩步截然分開是比較麻煩的,換元積分法解決了這一問題.
例2 求定積分∫21lnxdx.
解 ∫21lnxdx=xlnx|21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.
總結(jié):因?yàn)閡(x),v(x)在[a,b]有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),并且u(x)易求微分,v(x)容易被計(jì)算出來時(shí)用分部積分法比較簡(jiǎn)單.
五、定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
(一)概率問題
例3 在區(qū)間[-1,1]上任取兩數(shù)a,b,求方程有兩個(gè)正根的概率.
解 由題意,樣本空間Ω={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1}表示邊長為2的正方形區(qū)域,面積SΩ=4.要使方程兩根均正,需
Δ=4a2-4b≥0,x1+x2=2a>0,x1x2=b>0, 即a2≥b,a>0,b>0.
記方程有兩正根為事件A,它對(duì)應(yīng)的區(qū)域是由拋物線b=a2,直線a=1和a=0圍成的,于是SA=∫10a2da=13.所以P(A)=SASΩ=112.
總結(jié):用定積分求概率問題更多是把問題分為樣本空間區(qū)域求其覆蓋面積,并且找到所求事件的空間區(qū)域求其面積,從而求出題目所要求的概率問題,運(yùn)用了最基本的方法來運(yùn)用到較復(fù)雜問題上.
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