王文姬

【摘要】本文介紹了解析函數(shù)的相關(guān)概念、解析函數(shù)的幾種等價(jià)定理及其證明，由此加深對(duì)解析函數(shù)的理解.

【關(guān)鍵詞】解析函數(shù);柯西-黎曼方程

一、解析函數(shù)的定義

定義1 如果函數(shù)w=f（z）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱f（z）為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)（全純函數(shù)或正則函數(shù)），或稱f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析.

為了敘述上語言的簡(jiǎn)潔，我們常用以下的說法：

1.函數(shù)f（z）在一點(diǎn)z0解析，意味著f（z）在點(diǎn)z0的某一鄰域內(nèi)解析;

2.函數(shù)f（z）在閉域D上解析，意味著f（z）在某一包含閉域D的區(qū)域內(nèi)解析;

3.函數(shù)f（z）在曲線L上解析，意味著f（z）在某一包含曲線L的區(qū)域內(nèi)解析.

定義2 若函數(shù)f（z）在點(diǎn)z0不解析，但在z0的任一鄰域內(nèi)總有f（z）的解析點(diǎn)，則稱z0為函數(shù)的奇點(diǎn).

二、解析函數(shù)的幾個(gè)等價(jià)定理及其證明

熟知解析函數(shù)的概念和解析函數(shù)的等價(jià)定理的證明是很有意義的.接下來以解析函數(shù)的概念為出發(fā)點(diǎn)，總結(jié)解析函數(shù)的3個(gè)等價(jià)定理.

定理1 函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：（1）二元函數(shù)u（x，y）及v（x，y）在區(qū)域D可微;（2）u（x，y）及v（x，y）在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，即：ux=vy，uy=vy.

證明 必要性.設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)有意義，并且f（z）在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+yi可導(dǎo)，則對(duì)于充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有f（z+Δz）-f（z）=f′（z）Δz+ρ（Δz）Δz，其中 limΔz→0ρ（Δz）=0，令f（z+Δz）-f（z）=Δu+iΔv，f′（z）=a+ib，ρ（Δz）=ρ1+iρ2.

所以Δu+iΔv=（a+ib）（Δx+iΔy）+（ρ1+iρ2）（Δx+iΔy）

=（aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy）+i（bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy）.

于是Δu=aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy，Δv=bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy.

由復(fù)變函數(shù)存在的充要條件可知，當(dāng) limΔz→0ρ（Δz）=0，有 limΔx→0Δy→0ρ1=limΔx→0Δy→0ρ2=0.

因而u（x，y）與v（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微，且滿足方程

ux=vy，uy=-vx.

充分性.由于f（z+Δz）-f（z）=u（x+Δx，y+Δy）-u（x，y）+i[v（x+Δx，y+Δy）-v（x，y）]=Δu+iΔv.

又因?yàn)閡（x，y）與v（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微，于是

Δu=uxΔx+uyΔy+ε1Δx+ε2Δy，Δv=vxΔx+vyΔy+ε3Δx+ε4Δy，

其中 limΔx→0Δy→0εkΔx+εkΔy=0，k=（1，2，3，4）.

因此f（z+Δz）-f（z）=ux+ivxΔx+uy+ivyΔy+（ε1+iε3）Δx+（ε2+iε4）Δy.

由柯西-黎曼方程ux=vy，uy=-vx=i2vx.

f（z+Δz）-f（z）=ux+ivx（Δx+iΔy）+（ε1+iε3）Δx+（ε2+iε4）Δy.

f（z+Δz）-f（z）Δz=ux+ivx+（ε1+iε3）ΔxΔz+（ε2+iε4）ΔyΔz.

因?yàn)棣Δz≤1，ΔyΔz≤1，

limΔz→0（ε1+iε3）ΔxΔz+（ε2+iε4）ΔyΔz=0.

所以f′（z）=limΔz→0f（z+Δz）-f（z）Δz=ux+ivx.

即函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在點(diǎn)z=x+yi可導(dǎo).

定理2 函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：（1）ux，uy，vx，vy在D內(nèi)連續(xù);（2）u（x，y），v（x，y）在D內(nèi)滿足C-R條件.

證明 必要性.f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，由解析的無窮可微性知，f′（z）必在D內(nèi)連續(xù)，因而ux，uy，vx，vy一定在D內(nèi)連續(xù)，再根據(jù)定理2必要性的證明易知C-R條件成立.

充分性.由ux，uy，vx，vy在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么根據(jù)二元函數(shù)可微的充分條件能夠得到，函數(shù)u（x，y），v（x，y）在區(qū)域D內(nèi)可微，則根據(jù)定理2可知，f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析.

定理3 函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：在區(qū)域D內(nèi)v（x，y）是u（x，y）的共軛調(diào)和函數(shù).

證明 必要性.因?yàn)閒（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析，則由C-R條件得2ux2=2vyx，2uy2=2vyx，

因?yàn)?vxy與2vyx在D內(nèi)連續(xù)，它們必然相等，所以在D內(nèi)有2ux2+2uy2=0，

同理，在D內(nèi)有2vx2+2vy2=0，即u（x，y）及v（x，y）在D內(nèi)滿足拉普拉斯方程.

由于u（x，y）及v（x，y）在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足拉普拉斯方程，因此u（x，y）及v（x，y）為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，由于u（x，y）及v（x，y）在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R方程，所以u(píng)（x，y）是v（x，y）的共軛調(diào)和函數(shù).

充分性.由于在D內(nèi)v（x，y）是u（x，y）的共軛調(diào)和函數(shù)，因此u（x，y）及v（x，y）是調(diào)和函數(shù)，所以滿足拉普拉斯方程，也就是連續(xù)，由于u（x，y），v（x，y）滿足C-R方程，所以f（z）在D內(nèi)解析.

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