楊藍

【摘要】數(shù)學思想與方法是數(shù)學知識的精髓，是解決一切數(shù)學問題的通法，對于學生分析和解決問題、創(chuàng)造性探索新知識具有重要的作用.本文在闡述高中數(shù)學常見的數(shù)學思想與方法的基礎(chǔ)上，探尋了高中數(shù)學有效滲透數(shù)學思想與方法的途徑.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)學思想與方法;滲透;途徑

數(shù)學思想與方法是數(shù)學知識的精髓，是解決一切數(shù)學問題的通法，對于學生分析和解決問題、創(chuàng)造性探索新知識具有重要的作用，因此，在高中數(shù)學教學中，如何順應(yīng)時代需求，將數(shù)學思想與方法逐漸滲透到教材教學中，逐漸滲透到學生的腦海中去成為當前迫切要解決的問題.

一、高中數(shù)學常見的數(shù)學思想與方法

（一）分類討論思想

當問題所呈現(xiàn)的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要按照事件可能情況、字母取值范圍、圖形位置特征等標準對其分類，然后對每一分類進行研究，最后以最簡、互斥、無漏不重復(fù)的原則綜合各類情況進行解答.由于分類討論題知識點覆蓋較多，邏輯性和綜合性較強，因此，成為高中常見的數(shù)學思想與方法，其思想滲透到高中數(shù)學的每一個章節(jié)之中.

（二）數(shù)形結(jié)合思想

為了使學生的抽象和形象思維相互作用，根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系解決數(shù)學問題的思想就是數(shù)形結(jié)合思想.由于數(shù)形結(jié)合思想可以使問題直觀呈現(xiàn)，所以，也成為高中常見的數(shù)學思想與方法.例如，在求解函數(shù)f（x）=x2+1+x2-4x+8的最小值時，如果按照代數(shù)方式進行求解時，則很難快速得出答案，如果利用數(shù)形結(jié)合思想，則可利用所給函數(shù)的特點，巧用兩點間距離公式模型得出答案.

（三）函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想其實是由函數(shù)和方程兩個思想組成，其中函數(shù)思想是結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)有關(guān)性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化、解決實際問題的一種思想，而方程思想是從數(shù)量關(guān)系入手，通過利用方程有關(guān)定理性質(zhì)，或解方程而解決所給問題的一種思想.由于高中許多數(shù)學題目中都含有多元參變量，常常需要根據(jù)題目要求采取變換“主元”的方法，并構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學函數(shù)模型進行求解，因此，函數(shù)與方程思想也是高中數(shù)學教學的重點.

（四）轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在處理問題時常常通過等價轉(zhuǎn)化、空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題等方式，按照目標簡化、直觀、熟悉的原則將待解決的問題轉(zhuǎn)化歸納為能夠利用已學知識解決的問題.由于轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠滲透到解題過程的各個環(huán)節(jié)和數(shù)學教學內(nèi)容的各個領(lǐng)域之中，因此，轉(zhuǎn)化與化歸思想也成為高中數(shù)學重要的思想與方法.

值得說明的是，高中數(shù)學思想與方法之間可以相互轉(zhuǎn)化，并沒有明確的界限，并且在解決有的問題時還需要綜合運用多種數(shù)學思想與方法.

二、高中數(shù)學有效滲透數(shù)學思想與方法的途徑

（一）整體把握教材，充分尊重學生思維特點，注重有機滲透

心理學研究表明，在高中階段，相比其他思維，抽象思維更具有優(yōu)勢，而此時的抽象思維屬于理論性思維，已經(jīng)能夠用理論分析綜合材料，并初步建立了對立統(tǒng)一的思維，所以，在具體教學實踐時，教師應(yīng)注重高中學生的生理和心理特點，引導學生開展探究性、實踐性活動，從而讓學生從動手實踐到抽象理論，從具體的實物到抽象思維，不斷拉近理論和實踐之間的距離，使分析思考問題更加全面.同時，要按照教材內(nèi)容編排，善于找準教學的切入點，將新知識納入學生已學舊知識體系之中，從而幫助學生建立穩(wěn)固的知識體系.

以函數(shù)與方程思想為例，由于將該思想常常滲透在習題和例題之中，因此，筆者在課堂教學中有目的、有計劃地進行滲透.

例1 已知方程lgx+x=3，則它的解所在的區(qū)間為（? ）.

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，+∞）

解析 該題如果采用代數(shù)方法解決，不僅費時，而且難度較大，但通過滲透函數(shù)與方程思想，可以將其轉(zhuǎn)化為在同一坐標系中，求解函數(shù)y=lgx與函數(shù)y=3-x圖像的焦點，顯然，畫出如圖所示的圖像后就可以直接將A、D排除，再在比較2與x0大小的基礎(chǔ)上可以迅速得出本題答案.

（二）在形成、發(fā)展數(shù)學知識過程中滲透數(shù)學思想與方法

教師應(yīng)將單純的知識傳授升級成為融能力、素質(zhì)、知識于一體，指導學生以探索者的姿態(tài)自主探究該知識的原始過程和隱藏的思想與方法，充分揭示獲取知識的過程，培養(yǎng)學生樂于探究、勤于動手的良好學習習慣.在日常具體教學實踐中，特別要在結(jié)論推導、概念形成、方法思考、問題被發(fā)現(xiàn)、規(guī)律被揭示等過程注重滲透.

以講授指數(shù)函數(shù)概念為例，由于定義與被定義兼具性質(zhì)、判定的雙重功能，因此，筆者設(shè)計了如下兩個問題，解釋指數(shù)概念產(chǎn)生的實際背景或來龍去脈：

一是引入高中學生已經(jīng)熟悉的細胞分裂問題.即1個細胞1小時分裂3次，每次分裂成為2個細胞，要求學生思考如何用函數(shù)刻畫這個細胞分裂過程.

二是引入學生周邊非常熟悉的衣服漂洗問題.即如果將衣服污垢量視為1，則每次漂洗能洗去污垢的34，要求學生用函數(shù)刻畫出污垢量與漂洗次數(shù)之間的關(guān)系.

然后，要求學生自主探究，得出如下函數(shù)關(guān)系式：

① y=2x（x∈N）;

② y=1-34x（x∈N）.

并從常量、變量的位置關(guān)系、取值范圍等方面啟發(fā)學生思考，總結(jié)歸納出指數(shù)概念，讓學生掌握概念的本質(zhì)屬性，知道什么事物屬于這個概念，什么事物不屬于這個概念，最后要求學生根據(jù)所學知識，列舉出幾個指數(shù)函數(shù)解析式.

（三）在總結(jié)、歸納知識過程中概括數(shù)學思想方法

同一種數(shù)學思想方法常常蘊含在不同數(shù)學知識體系中，而同一內(nèi)容可蘊含多種不同數(shù)學思想，因此，為了使數(shù)學思想內(nèi)化成為學生自己的觀點，教師應(yīng)不斷單元小結(jié)，有步驟地結(jié)合數(shù)學表層知識，將統(tǒng)領(lǐng)知識的數(shù)學思想與方法揭示提煉概括出來.在具體教學實踐中，一是將數(shù)學對象共同具有的屬性或關(guān)系抽取出來，揭示出數(shù)學思想的內(nèi)容和規(guī)律.二是將個別性認識上升到一般性認識，將抽取出來的共性推廣到同類的全部對象上去.

以講授一元二次不等式解集為例，首先應(yīng)用特殊到一般的數(shù)學思想，明晰出ax2+bx+c>0（a>0），y=ax2+bx+c（a>0），ax2+bx+c=0（a>0）三者之間的關(guān)系，總結(jié)歸納出求解一元二次不等式的步驟，即一化正、二算Δ、三求根、四寫解集，并將總結(jié)后的規(guī)律推廣到同類的全部對象上去.

（四）在引導學生進行自主反思中領(lǐng)悟數(shù)學思想方法

在教學中，教師應(yīng)不斷引導學生自主反思自己的思維活動，即問題是如何發(fā)現(xiàn)和解決的，有哪些易發(fā)生的錯誤，在解題中走過了哪些彎路，應(yīng)用到了哪些數(shù)學思想和方法，能不能總結(jié)出經(jīng)驗和教訓等.例如，在復(fù)習數(shù)學知識時，筆者設(shè)計了如下題目：

已知函數(shù)f（x）=13ax3+bx+x+3（a≠0）.

① a，b滿足什么條件時，f（x）能夠取得極值.

② 已知f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增且a>0，則求解b的取值范圍.

解析 這是一道利用求導方法研究函數(shù)極值、單調(diào)性的題目，在學生單獨解題結(jié)束后，筆者要求學生對解題過程和解題思想進行“回頭看”，總結(jié)出解題過程中所用到的不等式間相互轉(zhuǎn)化的化歸思想、函數(shù)與方程、分類討論等思想與方法，并總結(jié)出極值求解步驟和求解極值問題時應(yīng)該注意的事項等.

三、結(jié) 語

綜上所述，數(shù)學思想與方法是解決一切問題的通法，在具體教學實踐中，教師應(yīng)不斷進行有意識的滲透和訓練，將其逐漸滲透到學生的腦海中，滲透到教材教學中.并要求學生站在更高境界上理解和審視問題，對于解題過程和解題思想進行“回頭看”，最大限度地領(lǐng)悟解題過程中所蘊含的數(shù)學思想與方法，只有這樣才能不斷實現(xiàn)理解數(shù)學知識質(zhì)的飛越，才能達到靈活應(yīng)用數(shù)學思想與方法解決數(shù)學中的問題.

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