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【摘要】反例，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，并且在任意的學(xué)科的研究的過(guò)程中，都占據(jù)著舉足輕重的重要作用.本文論述了反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用情況，并對(duì)其做了分類，分別寫了反例在中學(xué)代數(shù)學(xué)上的應(yīng)用和反例在幾何學(xué)上的應(yīng)用，并且在這兩個(gè)分支上又分成在數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)定理上的具體的應(yīng)用實(shí)例，說(shuō)明了反例的重要作用.學(xué)生們可以通過(guò)反例清晰地看出問(wèn)題的所在，相比于正向的例子，反例有時(shí)候更具有說(shuō)服性，能夠更快速地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).有時(shí)候，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也是反例帶來(lái)的效果，在好奇心的作用下發(fā)揮自身的能力，并且通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明反例的作用，會(huì)讓學(xué)生更有立體感，能更好地啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的知識(shí).

【關(guān)鍵詞】反例;教學(xué);能力;應(yīng)用

一、反例的概念

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個(gè)命題的條件而不符合這個(gè)命題的結(jié)論的例子，也就是說(shuō)，反例是一種能顯示出書中的某些命題是不正確時(shí)的例子.

二、反例可幫助學(xué)生正確理解基本概念

代數(shù)學(xué)中定義的概念：對(duì)于一種事物的本質(zhì)特征或一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明，或是透過(guò)一個(gè)事物或者一個(gè)物件的基本屬性來(lái)描述或規(guī)范一個(gè)詞或一個(gè)概念的意義的事務(wù)或者物件叫作被定義項(xiàng)，其定義叫作定義項(xiàng).

反例在絕對(duì)值定義理解方面的應(yīng)用

在討論這個(gè)問(wèn)題之前，我們先溫習(xí)一下絕對(duì)值的定義：數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)（點(diǎn)零處）的距離叫作該數(shù)的絕對(duì)值.絕對(duì)值只能為非負(fù)數(shù).

那么我們現(xiàn)在就來(lái)具體地看看，反例在初中數(shù)學(xué)的一個(gè)分支代數(shù)學(xué)上是怎么應(yīng)用的.例如，如果說(shuō)絕對(duì)值a等于b絕對(duì)值，那么a=b這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么在這個(gè)時(shí)候就要想到反例了.正向的時(shí)候有時(shí)是很難舉出具有說(shuō)服性的例子來(lái)證明的，但是如果往反例上面想一想，可能有些事情就會(huì)迎刃而解的，就像我們現(xiàn)在舉出的事理是一樣的，如果要舉出反向的例子來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題，比如，“絕對(duì)值-1等于絕對(duì)值1，但是-1與1是不相等的”.在這個(gè)問(wèn)題上，反例在數(shù)學(xué)定義上有了應(yīng)用.

三、反例在數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用

（一）一個(gè)正數(shù)一定大于這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

我們通常會(huì)舉出一些例子，比如，9的算術(shù)平方根是3，64的算術(shù)平方根是8，以這種形式來(lái)看的話，這些例子都是指向了原數(shù)比它的算術(shù)平方根大，如果只是單純地這樣看來(lái)的話，并沒(méi)有什么異樣，但是如果再進(jìn)行思考，換種形式的例子，比方，0.04的算術(shù)平方根是0.2，而0.04<0.2，又像1的算術(shù)平方根是它的本身，那么這樣一對(duì)比的話，就能清晰地看出以上的說(shuō)法是不正確的.在這種的情況下就能更好地理解這個(gè)問(wèn)題.

這樣也就是更好地在代數(shù)學(xué)的定理上面來(lái)證明反例的具體應(yīng)用，反映出反例的用途之廣和用途之大，促進(jìn)了學(xué)生們對(duì)定理的理解，體現(xiàn)了反例的具體實(shí)用性，還會(huì)激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情，也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)和理解.

定理2.開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)都是無(wú)理數(shù).顯而易見(jiàn)，這句話是錯(cuò)誤的.

2和3都是有理數(shù)，我們之前都學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，但是就是因?yàn)樗鼈兌际情_(kāi)不盡方的數(shù)，所以在這種情況下，教師通常會(huì)更青睞這樣的例子，因?yàn)檫@樣的例子能夠更明顯地看出問(wèn)題的所在.

我們?cè)谶\(yùn)用反例來(lái)解決數(shù)學(xué)中比較不容易理解的問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)讓原本相對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)不容易理解、難懂的知識(shí)點(diǎn)更容易被中學(xué)生們所接受，不會(huì)產(chǎn)生那么多的疑問(wèn)，從而可以準(zhǔn)確地理解和學(xué)習(xí)這樣的不易懂的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)課堂的認(rèn)識(shí)加深了印象.

四、利用反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

例1 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均為整數(shù)，且f（0），f（1）均為奇數(shù).求證：f（x）=0無(wú)整數(shù)根.

證明 設(shè)f（x）=0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2+bk=-c，

又因?yàn)閒（0）=c，f（1）=a+b+c均為奇數(shù)，

所以a+b為偶數(shù)，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與上式矛盾.

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1（n∈Z），

則ak2+bk=（2n+1）（2na+a+b）為偶數(shù)，也與上式矛盾，故假設(shè)不成立，

所以方程f（x）=0無(wú)整數(shù)根.

例2 已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.

證明 用反證法

假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，可得c>-（a+b），

又a+b<0，

所以c（a+b）<-（a+b）（a+b），

ab+c（a+b）<-（a+b）（a+b）+ab，

即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.

因?yàn)閍2>0，ab>0，b2>0，

所以-a2-ab-b2=-（a2+ab+b2）<0，

即ab+bc+ca<0，

這與已知ab+bc+ca>0矛盾，

所以假設(shè)不成立.

因此，a>0，b>0，c>0成立.

這樣的舉例方法就可以稱為是反證法.我們通過(guò)這樣的反例來(lái)讓學(xué)生們判斷，進(jìn)而來(lái)讓學(xué)生們改正，在錯(cuò)誤的情況下讓他們通過(guò)自己對(duì)這個(gè)定義的理解來(lái)挑出問(wèn)題的所在，將學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情展現(xiàn)得淋漓盡致.所以，這樣的做法在數(shù)學(xué)定義的學(xué)習(xí)上可以被稱為是一種行之有效的方法，對(duì)于中學(xué)生的學(xué)習(xí)還是會(huì)有很大幫助的.

五、反例可幫助學(xué)生深刻理解命題的條件及使用適用方法

幾何學(xué)中定理的概念：經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的陳述，一般來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)中，只有重要或有趣的陳述才叫定理，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng).[3]

無(wú)論是什么時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)概念，定理都像是數(shù)學(xué)海洋里最重要的珍珠，在數(shù)學(xué)的海洋里占據(jù)重要的位置.對(duì)于這些數(shù)學(xué)課程上最基本的定理和定義，教師在講解問(wèn)題的時(shí)候最應(yīng)該注意的就是讓同學(xué)們得到相對(duì)嚴(yán)格的證明過(guò)程.反例不會(huì)是掌握問(wèn)題的唯一的手段，但是在數(shù)學(xué)的教學(xué)中卻是必不可少的重要部分.