滕亦成

【摘要】在高中階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)學(xué)科在各個(gè)階段的考試中占有重要位置，因此，在我們平時(shí)學(xué)習(xí)中需要付出的時(shí)間和精力也更多.面對(duì)考試，掌握一定的解題技巧能夠幫助我們輕松應(yīng)對(duì)不同題型.聚焦高二的數(shù)學(xué)課程，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列問(wèn)題比較重要.好的解題技巧是解答數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵.本文旨在通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行分析，選擇相關(guān)的例題，探究具體解題方法，為數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)考試解題帶來(lái)幫助.

【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué);數(shù)列;解題技巧

在高二的數(shù)學(xué)課程中，數(shù)列問(wèn)題作為十分重要的一部分，常常在考試中的分值占比很高，如果不能使用有效的解題方法就無(wú)法在考場(chǎng)上提高答題的準(zhǔn)確性.反之，如果能夠使用一些便于解題的技巧則會(huì)幫助我們提高作答的準(zhǔn)確程度并能夠有效提高答題速度，不僅對(duì)這一類(lèi)題起到輔助作用，并且能夠?yàn)槠渌麤](méi)有技巧可尋的題目爭(zhēng)取時(shí)間，保證考場(chǎng)上的解題效率，緩解應(yīng)試壓力.數(shù)列題的解題技巧有很多種，我們要學(xué)會(huì)用不同的方法解題，通過(guò)不斷的練習(xí)，挑選出自己認(rèn)為最優(yōu)的解題方式能夠大大提高我們的解題能力，從而輕松應(yīng)對(duì)數(shù)列問(wèn)題.

一、利用相關(guān)性質(zhì)和概念解題

要想解好數(shù)列題，首先要掌握相關(guān)的概念和性質(zhì)，當(dāng)面對(duì)不同的考查要點(diǎn)時(shí)才能夠第一時(shí)間找到解題思路，明確解題所需要的相關(guān)知識(shí).比如，遇到考查數(shù)列概念的題目時(shí)，我們可以直接通過(guò)所學(xué)的公式和定理進(jìn)行代入解答，這類(lèi)題對(duì)于我們而言難度相對(duì)較低.

例1 在數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1，則a5的值為（）.

A.30

B.31

C.32

D.33

本題只需要我們對(duì)數(shù)列的性質(zhì)和定義有一定的了解，根據(jù)題目中所給出的條件很輕易地就能夠解出答案：將n=5代入an=2an-1+1中可以得到a5=2a4+1以此類(lèi)推a4=2a3+1;a3=2a2+1;a2=2a1+1，將a1=1代入a2=2a1+1得到a2=3，同理可得a3=7;a4=15;a5=31.

如果題目考查的是性質(zhì)問(wèn)題，我們則可以根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行解答.

例2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=（n+1）1011n（n∈N+），試問(wèn)該數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

本題就可以利用數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行解答，首先我們用an+1-an=9-n11×1011n，可以得到出n=9是一個(gè)臨界值，進(jìn)而分析n>9，n=9，n<9三種情況，當(dāng)n<9時(shí)，an+1-an>0，即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí)，an+1-an=0，即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí)，an+1-an<0，即an+1<an;因此，可以得到以下內(nèi)容：a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…，所以，{an}的最大項(xiàng)是a9和a10.

二、利用通項(xiàng)公式方法解題

眾所周知，通項(xiàng)公式是數(shù)列題目當(dāng)中十分重要的概念，在做題中能夠起到很關(guān)鍵的作用，很多時(shí)候可以作為解題的突破口，利用通項(xiàng)公式的相關(guān)概念和性質(zhì)可以幫助我們快速整理思路，以下幾種方法在我們做題中常常可以用到.

（一）錯(cuò)位相減法

例3 設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3=b5=21，a5=b3=13.

（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式.

（2）求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.

解答本題時(shí)，主要需要我們利用等差數(shù)列，等比數(shù)列以及數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)和概念對(duì)題目進(jìn)行梳理，并解答第一問(wèn).第二問(wèn)我們可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行解答.

（二）并項(xiàng)法求和

在應(yīng)用并項(xiàng)法解答數(shù)列題時(shí)，關(guān)鍵是要找到數(shù)列中所包含的特殊項(xiàng)，通過(guò)對(duì)特殊項(xiàng)的合并，使特殊項(xiàng)被消除，降低解題難度，找到解題突破口，將其他項(xiàng)進(jìn)行相加則可以完成解題.

例4 已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=2，a2=7，a3=5，an+2=an+1-an，求S1999.

通過(guò)簡(jiǎn)單的代入，我們可以發(fā)現(xiàn)這道題既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但是通過(guò)并項(xiàng)，我們可以最終得到S1998=0，a1999=2，S1999=2.

（三）裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法將分解和組合的概念應(yīng)用到解題過(guò)程當(dāng)中，我們要有分解意識(shí)，當(dāng)我們遇上看上去十分難以搞定的數(shù)列時(shí)，可以嘗試著進(jìn)行分解，經(jīng)過(guò)一定的重新組合，則能夠得到更加簡(jiǎn)單的數(shù)列，從而使解答變得輕松，裂項(xiàng)相消法也常常和其他方法組合使用.

例5 求數(shù)列an=1n（n+1）的前n項(xiàng)和.

解 an=1n（n+1）=1n-1n+1（裂項(xiàng)），

則Sn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1（裂項(xiàng)求和）

=1-1n+1=nn+1.

三、結(jié) 語(yǔ)

在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可以應(yīng)用相對(duì)應(yīng)的技巧和方法，但是無(wú)論是什么題目首先要對(duì)數(shù)列的性質(zhì)和概念有所了解，要熟練使用數(shù)列的基本性質(zhì)，即便是利用其他方法也需要打好基礎(chǔ).數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)程中要不斷地提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，能夠盡快選擇合適的解題方法，確定解題思路.數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)要具有靈活性，減少對(duì)技巧和方法的生搬硬套，應(yīng)該不斷嘗試新的方法進(jìn)行解題，這也是一種鍛煉，更有助于思維的發(fā)散，更有啟發(fā)意義.