于聰慧

【摘要】函數(shù)的零點(diǎn)連接著函數(shù)、方程和圖像，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系，包含了數(shù)形結(jié)合的思想.在高考試卷中經(jīng)常看到函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生容易在此處失分.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)的零點(diǎn);題型解法;教學(xué)方法

高考中的零點(diǎn)壓軸題常以超越方程、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，達(dá)到考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、參數(shù)的范圍和通過(guò)函數(shù)性質(zhì)求解不等式問(wèn)題等目的.要注意函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、不等式解集三者之間的關(guān)系，進(jìn)行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類(lèi)題的關(guān)鍵，等價(jià)轉(zhuǎn)化是這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn).解決該類(lèi)問(wèn)題的途徑往往是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)做出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合研究分界位置，結(jié)合函數(shù)方程、不等式刻畫(huà)邊界位置，其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

定義：對(duì)于函數(shù)y=f（x），使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

高中階段對(duì)于零點(diǎn)考點(diǎn)要求是什么？

考點(diǎn)要求：了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.

類(lèi)型一周期函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

典例1設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=12x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a>1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.

答案（34，2）.

評(píng)注將給定區(qū)間的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為熟悉函數(shù)的圖像在給定區(qū)間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用周期性和偶函數(shù)正確作圖以及判斷端點(diǎn)函數(shù)值的大小是解題關(guān)鍵.求解零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為f（x）=0的根求解，若該方程不易解出，可考慮數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩熟悉函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題求解.

舉一反三已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，那么在區(qū)間（-1，3）內(nèi)，關(guān)于x的方程f（x）=kx+k（k∈R）有4個(gè)根，則k的取值范圍是.

答案0<k≤14.

“舉一反三”出自《論語(yǔ)·述而》.要在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上啟發(fā)引導(dǎo)，由點(diǎn)到面，發(fā)散思維.當(dāng)今社會(huì)講究高效，對(duì)于數(shù)學(xué)這樣一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，如何在教學(xué)中做到事半功倍，讓學(xué)生高效學(xué)習(xí)，離不開(kāi)“舉一反三”方法的應(yīng)用，重視典型例題的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，學(xué)會(huì)總結(jié)，觸類(lèi)旁通.

類(lèi)型二復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

典例2已知函數(shù)f（x）=x+1，x≤0，

x2-2x+1，x>0， 若關(guān)于x的方程f2（x）-af（x）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案（0，1）.

評(píng)注設(shè)t=f（x），則方程為t2-at=0，解得t=0或t=a，即f（x）=0或f（x）=a，如圖所示，作出函數(shù)f（x）的圖像，由函數(shù)圖像可知f（x）=0的解有兩個(gè)，故要使方程f2（x）-af（x）=0恰有5個(gè)不同的解，則方程f（x）=a的解必有三個(gè)，此時(shí)0<a<1，∴a的取值范圍是（0，1）.

在求解復(fù)合方程問(wèn)題時(shí)，往往把方程f[g（x）]=0分解為f（t）=0和g（x）=t處理，先從方程f（t）=0中求t，再代入方程g（x）=t中求x的值，最直觀地處理問(wèn)題，為學(xué)生尋找最優(yōu)解決辦法.

舉一反三若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是.

答案3.

類(lèi)型三分段函數(shù)（或含絕對(duì)值函數(shù)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

典例3已知函數(shù)f（x）=x2+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0 （a>0且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案13，23∪34.

評(píng)注畫(huà)出函數(shù)y=|f（x）|的圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知當(dāng)直線y=2-x與函數(shù)y=x2+3a的圖像相切時(shí)，由Δ=1-4（3a-2）=0可解得a=34，此時(shí)滿(mǎn)足題設(shè);由函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)可知0+3a≥loga（0+1）+1，即a≥13，所以當(dāng)2≥3a時(shí)，即13≤a≤23時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=2-x恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，也即方程|f（x）|=2-x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是13≤a≤23或a=34，故應(yīng)填答案13，23∪34.

在考試中對(duì)于分段函數(shù)與含絕對(duì)值函數(shù)典型特征為各段解析式不一致，不僅要考慮對(duì)應(yīng)性，而且需考慮自變量在結(jié)合點(diǎn)情況及值域包含關(guān)系.

舉一反三定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-2xx+1，x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞）， 則函數(shù)F（x）=f（x）-1π的所有零點(diǎn)之和為.

答案11-2π.

解析由圖知共有五個(gè)零點(diǎn)，從左到右交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，x5，滿(mǎn)足x1+x2=-6，x3=11+2π，x4+x5=6，因此所有零點(diǎn)之和為11-2π.