孫雨琴 朱哲

【摘 要】 ?數(shù)學史的融入方式直接影響著數(shù)學教學的質(zhì)量.文章以“順應——重構”疊加模式將數(shù)學史融入到數(shù)學教學中，以“導數(shù)的幾何意義”為例設計一則教學案例，再從“整理史料、問題驅(qū)動、重構再現(xiàn)、反思升華”四個模塊進行分析，從而得到一些啟示，以期為數(shù)學史融入數(shù)學教學起到些許借鑒作用.

【關鍵詞】 ?疊加模式;數(shù)學史;數(shù)學教學;導數(shù)的幾何意義;教學設計

以HPM視角融入到教材設計和課堂教學，日益受到一線教育工作者的關注.2016年在德國漢堡大學舉行的第十三屆國際數(shù)學教育大會中第25個研究專題強調(diào)，要認識數(shù)學史在數(shù)學課堂和教學中的作用 [1].

根據(jù)汪曉勤教授的劃分，數(shù)學史融入到數(shù)學教學的模式可分為以下四種：分別是附加式、復制式、順應式和重構式.其中重構式指借鑒或重構知識發(fā)生、發(fā)展的歷史，濃縮概念發(fā)展的過程，讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，其教學目的主要為加深對概念的縱向與橫向的理解.其更注重的是將數(shù)學史知識融入在認知方面的作用.而順應式主要指改編歷史上的數(shù)學問題、方法，提煉其背后的數(shù)學思想，其教學目的主要是在教學過程中滲透重要的數(shù)學思想.兩者雖各有所長，但彼此也都存在一些缺陷.比如，重構式難度較大，缺少直觀性，易使課堂枯燥;而順應式較淺顯，不易挖掘出知識的內(nèi)涵.現(xiàn)今，我國中學數(shù)學教材對于數(shù)學史的融入大都以單獨的方式，如若將它們結(jié)合起來，在“順應式”中融入“重構式”，顯然會使教學更優(yōu)化.因此，筆者將以“導數(shù)的幾何意義”教學設計及分析為例來探討“順應——重構”疊加模式的運用.

1 切線概念的發(fā)展歷史

通過數(shù)學史的簡單介紹，筆者了解到切線概念的形成過程，是經(jīng)歷了由靜態(tài)到動態(tài)的一個發(fā)展過程.古希臘數(shù)學家歐幾里得最早定義了圓的切線，接著阿波羅與阿基米德用歐幾里得的方法定義了圓錐曲線與螺線曲線，而那時在古代數(shù)學中，切線的定義還局限于靜態(tài)的定義——與曲線只有一個公共點且位于曲線一側(cè)（或“不穿過”曲線）的直線.

直到17世紀，數(shù)學家相繼發(fā)現(xiàn)和研究了一般曲線的不同構造法.其中，巴羅利用“特征三角形”的概念——實質(zhì)上把切線看作是割線的極限位置.而直到17世紀下葉，切線為割線之極限位置的思想才成為數(shù)學家的共識.德國數(shù)學家萊布尼茨將曲線的切線定義為“連接曲線上無限接近兩點的直線”，或“曲線的內(nèi)接無窮多邊形的一條連續(xù)邊” [2].法國數(shù)學家洛必達在其《無窮小分析》中亦將曲線的切線定義為曲線的內(nèi)接“無窮多邊形”一邊的延長線 [3].

可見，切線定義從靜態(tài)走向動態(tài)跨越了數(shù)千年的歲月，而了解切線的發(fā)展歷史，有利于教師把握學生的認知起點，也為教學設計打開了新的視野.

2 學生的認知起點

學生對切線的認知起點是圓的切線，因而教師首先可以從圓出發(fā)，讓學生回顧圓的切線的定義.圓的切線主要有3種定義方式，分別為：與圓只有一個公共點的直線;過圓上一點且垂直于該點與圓心連線的直線;到圓心的距離等于圓的半徑的直線.其次，讓學生反思，上述定義是否適用于圓錐曲線呢？顯然不適用，以拋物線為例，對稱軸與拋物線只有一個交點，但不是切線.學生很自然會對定義添加約束條件，得到“與曲線只有一個公共點且不穿過曲線的直線”.這就是古希臘數(shù)學家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？反之，直線與三角函數(shù)y=sinx的圖象有不止一個交點，它是曲線的切線嗎？所以，切線概念的教學必須讓學生認識到“是否只有一個公共點”也不是切線的判別標準，激發(fā)學生尋求新的切線定義，為形成“切線是割線的極限位置”這一切線的動態(tài)定義埋下伏筆.

導數(shù)教學是高中數(shù)學教學的重要構成內(nèi)容，而其中導數(shù)的幾何意義是刻畫函數(shù)單調(diào)性的重要工具，也是溝通初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁.但在實際的教學中，忽視了研究曲線的切線的數(shù)學背景，沒有對曲線的切線做明確定義，因此很多學生對通過割線來引入切線產(chǎn)生了困惑，以及導致學生容易將其和其他概念相混淆，從而缺乏嚴謹性.所以，筆者希望通過以下這個教學設計可以更深刻地讓學生理解切線的定義.

3 教學設計

通過對切線概念的歷史發(fā)展過程以及學生認知起點的分析，筆者將從五個環(huán)節(jié)對“導數(shù)的幾何意義”進行教學.

3.1 回顧舊知，引入新課

師：在物理課上，我們學過平面鏡光的反射，那么要是在凹凸鏡上，光是如何反射的呢？

若已知一小球做平拋運動，我們又如何確定它的速度方向呢？

我們很容易確定斜坡的坡度，但拱橋的坡度又如何確定呢？

師：用我們現(xiàn)有知識，以上幾個問題能解決嘛？

生：不能.

師：是的，但我們今天所學的內(nèi)容就可以解決以上問題.進入新課之前，我們先來回顧下初中學過的一個知識.

師：在初中，同學們接觸過圓的切線概念 ，那么“圓的切線”有哪幾種定義呢？

生1：與圓只有一個公共點的直線稱為圓的切線.

生2：與圓心的距離等于半徑長的直線稱為圓的切線.

生3：過圓半徑的外端，且垂直于半徑的直線稱為圓的切線.

師：對的，那圓的切線定義是否適用于圓錐曲 線呢？

生：不適用.

師：那什么定義能適用于圓錐曲線的切線？

生：與曲線只有一個公共點且不穿過曲線的 直線.

師：同學們剛剛所說的定義就是古希臘數(shù)學家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？例如，曲線y=x3的切線.

生：不適用.

師：結(jié)合以上問題，今天我們就一起來探索新的切線定義.

3.2 引導探究，獲得新知

師：在中國古代有一位著名的數(shù)學家劉徽，他用割圓術探求圓心到其多邊形一邊所在直線的距離.他這樣寫道：“以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪.若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪.割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.”

師：下面，我們用幾何畫板動畫模擬割圓術的變化過程.

師：通過這個動畫演示，同學們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：圓內(nèi)接多邊形逐漸與圓合并一起.

生2：圓的切線是圓內(nèi)接無窮多邊形一邊所在的直線.

師：很好，那同學們根據(jù)自己的觀察，能否概括出一般曲線的切線的定義嗎？

生：曲線上B點無限逼近A點，割線AB趨近于確定的位置AD，這個確定位置上的直線AD稱為點A處的切線，如圖1.

師：對的，也就是說，圓的切線是割線的極限位置.且這個結(jié)論適用于所有曲線.

3.3 分層解析，鞏固理解

師：由切線的定義，接下來我們重點探索切線與導數(shù)的關系.

（1）分層解析

題型1：已知過曲線上一點，求切線方程.

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法.

例1 如圖2，求曲線C：y=2x3在點（1，2）處的切線方程.

題型2：已知某曲線，求該曲線在某處的導數(shù).

例2 f（x）= 9-x2 ，求f′（2）.

（2）思考小結(jié)

切線的斜率與導數(shù)的符號表達的是同一對象的兩個不同側(cè)面，在解決問題過程中要注重它們之間的相互轉(zhuǎn)化.

3.4 思考探究，深化理解

例3 已知f（x）= 1 2? 9-x2 ，求f′（1）.思考：函數(shù)f（x）= 1 2? 9-x2 的圖像是什么曲線？

師：光照射在橢圓上點A處的反射效果與光照射在橢圓在點A處的切線上的反射效果相同，為什么？

師：若將橢圓放大一百倍（圖4），我們將會發(fā)現(xiàn)什么？

生：橢圓在點A附近的曲線段與橢圓在點A處的切線段重合.

師、生：光照射在曲線段上與切線段上的效果 一致.

師：這就是微積分中重要的以直代曲的數(shù)學 思想.

師：在劉徽的割圓術中同樣也包含著重要的微積分思想，同學們知道是什么思想嗎？

生：以直代曲思想.

師：對的，“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”這段話表達的就是以直代曲思想.

3.5 歸納總結(jié)，深化認識

（1）知識：

①切線的定義;

②函數(shù)f（x）在x=x 0處的導數(shù)f′（x 0）的幾何 意義.

（2）思想：體會極限、以直代曲等思想方法.

（3）應用：①“切點—斜率—切線”知一求二;②學生歸納出求切線的一般步驟.

4 疊加模式解析

數(shù)學史與數(shù)學教學的融入是個綜合的過程，首先需要對數(shù)學史料進行深入的挖掘以及提煉，其次將其融入教材，最后再由教師進行加工運用到教學中.教師運用和加工現(xiàn)有的史料和教材，可以發(fā)現(xiàn)一個普遍的教學設計步驟（圖5）.

下面筆者將基于本文的教學設計就如何挖掘史料，如何將數(shù)學史融入教材，從四個環(huán)節(jié)進行具體的解析，分別是：整理史料→問題驅(qū)動→重構再現(xiàn)→反思升華.

整理史料：在對某一個知識的講解希望加入數(shù)學史時，你不能僅僅滿足教材上提供的一些歷史資料，而需要大量搜索與該知識有關的歷史資料.因此，在材料的選取上需要做到以下幾點：（1）思考你需要設置什么樣的情境，哪些材料具有代表性適合放入情境中;（2）在相關歷史材料中，提煉出符合要求的歷史材料，從而為情境設置做準備;（3）厘清知識的發(fā)展過程，并整理出一條主“脈絡”，為重構做準備.

問題驅(qū)動：從問題出發(fā)，創(chuàng)設情境，從而呈現(xiàn)給學生刺激性數(shù)學歷史，引起學生學習數(shù)學的興趣，激起學生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚醒強烈的問題意識，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，解決數(shù)學問題.利用已整理好的史料，根據(jù)課程需要達到的效果，直接引用或適當改編史料，設置一個有歷史，有故事，有啟發(fā)的情境為重構做準備.故事情境是為了文化的顯性表現(xiàn)，重構則是為了文化的隱性再創(chuàng)造.

重構再現(xiàn)：根據(jù)情境中產(chǎn)生的問題，引導學生按照整理史料環(huán)節(jié)所制定知識的歷史“脈絡”（引導的方法可多樣化，可通過啟發(fā)、游戲、實踐等方式）重構對于這部分知識的發(fā)現(xiàn)過程.上述教學設計中，以通過對光的反射問題、速度方向問題以及曲線夾角問題的重構，激發(fā)學生的求知欲，再通過教師的巧妙引導，讓學生探究求解過程，實現(xiàn)重構.

反思升華：在學生經(jīng)過親身體驗、深刻領悟后，引導學生回顧該知識的產(chǎn)生過程、發(fā)明歷史，并讓學生自己總結(jié)在這一過程中發(fā)現(xiàn)了什么，怎么發(fā)現(xiàn)的，有什么啟發(fā).從而挖掘出其中的數(shù)學思想，體味數(shù)學的文化，鞏固新建構的認識.

5 反思總結(jié)

本節(jié)課主要通過順應——重構的疊加模式將數(shù)學史融入數(shù)學教學.整體上看，先回顧已有圓的切線概念，接著用幾何畫板演示劉徽的割圓術，以探索新的切線的定義;然后通過兩個例子來探索切線與導數(shù)的關系，利用幾何畫板探索以直代曲的數(shù)學思想;最后歸納總結(jié)整個過程，再現(xiàn)了導數(shù)幾何意義的歷史發(fā)展過程，屬于重構式.從局部看，重構歷史上的數(shù)學問題，提煉其背后的數(shù)學思想，使歷史上的數(shù)學問題符合學生現(xiàn)實生活的背景與認知能力，屬于順應式.歷史故事作為情境，可以讓學生再次回到歷史創(chuàng)造環(huán)境氛圍中去，仿佛身臨其境.而后為了解決情境中的問題，教師通過設疑，提示，引導學生重回歷史發(fā)展之路，探索重構導數(shù)的幾何意義.數(shù)學史中包含著豐富的教學素材和思想養(yǎng)料，包含著不同時代，各個數(shù)學家的探索精神和創(chuàng)新思維.如果全然拋棄這些歷史素材，數(shù)學課堂就變成了一個“模仿作坊”，學生學習到的只是單調(diào)的定理，公式，學到的只是一具數(shù)學的軀殼，沒有靈魂的數(shù)學.自然，學生無法體會到歷史中數(shù)學家的思維之妙，也不能感受多元文化.“重構——順應”疊加式融入數(shù)學史，這一模式，既有“重構”讓學生再創(chuàng)造式的探索發(fā)現(xiàn)知識，又有“順應”讓學生體會到數(shù)學的歷史、文化，體會到數(shù)學家們精妙的思想，感受數(shù)學的魅力.在這樣模式下，數(shù)學史能更真正有效地服務于教學，HPM也能越走越遠.

參考文獻

[1] 徐斌艷.2016年相聚在第十三屆國際數(shù)學教育大會[J].中學數(shù)學月刊，2016.

[2] Struik D J. A Source Book in Mathematics， 1200–1800[M]. Inceton： Princeton University Press， 1986.

[3] L Hospital G. Analyse des Infiniment Petits[M]. Aris： De LImprimerie Royale， 1696.

[4] 王芳.數(shù)學史融入導數(shù)教學的行動研究[D].華東師范大學，2012.