康小峰

【摘 要】 ?通過對(duì)高考試卷及典型試題的評(píng)析，旨在發(fā)揮高考試題潛在的應(yīng)用價(jià)值，為高效、有針對(duì)性地開展2019年高考復(fù)習(xí)和備考提供參考意見.

【關(guān)鍵詞】 ?高考數(shù)學(xué);江蘇卷評(píng)析;教學(xué)啟示;穩(wěn)定平和;創(chuàng)新;素養(yǎng)

2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷試題嚴(yán)格遵循教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）的理念，符合江蘇高考《考試說(shuō)明》的要求，延續(xù)了江蘇自主命題的基本風(fēng)格，堅(jiān)持以人為本的高考核心價(jià)值取向，突出反映了高考以學(xué)生發(fā)展為本、落實(shí)立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)的核心立場(chǎng).

試題背景公平，簡(jiǎn)潔、平穩(wěn)，填空題難度適中，解答題層次分明，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，做到了文理兼顧，緊扣教材，既重基礎(chǔ)又有區(qū)分度.科學(xué)有效地考查了學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能.與往年相比，今年特別注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維，為今后高考數(shù)學(xué)的改革，發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.

“穩(wěn)定中顯創(chuàng)新，平和中現(xiàn)素養(yǎng)”是今年江蘇卷試題的主要特點(diǎn).試題本著教材起點(diǎn)，高考落點(diǎn)的原則，給人以樸實(shí)無(wú)華又適度創(chuàng)新的感覺，對(duì)于一些難度較大的題目，考生若想順利求解，則需具備較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為今后的數(shù)學(xué)教學(xué)改革起到了風(fēng)向標(biāo)的作用.

下面以數(shù)學(xué)試題為例，從試題評(píng)析和教學(xué)啟示兩個(gè)方面闡述，與大家探討.

1 試題評(píng)析

1.1 穩(wěn)定為基，彰顯特色

自2008年以來(lái)，江蘇高考數(shù)學(xué)試卷采用“14道填空題+6道解答題”的題型結(jié)構(gòu)并延續(xù)至今.穩(wěn)定的題型結(jié)構(gòu)使考生答題時(shí)有平和的心態(tài)，從而有利于學(xué)生漸入狀態(tài)，穩(wěn)定發(fā)揮.

一直以來(lái)，江蘇卷中的填空題?？技?、復(fù)數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步、算法、函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓錐曲線、幾何體的體積、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量、基本不等式、向量和數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的基本做法沒有改變.解答題的命題規(guī)律性更強(qiáng)，呈現(xiàn)出了考題內(nèi)容相對(duì)穩(wěn)定、考題順序相對(duì)固定的“八股化”特點(diǎn).今年還是一樣，第15題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，第16題考查同角三角函數(shù)關(guān)系及三角函數(shù)的恒等變換，第17題考查實(shí)際應(yīng)用問題（應(yīng)用題），第18題考查平面解析幾何問題，第19題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，第20題考查等差、等比數(shù)列的基本概念及綜合應(yīng)用.

值得注意的是，近幾年，江蘇高考數(shù)學(xué)試題一直考查函數(shù)的零點(diǎn)，或直接考查零點(diǎn)概念，或通過數(shù)形結(jié)合等思想方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，以往每年只考一題，今年更是加大考查的力度，出現(xiàn)了兩道，分別是第11題和第19題.

1.2 試題平和，凸顯能力

縱觀2018年江蘇高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)大部分試題給人一種平和、樸實(shí)的感覺.即便是一些中檔題入題方法也較為常規(guī)，但這并不意味著僅憑模仿和記憶就能順利的求解，因?yàn)樵囶}在對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)，既突出重點(diǎn)，又凸顯能力.如第12、13、17題等，在設(shè)計(jì)上，看似熟悉，實(shí)則有別，要求學(xué)生具有一定的問題表征能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，這樣在具體求解時(shí)，才能從多種方法中，經(jīng)過認(rèn)真的思考分析，步入正確的路徑，避免無(wú)功而返.下面舉例 說(shuō)明.

例1 （第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若 AB · CD =0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為[CD#3].

分析 本題在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，綜合考查直線的方程、直線與直線的位置關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量的數(shù)量積等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解法1 ?設(shè)A（a，2a），a>0，則C（ a+5 2 ，a）.

由 （x-5）（x-a）+（y-2a）y=0，y=2x， 得 x=1，y=2， 或 x=a，y=2a， 從而D（1，2），

又 AB · CD =（5-a，-2a）·（ -a-3 2 ，2-a）=0，解得a=3或a=-1，由a>0知，a=3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

解法2 由題意知AB⊥CD，又C是線段AB的中點(diǎn)，從而∠BAD= 45°，設(shè)直線l、AB的傾斜角為θ、α，則tanθ=2，結(jié)合圖形可知α=θ+ π 4 ，由tanα=tan（θ+ π 4 ）計(jì)算得

tanα=-3，所以AB：y=-3（x-5），由 y=-3（x-5），y=2x， 解得x A=3.

該題是傳統(tǒng)的常見題，所考查的內(nèi)容是直線與圓中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法，同時(shí)，以此為背景的試題在近年的模考與高考試卷中均有出現(xiàn).此題既注重基礎(chǔ)，又突出能力，不同的審題視角決定不同的思維切入點(diǎn)，得到不同的解題思路，不同能力層次的學(xué)生解決這個(gè)問題的方法速度是有很大差異的，法一設(shè)點(diǎn)聯(lián)立方程組求解思維量小但運(yùn)算量大，稍有不慎則前功盡棄;法二結(jié)合平面幾何知識(shí)只要善于直觀想象便可求出直線AB的斜率，簡(jiǎn)約高效，但這一系列的工作，均需要較高的數(shù)學(xué)能力來(lái)支撐.因此，本題能起到很好的區(qū)分效果.

1.3 主干突出，經(jīng)典重現(xiàn)

多年來(lái)，江蘇高考數(shù)學(xué)試卷一直在高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)、經(jīng)典題目和經(jīng)典方法上不斷挖掘.今年也有多處體現(xiàn).全卷對(duì)三角函數(shù)（第7，16，17題）、立體幾何（第10，15題）、解析幾何（第8，12，18題）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（第9，11，13，19題）、數(shù)列（第14，20題）等主要內(nèi)容的考查占有相當(dāng)大的比重.同時(shí)，在考查知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也考查了重要的數(shù)學(xué)思想.如，數(shù)形結(jié)合思想滲透在第11，12，18，19題中;函數(shù)與方程思想滲透在第11，14，17，19，20題中;分類討論思想滲透在第9，11，14，20題中.

另外，試卷在突出主干知識(shí)的同時(shí)，也有意識(shí)地向經(jīng)典致敬.

如第10題：如圖1所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為[CD#3].

2003年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第7題：棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為[CD#3].

這兩題堪稱是同一題，考查了以正方體為載體的空間幾何體的體積，是一道經(jīng)典的求八面體體積的試題，是出題者有意為之，還是純屬巧合，我們不得而知，但至少向我們傳遞了這樣的信號(hào)：對(duì)于以往的高考試題，值得我們好好研究和體會(huì)，不能認(rèn)為考過的題不會(huì)再考了，沒有研究的價(jià)值.

再如第18題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)（ 3 ， 1 2 ），焦點(diǎn)F 1（- 3 ，0），F(xiàn) 2（ 3 ，0），圓O的直徑為F 1F 2.

（1） 求橢圓C及圓O的方程;

（2） 設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).若△OAB的面積為 2 6? 7 ，求直線l的方程.

本題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問題能力和運(yùn)算求解能力.第⑴問非常基礎(chǔ)，考查的是基本量運(yùn)算，大部分同學(xué)順利求解不成問題.對(duì)于第⑵問的兩小問，解題思路很清晰，但運(yùn)算很復(fù)雜，尤其是求直線l的方程，其實(shí)質(zhì)就是求其斜率k和縱截距m，如何求k和m？根據(jù)題設(shè)中的“直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P和△OAB的面積為 2 6? 7 ”，此時(shí)需要找到k和m的數(shù)量關(guān)系，再代入面積等式.對(duì)于k和m的關(guān)系可將直線與圓方程聯(lián)立或利用圓的幾何性質(zhì)求解，對(duì)于弦AB的長(zhǎng)可以運(yùn)用弦長(zhǎng)公式加以解決.這些都考查了解析幾何問題的經(jīng)典處理方法：聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理…….很多同學(xué)都知道怎么做，但就是算不下去，這固然與解析幾何試題自身參數(shù)多計(jì)算復(fù)雜有關(guān)，但筆者更認(rèn)為這是學(xué)生代數(shù)式處理能力的缺失，對(duì)于那些平時(shí)做解析幾何問題時(shí)只求思路不求結(jié)果、學(xué)習(xí)浮躁不夠踏實(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一場(chǎng)嚴(yán)峻的考驗(yàn).

1.4 難點(diǎn)集中，素養(yǎng)引領(lǐng)

全卷的難點(diǎn)主要集中在第14題、第19題和第20題.第14題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，需要考生掌握按照大小重新排列構(gòu)成新數(shù)列的方法，難點(diǎn)在于如何求出新數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和，對(duì)考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力的要求都較高.在考場(chǎng)有限的時(shí)間內(nèi)若此題采用一般方法求解則顯然難度較大，如果考生善于進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，做出合理的猜想，就有可能找到簡(jiǎn)潔、易于操作的列舉法，再結(jié)合一定的邏輯推理和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算便可迅速求解.但這一系列的工作，都需要較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)支撐.

與2017年第20題函數(shù)載體不一樣，第19題采用的是多項(xiàng)式函數(shù)與超越函數(shù)相結(jié)合的形式，函數(shù)的構(gòu)成更加豐滿和多元化，該題以導(dǎo)數(shù)為背景，立意新穎、設(shè)問簡(jiǎn)潔巧妙、研究味道足.雖然三問函數(shù)不同，但均圍繞“S”點(diǎn)條件展開，且梯度明顯，第⑴問入口淺，第⑵問讓學(xué)生跳一跳可以摘到桃子并且為第⑶問做好鋪墊，第⑶問其實(shí)是多變量的存在性恒成立問題，此類問題或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的包含問題或者方程有解問題，有效地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng). 第⑶問難度較大且具有較好地區(qū)分度，可以有效地甄別出學(xué)生的能力，充分體現(xiàn)了高考的選拔性.

第20題的數(shù)列題從難度上看是名副其實(shí)的壓軸題，第⑵問其本質(zhì)是以q為常量、n為自變量的不等式恒成立問題，但其解題方法是常規(guī)的，不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，函數(shù)的最值問題可以用函數(shù)的單調(diào)性加以解決，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，可以用數(shù)列相鄰項(xiàng)的大小來(lái)判斷或通過構(gòu)造函數(shù)來(lái)判斷.特別是在分參后，對(duì)兩個(gè)不同函數(shù)單調(diào)性判斷方法的選擇上要求很高，這要求考生須具備較高的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，較好地考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心 素養(yǎng).

2 教學(xué)啟示

2.1 重視基礎(chǔ)，回歸基本概念

今年江蘇高考數(shù)學(xué)卷有意識(shí)地加強(qiáng)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查，不偏不倚，方方正正.這給我們高考復(fù)習(xí)提供了一個(gè)信息：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解.概念是數(shù)學(xué)的基石，只有準(zhǔn)確理解概念才能掌握基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能、領(lǐng)會(huì)思想方法.比如考后有學(xué)生問我第15題中的平行六面體是什么，一個(gè)概念問題導(dǎo)致題意表征出錯(cuò)，實(shí)在可惜.正如章建躍博士所言：“解題錯(cuò)誤主要源于概念把握不準(zhǔn).”很多學(xué)生所謂的粗心錯(cuò)誤其實(shí)就是概念理解不到位所造成的.另外，通過今年試卷的第7、8兩題還可以發(fā)現(xiàn)，掌握概念的衍生結(jié)論也就是我們常說(shuō)的二級(jí)結(jié)論不僅可以節(jié)省時(shí)間還可以提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度.因此我們認(rèn)為，只有教師真正理解了數(shù)學(xué)的概念，才能更好地指導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)，回歸到對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí).

2.2 重視過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）明確指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)提倡學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式;評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.這要求我們一線教師高三復(fù)習(xí)時(shí)不能只顧自己在課堂上唱獨(dú)角戲：思維上牽引限制，講解上示范包辦，要將課堂還給學(xué)生，讓他們動(dòng)手、思考、交流，通過刺激各種感官，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中了解知識(shí)的形成和發(fā)展過程，在解題過程中培養(yǎng)自己的思維監(jiān)控能力，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).否則，帶來(lái)的后果就是學(xué)生只會(huì)做“見過的”題，或者對(duì)于諸如解析問題解題思路是清楚的，目標(biāo)是明確的，卻往往陷于“復(fù)雜”的運(yùn)算當(dāng)中不能自拔.今年的第18題就是一個(gè)很好的例證，考后一些學(xué)生告訴我他連第⑵問的第①小題都沒拿下來(lái)，可見其平時(shí)的解析幾何題有多少是能獨(dú)立算到底的.因此，課堂中我們要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生在解決問題的過程中，獨(dú)立地審題、獨(dú)立地做題，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)問題時(shí)，不要急于拋出答案，而要適時(shí)引導(dǎo)和點(diǎn)撥，然后讓學(xué)生充分的交流和深刻的感悟.只有這樣才能將平時(shí)積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為解題時(shí)的自覺行為.

2.3 重視創(chuàng)新，提升核心素養(yǎng)

在國(guó)家倡導(dǎo)“大眾創(chuàng)新、萬(wàn)眾創(chuàng)新”的背景下，“創(chuàng)新”已成為教育界關(guān)注的熱點(diǎn). 作為高考科目的數(shù)學(xué)理應(yīng)承擔(dān)起這樣的責(zé)任，所以，數(shù)學(xué)試題會(huì)有一定難度并保持合理的區(qū)分度，江蘇高考也是如此，如今年數(shù)學(xué)試卷的第14題、19題和20題.所以，我們教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中要為學(xué)生多創(chuàng)設(shè)自主探究與發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，通過有意義有價(jià)值的開放型問題的引導(dǎo)，激發(fā)他們的潛能，鼓勵(lì)他們提出更多、更好的想法，對(duì)合理之處予以表?yè)P(yáng)，不妥之處及時(shí)提出意見與建議，讓其真正經(jīng)歷思維的探究過程.例如，在例題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)出不同的解法之后，教師便可追問學(xué)生：還有別的想法嗎？你覺得這幾個(gè)方法的異同點(diǎn)是什么？還能進(jìn)一步優(yōu)化嗎？下次遇到此類問題你準(zhǔn)備從何處入手？通過一系列問題，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的好習(xí)慣，優(yōu)化他們的創(chuàng)新心理.總之，學(xué)生的創(chuàng)新精神不是一朝一夕能夠養(yǎng)成的，它是在潛移默化中形成的，也許這些需要時(shí)間，或以犧牲課堂時(shí)間為代價(jià).但我們相信，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)散性思維，發(fā)展其無(wú)限的潛力，并最終達(dá)到提升其核心素養(yǎng)的目的.