黃璐

[摘? 要] 高考真題對學生的學習備考有借鑒作用，透徹分析數(shù)學真題可以有效拓展解題思路，其中函數(shù)是高考的必考題型，解題時合理地選用思想方法可以起到事半功倍的效果，其中分類討論是解決函數(shù)問題較為常用的方法，可有效降低解題難度，同時多種思想方法也可以結(jié)合使用，本文將結(jié)合高考真題詳細講解分類討論在函數(shù)問題中的使用過程.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);分類討論;數(shù)形;真題

函數(shù)是高考考查的重點知識，主要考查學生的綜合能力，其中思想方法的選取是考查的重點，思想方法選取不當，會造成思維混亂，解題受阻，分析歷年考題，合理選取思想方法是解答函數(shù)問題的關(guān)鍵.

真題呈現(xiàn)

（2017年全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e-2<f（x0）<2-2.

該題目為高考常見的函數(shù)問題，在求解過程中通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)來分析函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的零點作為分類討論的切入點，從而達到了快速準確求解的效果. 分類討論是研究函數(shù)問題最為有效的思想方法，合理地選取分類標準是解決問題的關(guān)鍵.

考題銜接，深入探究

函數(shù)問題對學生的邏輯推理要求較高，解法也相對靈活，如不能合理地選擇切入點則很容易造成錯解、漏解，因此合理選取思想方法則顯得尤為重要，上述考題中采用分類討論思想很好地將問題簡化，在歷年考題中也有使用分類討論思想解函數(shù)不等式的問題.

（2016年天津卷）已知函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3;

解決上述問題的核心是定位a值的分界點，然后以此為依據(jù)進行分類討論，最終通過比較端點函數(shù)值與極值的大小來解決問題，該思想方法簡化了思路，實現(xiàn)分析的全面性、條理性，對于鍛煉學生思維的嚴謹性具有極大幫助.

拓展研究，方法綜合

分類討論思想也可以與數(shù)形結(jié)合思想相配合來研究函數(shù)問題，合理利用圖像可以確定討論標準，找準討論方向，為下一步的分類討論打下基礎(chǔ).

（1）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線;（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點的個數(shù).

解析：（1）略.

（2）繪制函數(shù)g（x）的圖像，如圖1，可知x>1時，g（x）<0;當x=1時，g（x）=0;當0<x<1時，g（x）>0，結(jié)合h（x）的定義，可分以下三種情況討論：

當x>1時，h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，h（x）在（1，+∞）內(nèi)無零點;

本題目難度較大，求解過程中充分利用了函數(shù)圖像的特點，結(jié)合零點的幾何意義進行分類討論，從而降低了解題的難度，正是對圖像的分析為分類討論找到了切入點，是典型的數(shù)形結(jié)合與分類討論配合使用的解法，該思路對于學生的解題有著啟示作用.

總之，解決數(shù)學問題首先需要扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能，同時有效利用思想方法則可以輔助解題，分類討論是求解函數(shù)問題行之有效的思想方法，合理利用則可以使思路清晰，過程流暢，保證求解的嚴謹性.另外思想方法并不是單一使用的過程，將數(shù)形結(jié)合與分類討論配合使用，則可以使抽象問題具體化，準確定位分類標準，快速找到討論的切入點，實現(xiàn)解題的高效性.