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(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院， 江西 南昌 330034)

含參廣義向量擬均衡問題強(qiáng)有效解映射下半連續(xù)性最優(yōu)條件

孟旭東,郭林,張傳美

(南昌航空大學(xué)科技學(xué)院，江西南昌330034)

為了在賦范向量空間中研究含參廣義向量擬均衡問題弱有效解與強(qiáng)有效解映射的下半連續(xù)性，在近似錐-次類凸的條件下，運(yùn)用標(biāo)量化的方法得到弱有效解的標(biāo)量化結(jié)果，并給出弱有效解與強(qiáng)有效解映射下半連續(xù)的最優(yōu)條件。結(jié)果表明，2種有效解映射下半連續(xù)的最優(yōu)條件具有統(tǒng)一性。

弱有效解；強(qiáng)有效解；解映射；下半連續(xù)性；含參廣義向量擬均衡問題

向量均衡問題是一類重要的數(shù)學(xué)模型，更是運(yùn)籌學(xué)研究的熱點(diǎn)問題，主要包含向量優(yōu)化、向量變分不等式、向量Nash平衡以及向量補(bǔ)問題。目前，諸多學(xué)者已經(jīng)研究了各種類型向量均衡問題解的存在性[1-3]。同時，解的穩(wěn)定性分析也是向量均衡理論研究的重要方向，特別是解映射的下半連續(xù)性[4-13]，受到廣大科研工作者的關(guān)注。文獻(xiàn)[4-11]中運(yùn)用標(biāo)量化的技巧，研究了向量均衡問題各種有效解或近似有效解映射的下半連續(xù)性。Peng等[12]運(yùn)用標(biāo)量化方法，在新假設(shè)條件下，給出含參廣義向量均衡問題弱有效解映射與強(qiáng)有效解映射的下半連續(xù)性。Li等[13]在實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中借助標(biāo)量化技巧，證明了含參廣義強(qiáng)向量均衡問題有效解映射的下半連續(xù)性。

受文獻(xiàn)[12]、[13]中思想的啟發(fā)，本文中在賦范向量空間中，引進(jìn)一類含參廣義向量擬均衡問題，給出弱有效解與強(qiáng)有效解的概念；在近似錐-次類凸的條件下，得到弱有效解的標(biāo)量化結(jié)果；在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，得到含參廣義向量擬均衡問題強(qiáng)有效解映射的下半連續(xù)性。

1 預(yù)備知識

本文中設(shè)X、Y、Z、W為賦范向量空間，Y*為Y的拓?fù)鋵ε伎臻g，C為Y中的閉凸點(diǎn)錐且intC≠○/，其中intC表示C的拓?fù)鋬?nèi)部。記C的共軛錐為C*，即

C*={f∈Y*∶f(y)≥0,?y∈C}。

記C*的擬內(nèi)部為C#，即

C#={f∈Y*∶f(y)>0, ?y∈C{0}}。

設(shè)D是Y的非空子集，D的閉包記為cl(D)，且D的錐包定義如下：

cone(D)={td∶t≥0,d∈D}。

凸錐C的一個非空凸子集B稱為C的一個基，如果C=cone(B)且0?cl(B)。顯然，C#≠○/當(dāng)且僅當(dāng)C有一個基。

設(shè)A?X為非空子集，F(xiàn)∶A×A→2Y{○/}為給定集值映射，考慮以下廣義向量均衡問題(GVEP)，找出x∈A，使得

F(x,y)∩(-C{0})=○/,?y∈A。

(1)

GVEP的全體有效解集記為V。

設(shè)Λ?Z,Ω?W為非空指標(biāo)集，考慮以下含參廣義向量擬均衡問題(PGVQEP)。對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，找出x∈A(x,λ)，使得

F(x,y,μ)∩(-C{0})=○/,?y∈A(x,λ)，

(2)

對每個(λ,μ)∈Λ×Ω， 將PGVQEP的全體強(qiáng)有效解集記為V(λ,μ)，即

V(λ,μ)={x∈T(λ)∶F(x,y,μ)∩

(-C{0})=○/,?y∈T(λ)}，

則V∶Λ×Ω→2X{○/}集值映射為式(2)的強(qiáng)有效解映射。

考慮以下廣義弱向量擬均衡問題(GWVQEP)，找出x∈A，使得

F(x,y)∩(-intC)=○/,?y∈A。

(3)

GWVQEP的全體有效解集記為Vw。

對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，考慮以下含參廣義弱向量擬均衡問題(PGWVQEP)，找出x∈T(λ)，使得

F(x,y,μ)∩(-intC)=○/,?y∈T(λ)。

(4)

PGWVQEP的全體有效解集記為Vw(λ,μ)，即

Vw(λ,μ)={x∈T(λ)∶F(x,y,μ)∩(-intC)=○/,?y∈T(λ)}。

對每個f∈C*{0}，記Vf為GVEP的f-有效解，即

對每個f∈C*{0}及每個(λ,μ)∈Λ×Ω，記Vf(λ,μ)為PGVQEP的f-有效解，即

注PGVQEP有以下2種特殊情況：

1)如果W=Z，Λ=Ω，λ=μ，則PGVQEP為文獻(xiàn)[12]中所討論的廣義強(qiáng)向量均衡問題，即，對每個μ∈Λ，找出x∈A(μ)，使得

F(x,y,μ)∩(-C{0})=○/,?y∈A(μ)，

2)如果W=Z=Λ=Ω，λ=μ，則PGVQEP為文獻(xiàn)[3]中所討論的廣義強(qiáng)向量均衡問題，即，對每個μ∈Λ，找出x∈A(μ)，使得

F(x,y,μ)?-C{0}，?y∈A(μ)，

其中A∶Λ→2X{○/}為集值映射，F(xiàn)∶X×X×Λ→Y為給定向量值映射。

假設(shè)對每個f∈C*{0}及(λ,μ)∈Λ×Ω，Vf(λ,μ)≠○/，研究強(qiáng)有效解映射的下半連續(xù)性。

定義1[5]稱x∈A為GVEP的正真有效解，如果存在f∈C#，使得

設(shè)G∶Λ→2X為給定的集值映射，給定λ0∈Λ。

定義2[14]1)稱G在點(diǎn)λ0∈Λ處是下半連續(xù)的，如果對任何開集V?X,滿足G(λ0)∩V≠○/，存在λ0的鄰域U(λ0)，使得G(λ)∩V≠○/，?λ∈U(λ0)。

2)稱G在點(diǎn)λ0∈Λ處是上半連續(xù)的，如果對任何開集V?X，滿足G(λ0)?V，存在λ0的鄰域U(λ0)， 使得G(λ)?V，?λ∈U(λ0)。

3)稱G在點(diǎn)λ0∈Λ處是閉的，如果對于每個(λn,xn)∈graph(G)={(λ,x)∶λ∈Λ，x∈G(λ)}(n∈)，滿足(λn,xn)→(λ0,x0)，則有(λ0,x0)∈graph(G)。

4)稱G在Λ上為下半連續(xù)(上半連續(xù))的，如果G在Λ上的每一點(diǎn)處都是下半連續(xù)(上半連續(xù))的；稱G在Λ上為連續(xù)的，如果G在Λ上既上半連續(xù)又下半連續(xù)。

定義3[15]設(shè)X，Y為實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，A?X為非空子集，G∶X→2Y為集值映射。G在A上稱為近似C-次類凸的，如果clcone[G(A)+C]為Y中的凸集。

引理1[14]1)G在點(diǎn)λ0∈Λ處下半連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任何序列{λn}?Λ，λn→λ0，以及任何x0∈G(λ0), 存在xn∈G(λn)，使得xn→x0。

2)如果G為緊值的，即對每個λ∈Λ，G(λ)為緊集，則G在點(diǎn)λ0∈Λ處上半連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任何序列{λn}?Λ，λn→λ0，以及任何xn∈G(λn)，存在x0∈G(λ0)及子列{xnk}?{xn}(k∈)，使得xnk→x0。

在論證PGVQEP的強(qiáng)有效解映射的下半連續(xù)性時，引理2具有重要作用。

2 下半連續(xù)性

引理3 設(shè)intC≠○/，對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，及每個x∈T(λ),F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸， 則

記B(y0,δ)為Y中以y0∈Y為中心，以δ>0為半徑的開球。為了討論P(yáng)GVQEP強(qiáng)有效解映射在Λ×Ω上的下半連續(xù)性，首先證明Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性。

引理4 設(shè)f∈C*{0}，假設(shè)以下條件成立：

1)T(·)在Λ上連續(xù)且具非空緊值；

2)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續(xù)且具有非空緊值；

則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

證明：假設(shè)存在(λ0,μ0)∈Λ×Ω，使Vf(·,·)在(λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的。于是存在序列{(λn,μn)}?Λ×Ω，(λn,μn)→(λ0,μ0)且x0∈Vf(λ0,μ0)，因此對任意xn∈Vf(λn,μn)有xn→/x0。

(5)

根據(jù)yn∈Vf(λn,μn)及T(·)在λ0處上半連續(xù)且具有緊值，由引理1的2)可知，存在y0∈T(λ0)以及子列{ynk}?{yn}，使得ynk→y0。特別地，由式(5)得，

(6)

f(zynk)≥0且f(zx0)≥0。

(7)

在式(7)中，令nk→+∞注意到f的連續(xù)性，有

f(zy0)≥0。

(8)

根據(jù)式(7)、(8)及f的線性性質(zhì)，得

f(zx0+zy0)=f(zx0)+f(zy0)≥0。

(9)

再由式(6)可知，

(10)

在式(10)中，令nk→+∞注意到C的閉性，有

(11)

假設(shè)y0≠x0， 由式(11)可知，zx0+zy0∈-intC， 再根據(jù)f∈C*{0}， 得f(zx0+zy0)<0， 這與式(9)矛盾。 由此可知，y0=x0， 這與已知條件矛盾， 則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

定理1 設(shè)f∈C*{0}，假設(shè)以下條件成立：

1)T(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

2)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續(xù)且具有非空緊值；

3)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，x∈T(λ)Vf(λ,μ)， 存在y∈Vf(λ,μ)， 使得

4)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，及每個x∈T(λ)，F(xiàn)(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸；則Vw(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

證明：對每個(λ,μ)∈Λ×Ω以及每個x∈T(λ)，由F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸。由引理3可知，

由引理4可知，對每個f∈C*{0}，Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。再由引理2可知，Vw(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]、[17]中的思想，在適當(dāng)?shù)臈l件下，GVEP的正真有效解集在GVEP的有效解集中稠密。定義集值映射H∶C*→2A為

引理5 假設(shè)以下條件滿足：

1)A為X的非空緊子集；

2)F(·,·)在A×A上下半連續(xù)并且具有非空緊值；

3)D=F(A,A)為Y的有界緊子集；

4)對每個f∈C*{0}，x∈AVf，存在y∈Vf，使得

則H(·)在C*上下半連續(xù)，其中C*為C在Y中關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)的共軛錐。

證明：假設(shè)存在f0∈C*，使得H在f0處不是下半連續(xù)的，則存在序列{fn}?C*{0}，fn→f0，x0∈H(f0)， 其中fn→f0指fn關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)收斂于f0，使得對任何x0∈H(fn)，xn→/x0。

(12)

根據(jù)yn∈H(fn)=Vfn，有yn∈A。由A為緊集可知，存在yn∈A及子列{ynk}?{yn}滿足ynk→y0，使得

(13)

fnk(zynk)≥0。

(14)

由f的連續(xù)性可知，

(15)

由3)可知，D=F(A,A)為Y的有界子集，定義

易知，PD為Y*中的半范。 對任何ε>0，U={y*∶PD(y*)<0}為Y中關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)的零元鄰域。由fn→f0可知，存在N0∈N+，使得fn-f0∈U，?n≥N0。于是，

對每個x∈A，y∈A，及z∈F(x,y)，有

|(fn-f0)(z)|=|fn(z)-f0(z)|<ε，?n≥N0。

|(fnk-f0)zynk|=|fnk(zynk)-f0(zynk)|<ε，?nk≥N0。

由此可知，

(16)

由式(14)可知，fnk(zynk)-f0(zynk)≥-f0(zynk)，因此

再結(jié)合式(15)與(16)可知，

f(zy0)≥0。

(17)

另一方面，根據(jù)x0∈Vf0及zx0∈F(x0,y0)，有

f(zx0)≥0。

(18)

再根據(jù)f的線性性質(zhì)，得

f(zx0+zy0)=f(zx0)+f(zy0)≥0。

(19)

(20)

在式(20)中，令nk→+∞，并且注意到C的閉性，有

(21)

設(shè)zx0≠zy0，由式(21)得，zx0-zy0∈-intC，又f∈C*{0}，于是

f(zx0+zy0)<0。

(22)

這與式(19)矛盾，因zx0=zy0，這又與已知矛盾，由此可知，H(·)在C*上下半連續(xù)。

引理6 設(shè)C*≠○/且intC≠○/，假設(shè)以下條件成立：

1)A為X的非空緊凸子集；

2)D=F(A,A)為Y的有界緊子集；

3)F(·,·)在A×A上下半連續(xù)并且具有非空緊值；

4)每個x∈A，F(xiàn)(x，·)在A上近似C-次類凸；

5)對每個f∈C*{0}，x∈AVf， 存在y∈Vf，使得

證明：對每個f∈C#由記號Vf,V,Vw的意義可知

(23)

對每個x∈A，F(xiàn)(x,·)在A上近似C-次類凸，由引理3可知，

(24)

由式(23)、(24)可知，

(25)

fk=f0+g/k,

則fk∈C#，且fk關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)收斂于f0。

對關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)的任何零元鄰域U， 存在有界集Bj?Y(j=1, 2, …,l，l∈+)及ε>0，使得

由Bj有界且g∈Y*可知，|g(Bj)|有界，則存在N0，使得

(26)

由式(25)、(26)可知，

定理2 設(shè)C#≠○/且intC≠○/。假設(shè)以下條件滿足

1)T(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

2)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，F(xiàn)[T(λ),T(λ),{μ}]為Y的有界緊子集；

3)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，每個x∈T(λ),F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸；

4)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續(xù)且具有非空緊值；

5)對每個f∈C*{0}， 以及每個x∈T(λ)Vf(λ,μ)，存在y∈Vf(λ,μ)，使得

則V(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

證明：由引理6，有

(27)

設(shè)對任何(λ0,μ0)∈Λ×Ω，則V(·,·)必在(λ0,μ0)處下半連續(xù)。

于是，存在f0∈C#使得

Vf0(λ0,μ0)∩ [x+U(0x)]≠○/。

由引理4可知，Vf0(·,·)在(λ0,μ0)處下半連續(xù)。對以上U(0x)，存在(λ0,μ0)的鄰域U(λ0)×U(μ0)，使得

Vf0(λ,μ)∩[x+U(0x)]≠○/,

?(λ,μ)∈U(λ0)×U(μ0)。

(28)

根據(jù)Vf0(λ,μ)?V(λ,μ)，結(jié)合式(28)，有

V(λ,μ)∩[x+U(0x)]≠○/,

?(λ,μ)∈U(λ0)×U(μ0)。

即V(·,·)在(λ0,μ0)處下半連續(xù)。再由(λ0,μ0)的任意性可知，V(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù)。

3 結(jié)論

1)在賦范向量空間中，引進(jìn)一類含參廣義弱向量擬均衡問題和含參廣義向量擬均衡問題，給出含參廣義弱向量擬均衡問題的弱有效解與含參廣義向量擬均衡問題的f-有效解及強(qiáng)有效解的概念。

2)在錐-次類凸的條件下，運(yùn)用標(biāo)量化技巧，得到含參廣義弱向量擬均衡問題弱有效解的標(biāo)量化結(jié)果在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，給出含參廣義向量擬均衡問題強(qiáng)有效解映射下半連續(xù)的充分性條件。

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OptimalConditionsforLowerSemicontionuityofStrongEfficientSolutionMappingtoParametricGeneralizedVectorQuasi-equilibriumProblems

MENGXudong,GUOLin,ZHANGChuanmei

(Science and Technology College, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330034, China)

To study the lower semicontionuity of weak efficient solution and strong efficient solution mappings to parametric generalized vector quasi-equilibrium problems in normed vector spaces, under the condition of nearly cone-subconvexlike, characterization of weak efficient solution was gained by using the scalar method. The optimal conditions for the lower semicontionuity of weak efficient solution and strong efficient solution mappings were given. The results show that the optimal conditions for lower semicontionuity of the two solution mappings is unified.

weak efficient solution; strong efficient solution; solution mapping; lower semicontionuity; parametric genera-lized vector quasi-equilibrium problems

2016-06-02 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2017-12-13 16:48

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11061023，11201216); 江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(GJJ161597)

孟旭東(1982—)，男，江西南昌人。講師，碩士，研究方向?yàn)橄蛄績?yōu)化理論。電話：13732936695，E-mail：mxudongm@163.com。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/37.1378.N.20171212.1637.016.html

1671-3559(2018)01-0053-07

10.13349/j.cnki.jdxbn.2018.01.008

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(責(zé)任編輯:王耘)