馬 克，米 林，譚 偉，王蘇磊

(重慶理工大學(xué) 車輛工程學(xué)院， 重慶 400054)

主動(dòng)懸架非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)

馬 克，米 林，譚 偉，王蘇磊

(重慶理工大學(xué) 車輛工程學(xué)院， 重慶 400054)

考慮車輛建模不確定性和執(zhí)行器參數(shù)不確定性，基于2自由度1/4車輛模型設(shè)計(jì)主動(dòng)懸架的非脆弱H∞控制器，使懸架加速度、懸架動(dòng)擾度、輪胎形變量得到優(yōu)化。非脆弱H∞控制器通過LMI(linear matrix inequality，線性矩陣不等式)算法求解，并在Matlab7.0/Simulink環(huán)境下搭建仿真模型進(jìn)行仿真分析。研究結(jié)果表明：該控制器能有效改善車輛的乘坐舒適性，較好地解決平順性與操縱穩(wěn)定性之間的矛盾。

主動(dòng)懸架；非脆弱H∞控制器；線性矩陣不等式

汽車懸架會(huì)對汽車整體的舒適性和安全性產(chǎn)生較大影響。傳統(tǒng)的被動(dòng)懸架性能只能在一定頻率范圍內(nèi)起作用，而主動(dòng)懸架能隨環(huán)境的變化主動(dòng)調(diào)整控制力的大小，使懸架始終處于最佳的減震狀態(tài)，體現(xiàn)出極大的優(yōu)越性。由于車輛行駛環(huán)境的不確定性，主動(dòng)懸架的魯棒控制策略受到越來越多的關(guān)注[1-2]。文獻(xiàn)[3]采用2自由度1/4模型，基于線性矩陣不等式的方法，提出了一種考慮參數(shù)不確定性的魯棒H2/H∞控制器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]采用7自由度整車模型，設(shè)計(jì)了基于LMI(線性矩陣不等式)算法的主動(dòng)懸架H2/H∞多目標(biāo)輸出反饋控制器，實(shí)現(xiàn)了較好的平順性和操縱穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5]考慮懸架系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)與高階未建模不確定性，基于LFT(線性分式變換)設(shè)計(jì)出μ綜合控制器，仿真結(jié)果表明乘坐舒適性有很大提升。

傳統(tǒng)的魯棒控制往往只考慮了參數(shù)攝動(dòng)和高階未建模不確定性，在實(shí)際系統(tǒng)中，微處理器內(nèi)存和字長的限制以及A/D、D/A轉(zhuǎn)換誤差等原因都可能引起控制無法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)，造成控制器出現(xiàn)攝動(dòng)[6]。文獻(xiàn)[7-8]指出：現(xiàn)有的魯棒控制設(shè)計(jì)方法對控制器參數(shù)的微小攝動(dòng)具有高敏感性，因此需要同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)和控制器的不確定性，構(gòu)造出一種非脆弱的控制器，使主動(dòng)懸架更穩(wěn)定地運(yùn)行。文獻(xiàn)[9]基于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不確定性，為主動(dòng)懸架設(shè)計(jì)出一種非脆弱H∞控制器。文獻(xiàn)[10]為解決主動(dòng)懸架執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入延遲問題，設(shè)計(jì)了一種非脆弱H∞/L2-L∞靜態(tài)輸出反饋控制器。文獻(xiàn)[11]采用具有2個(gè)作動(dòng)器的1/4模型，并在動(dòng)力學(xué)建模過程中將人體確定振動(dòng)考慮在內(nèi)，應(yīng)用非脆弱H∞控制策略獲得較好的乘坐舒適性。

1 主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)模型

主動(dòng)懸架2自由度1/4車體懸架模型如圖1所示。其中：剛性彈簧與阻尼器為懸架被動(dòng)部分，作動(dòng)器為懸架的主動(dòng)部分，一般由液壓伺服機(jī)構(gòu)提供主動(dòng)力u；ms為車身質(zhì)量(簧載質(zhì)量)；mu為車輪質(zhì)量(非簧載質(zhì)量)；ks為懸架彈簧剛度；cs為阻尼器阻尼系數(shù)；ku為輪胎剛度；xs、xu、xo分別表示車身垂直位移、輪胎垂直位移以及路面垂直位移。1/4車模型的理想動(dòng)態(tài)微分方程為：

圖1 1/4車體懸架模型

現(xiàn)將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換成空間矩陣形式：

z(t)=C2x(t)+Du(t)

2 非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)

2.1 不確定系統(tǒng)的描述

過去30年間，H∞控制理論的應(yīng)用取得了令人矚目的成果，存在有界參數(shù)不確定性時(shí)能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，即具有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]提出：控制器在作動(dòng)的過程中，H∞魯棒控制器參數(shù)也會(huì)有一定的變化，導(dǎo)致控制器本身出現(xiàn)增益擾動(dòng)，這種擾動(dòng)很容易導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性被破壞及性能的下降。對參數(shù)的微小改變具有高敏感性的控制器稱為脆弱控制器。為使控制器具有非脆性，不僅僅要考慮系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，還需考慮控制器的參數(shù)攝動(dòng)?？紤]如下形式的不確定系統(tǒng)：

(1)

其中：x(t)∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)；y(t)∈Rp表示系統(tǒng)的測量輸出；z(t)∈Rq表示系統(tǒng)的控制輸出；w(t)表示外界干擾；A、B1、B2、By、C1、C2、D表示維數(shù)適當(dāng)?shù)囊阎獙?shí)常數(shù)矩陣；ΔA是未知實(shí)矩陣，反映系統(tǒng)的參數(shù)不確定性。將未知實(shí)矩陣的已知成分分離出來[12-14]，可得到如下形式：

ΔA(t)=M1F1(t)N1

(2)

式(2)中：M1和N1是維數(shù)適當(dāng)?shù)囊阎仃?；F1(t)是未知矩陣，且滿足

F1(t)TF1(t)≤I, ?t

本文旨在設(shè)計(jì)一種狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器，具體表達(dá)式如下：

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(3)

式中ΔK表示控制器的增益攝動(dòng)。常用的ΔK構(gòu)造方式有2種：加法攝動(dòng)和乘法攝動(dòng)，具體表達(dá)形式如下：

1) 加法攝動(dòng)

ΔK=MF(t)N,F(t)TF(t)≤I

2) 乘法攝動(dòng)

ΔK=MF(t)NK,F(t)TF(t)≤I

式中：M和N表示維數(shù)適當(dāng)?shù)囊阎仃嚕籉(t)表示未知矩陣。本文選擇加法攝動(dòng)方式構(gòu)造控制器增益攝動(dòng)，即：

ΔK=M2F2(t)N2,F2(t)TF2(t)≤I

(4)

2.2 狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)

為推導(dǎo)出狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器的矩陣不等式，在這里介紹2條引理。

引理1 如果給定的Y、M和N是維數(shù)適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)矩陣，且滿足：

Y+MF(t)N+NTF(t)TMT<0

對F(t)滿足F(t)TF(t)≤I，那么對任意ε>0，有

Y+εMMT+ε-1NTN<0

引理2 如果Q(x)=Q(x)T，R(x)=R(x)T和S(x)是x的映射，對于LMI，

則上式LMI等效于

R(x)>0,Q(x)-S(x)R(x)-1S(x)T>0

其中R(x)表示常數(shù)。舒爾補(bǔ)定理把非線性不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性矩陣不等式。

將本文構(gòu)造的非脆弱H∞控制器代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中得到：

z(t)=[C2+D(K+ΔK)]x(t)

(5)

為使?fàn)顟B(tài)反饋非脆弱H∞控制器對不確定性ΔA(t)和ΔK能保持穩(wěn)定，需要滿足Hamiltonian方程[15]：

γ2wT(t)w(t)<0

(6)

其中V(x,t)表示Lyapunov函數(shù)，表達(dá)形式如下：

V(x,t)=x(t)TPx(t)

兩邊求導(dǎo)形式如下：

將式(5)代入得

P[(A+ΔA)+B1(K+ΔK)]}x(t)+

(7)

再將式(2)(4)和(7)代入式(6)得：

為滿足H(x,w,t)<0的約束條件且[xT(t)wT(t)]≠0，

根據(jù)引理2舒爾補(bǔ)定理，可以將上述矩陣不等式轉(zhuǎn)化為如下形式：

注：本文使用的*表示對角線轉(zhuǎn)置。

現(xiàn)應(yīng)用引理1，將上述矩陣不等式轉(zhuǎn)化成如下形式：

應(yīng)用引理2，將上述矩陣轉(zhuǎn)化成如下形式：

對上式左乘和右乘diag{X,I,I,I,I,I,I}，其中令X=P-1，KP-1=Y并且如果存在對稱矩陣X>0，使上式轉(zhuǎn)化成如下形式：

(8)

如果式(8)有解時(shí)，所求的狀態(tài)反饋控制器為：K=YX-1，其中X∈R4×4是對稱實(shí)矩陣，Y∈R1×4。

3 仿真與分析

基于本文非脆弱H∞控制器的設(shè)計(jì)過程，在Matlab7.0環(huán)境下，對采用所設(shè)計(jì)控制器的主動(dòng)懸架進(jìn)行仿真。車輛的參數(shù)為：ms=250 kg；mu=30 kg；ks=1×104N/m；ku=1×105N/m；cs=1 000 N·s/m。

本文的參數(shù)不確定性和控制器攝動(dòng)通過LFT(線性分式變換)轉(zhuǎn)換成MF(t)N形式，若要進(jìn)行仿真，需要將分離出的已知矩陣進(jìn)行參數(shù)設(shè)定。由本文研究可知：ΔA需要定義矩陣M1、N1；ΔK需要定義矩陣M2、N2。具體形式如下：

M1=[1 0 0 0]T

N1=[-αcs/msαcs/ms-αks/ms0]

α=0.2;M2=δ×[1 1 1 1]

N2=diag(1,1,1,1)；δ=50

設(shè)置式(8)中參數(shù)ε1=ε2=5，γ=30。運(yùn)用Matlab7.0中的LMI工具箱進(jìn)行控制器的求解，函數(shù)lmivar，lmiterm描述矩陣不等式，函數(shù)feasp進(jìn)行求解。最后求得矩陣X、Y，再根據(jù)狀態(tài)反饋控制器K=YX-1，求得控制器如下：

K=105×[-0.118 6 0.033 9 -0.572 1 1.313 8]

在Matlab7.0的環(huán)境下，對采用非脆弱控制器的主動(dòng)懸架進(jìn)行仿真，并與被動(dòng)懸架進(jìn)行對比，通過Bode函數(shù)繪制懸架加速度、懸架動(dòng)擾度以及輪胎變形量的幅頻特性曲線，如圖2～4所示。根據(jù)ISO2631標(biāo)準(zhǔn)，人體對垂直振動(dòng)最敏感的頻率范圍為4～8 Hz。由圖2可知：采用非脆弱H∞控制器的主動(dòng)懸架性能在頻率范圍4～8 Hz內(nèi)明顯優(yōu)于被動(dòng)懸架，使乘車舒適性得到明顯改善，而頻率超過 10 Hz后主動(dòng)懸架性能惡化明顯。由圖3可知：在頻率小于1 Hz的情況下，采用非脆弱H∞控制器的主動(dòng)懸架動(dòng)擾度略有惡化，其他范圍內(nèi)性能略優(yōu)于被動(dòng)懸架。由圖4可知：主動(dòng)懸架的輪胎變形量在低頻段處實(shí)現(xiàn)了部分的優(yōu)化，但在高頻段處卻有一定的惡化。造成敏感范圍優(yōu)化顯著、其余范圍略有惡化的原因可能是加權(quán)函數(shù)選擇不合適。選擇加權(quán)函數(shù)協(xié)調(diào)各種性能沖突并不容易，盡管有一些指導(dǎo)性原則，但仍需要無數(shù)次湊試。

圖2 垂向加速度幅頻曲線

圖3 懸架動(dòng)擾度幅頻曲線

圖4 輪胎變形量幅頻曲線

圖5 垂向加速度時(shí)域曲線

由圖5可知：主動(dòng)懸架的垂直加速度比被動(dòng)懸架有明顯改善，其均方根值降低了58.1%，控制效果明顯。由圖6、圖7可知：主動(dòng)懸架動(dòng)擾度比被動(dòng)懸架明顯減小，其均方根值降低了22.5%，但輪胎的變形量并沒有明顯惡化，在提高乘車舒適性的情況下，保證了車輛操縱穩(wěn)定性?？偟膩碚f，與被動(dòng)懸架相比，主動(dòng)懸架顯著降低了車身垂直加速度和懸架動(dòng)擾度，同時(shí)又避免了輪胎動(dòng)擾度增加過大。

圖6 懸架動(dòng)擾度時(shí)域曲線

圖7 輪胎變形量時(shí)域曲線

4 結(jié)束語

以車輛主動(dòng)懸架的2自由度1/4模型作為受控對象，將車輛的參數(shù)不確定性和執(zhí)行器不確定性列為考慮對象，設(shè)計(jì)非脆弱H∞控制器，并通過線性矩陣不等式進(jìn)行求解。仿真結(jié)果證明設(shè)計(jì)的控制器是有效的，能獲得比被動(dòng)懸架更優(yōu)異的乘車舒適性，同時(shí)車輛的操縱穩(wěn)定性也得到一定保證。

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DesignofNon-FragileH∞ControllerforActiveSuspension

MA Ke, MI Lin, TAN Wei, WANG Sulei

(Vehicle Engineering Institute, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

It presents an approach to design the non-fragileH∞controller for active suspension system with parameter uncertainty and actuator uncertainty constraints, and a quarter-car model with active suspension system is considered. By using this controller, the sprung mass acceleration, suspension deflection and tire deflection are optimized. The non-fragileH∞controller can be obtained by solving a linear matrix inequality, and the simulation model can be built to analyze in Matlab7.0/Simulink. The results from the simulation demonstrate that the controller obtains a good performance of ride comfortable with less expense of handing stability.

active suspension; non-fragileH∞controller; linear matrix inequality

2017-09-22

重慶市科委科技支撐示范項(xiàng)目(cstc2014fazktjcsf6004)；重慶理工大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(2015ZD06)

馬克(1991—)，男，碩士研究生，主要從事汽車零部件研究，E-mail:1586751087@qq.com。

馬克,米林,譚偉,等.主動(dòng)懸架非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(12):15-21.

formatMA Ke, MI Lin, TAN Wei, et al.Design of Non-FragileH∞Controller for Active Suspension[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(12):15-21.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.12.003

U461.4

A

1674-8425(2017)12-0015-07

(責(zé)任編輯劉 舸)