王 瑜，尹智勇

(1.山西大學 a.復雜系統(tǒng)研究所； b.數(shù)學科學學院；c.疾病防控的數(shù)學技術與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室， 太原 030006;2.廈門大學 物理系， 福建 廈門 361005)

基于血腦屏障藥物滲透機制的建模與分析

王 瑜1a,1b,1c，尹智勇2

(1.山西大學 a.復雜系統(tǒng)研究所； b.數(shù)學科學學院；c.疾病防控的數(shù)學技術與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室， 太原 030006;2.廈門大學 物理系， 福建 廈門 361005)

由于血腦屏障結(jié)構(gòu)的特殊性，腦內(nèi)疾病的治療仍然是臨床診療的一個難點。一般情況下，病人只能通過口服或注射藥物來治療這類疾病。采用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，在控制藥物毒性最小的前提下,研究血管和腦組織中游離藥物濃度隨時間的變化情況。在比較分析未加入超聲和加入超聲的兩個模型后發(fā)現(xiàn)：未加入超聲時，毛細血管和腦組織中的游離藥物濃度在140 min左右達到平衡狀態(tài)，且平衡點處的藥物濃度很低，達不到治療效果； 而加入超聲后，在60～70 s就達到了穩(wěn)定，同時達到穩(wěn)態(tài)時藥物濃度也明顯增加。由此可見：加入超聲大大減少了服藥后大腦組織中藥物達到治療濃度所需的時間，且增加了進入腦組織的藥物量。

靜脈； 毛細血管； 脂質(zhì)體； 聚焦超聲； 數(shù)學模型

血腦屏障(blood-brain barrier,BBB)主要由3部分組成：最內(nèi)層是腦毛細血管內(nèi)皮細胞及其之間的緊密連接物，中間是細胞基質(zhì)和周細胞，最外層是星形膠質(zhì)細胞及其分泌的細胞外基質(zhì)[1]，如圖1所示。決定BBB特殊性的主要是腦毛細血管內(nèi)皮細胞，其膜上無孔，細胞間有緊密連接的閉鎖小帶[2]，導致藥物難以通過屏障入腦。研究表明：脂溶性藥物且相對分子質(zhì)量小于400～500才能通過BBB，而幾乎所有的大分子藥物諸如重組蛋白、基因片段等都不能通過BBB[1]。此外，周細胞是具有免疫功能的細胞，與血管內(nèi)皮細胞共同構(gòu)成血管內(nèi)壁并分泌一些免疫調(diào)節(jié)物質(zhì)。外層的星形膠質(zhì)細胞是組成BBB結(jié)構(gòu)的基礎細胞，緊密貼附在BBB內(nèi)皮組織外表面，與毛細血管互相影響，共同調(diào)節(jié)BBB的結(jié)構(gòu)和功能[3]。

圖1 血腦屏障結(jié)構(gòu)示意圖

針對BBB結(jié)構(gòu)的復雜性，醫(yī)學家們研制出載藥脂質(zhì)體，這種脂質(zhì)體毒副作用小，沒有免疫性，可以提高藥物的治療指數(shù)和療效[4]，還可以連接某種特異性的識別分子，通過與靶細胞的特異性識別來實現(xiàn)專一靶向功能。此外，聚焦超聲的應用在臨床治療腦內(nèi)疾病的過程中也成為一個關鍵，聚焦超聲可以重復地引起B(yǎng)BB的破壞且不會明顯地引起其他組織的壞死和組織損傷[5]，它的使用不僅大大減少了產(chǎn)生一般生物效應所需要的時間和效果，還能靶向開放BBB，為中樞神經(jīng)系統(tǒng)疾病的治療提供一種無創(chuàng)傷的具有靶向性的藥物轉(zhuǎn)運方法[6]。

1987年Janzer等[7]研究了星形膠質(zhì)細胞對BBB的誘導作用。2005年Hawkins等[8]討論了BBB在人體健康和疾病方面的重要作用。2006年Abbott等[9]研究了星形膠質(zhì)細胞與內(nèi)皮細胞相互作用、共同影響和調(diào)節(jié)BBB的結(jié)構(gòu)和功能。2014年Peter等[10]利用數(shù)學模型證實了可以采用低頻聚焦超聲測量腦內(nèi)藥物濃度，研究了血漿蛋白和游離藥物在毛細血管和腦組織之間的相互作用，并呈現(xiàn)了單一藥物在BBB中的傳遞機制，他們利用普通的微分方程描述了毛細血管內(nèi)血液流動的網(wǎng)絡形態(tài)，考慮了藥物后續(xù)的運輸和清除。 同一年Peppa[11]指出，數(shù)學模型長期被用在醫(yī)療衛(wèi)生組織方面，特別是在與藥物運輸、傳遞相關的研究。2017年Anna等[12]利用星形膠質(zhì)細胞的獨特作用去識別腦部神經(jīng)炎癥。

本文基于Peter等的研究，構(gòu)造了未加入超聲和加入超聲時藥物靶向治療腦部疾病的兩種模型來研究血管和腦組織中游離藥物濃度的變化情況，并對未加入超聲時的模型進行了定性理論分析，主要討論了模型正平衡點的存在性和唯一性，并通過Dulac函數(shù)證明了正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。在此基礎上引入超聲和載藥脂質(zhì)體，再以脂質(zhì)體靶向大腦給藥系統(tǒng)為主體，通過脂質(zhì)體入腦的機制來建模。該模型解釋了一種生物學現(xiàn)象，即在聚焦超聲的作用下，BBB能暫時張開，同時脂質(zhì)體發(fā)生破裂釋放出游離藥物，游離藥物通過毛細血管進入腦組織治療腦內(nèi)疾病。最后，分別對兩種模型進行了數(shù)值模擬，并比較了兩種模型下游離藥物濃度的變化情況以及加入超聲后的模型中脂質(zhì)體的濃度變化情況。

1 模型的建立與分析

1.1 模型的建立

基于2014年Peter 等[10]的工作，為了數(shù)學上的分析方便，降低了模型的復雜度，僅考慮大腦中某一個毛細血管內(nèi)藥物傳輸?shù)酱竽X的動力學過程，忽略周邊其余毛細血管可能存在的影響。為了使系統(tǒng)便于分析和計算，進一步做出如下假設：脂質(zhì)體的半衰期與血漿的半衰期同步發(fā)生；患者只在口服或注射的條件下攝入藥物；大腦組織中游離藥物會產(chǎn)生新陳代謝。先考慮不加入超聲時的系統(tǒng)，系統(tǒng)流程如圖2所示。

圖2 未加超聲的系統(tǒng)流程

圖2中：v表示毛細血管中游離藥物的濃度；w表示腦組織中游離藥物的濃度。將圖2所示的毛細血管中游離藥物和腦組織中游離藥物相互作用的流程轉(zhuǎn)換成微分方程組后得到以下模型：

(1)

模型中參數(shù)解釋和取值見表1。由表1可知K>1，V>1。

在模型(1)的基礎上進一步考慮加入超聲并引入脂質(zhì)體模型，為了確保注入的脂質(zhì)體可以充分地在超聲作用下發(fā)生破壞并釋放出游離藥物，做出如下假設：在加入超聲1 min后周期性地注射脂質(zhì)體，且脂質(zhì)體在超聲作用下并沒有完全發(fā)生破裂。因此，在分析脂質(zhì)體破裂和超聲強度的關系時考慮飽和發(fā)生率，根據(jù)這一機理得到如下模型：

(2)

其中：u表示毛細血管中脂質(zhì)體的濃度；a、b為飽和發(fā)生率系數(shù)。

1.2 模型分析

1.2.1 符號說明與研究方法介紹

由于藥物只有進入腦組織后才能對疾病產(chǎn)生治療的效果，因此本文主要以w作為指標變量分析其動力學過程。首先證明了模型(1)存在唯一的正平衡點，然后通過構(gòu)造Dulac函數(shù)分析正平衡點的全局穩(wěn)定性。數(shù)值模擬主要是在Matlab軟件下執(zhí)行。Matlab軟件主要是模擬游離藥物濃度v、w的時間序列變化以及v、w之間的關系。本文所涉及的參數(shù)如表1所述。

表1 模型中所涉及的參數(shù)標準值列表

注：半飽和常數(shù)K指的是主動運輸速率達到最大速率的一半時毛細血管中游離藥物的濃度。

1.2.2 理論分析

以下針對本文所述的機理進行分析，包括定性理論分析和數(shù)值模擬。定性分析主要是正解的存在性和唯一性分析以及正平衡點全局穩(wěn)定性的證明，數(shù)值模擬主要是對游離藥物濃度時間序列的模擬。由于模型中的參數(shù)都是具有生物學意義的，為了確保研究合乎情理，本文各模型中參數(shù)都為正值，根據(jù)這一條件，我們做出以下分析。

證明若?T0>0, s.t.首次出現(xiàn)T0時T0=inf{t≥0,v(t)=0 或w(t)=0}，對t∈[0,T0)，v(t)>0,w(t)>0，不失一般性，設對于所有的t∈[0,T0],v(T0)=0,w(t)≥0，則有：v′(t)|t = T0=γv1+k2w(T0) > 0，因此v(t)不會變成負的。

定理2 系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點。

證明令系統(tǒng)(1)的右端等于0，則有：

(3)

方程組(3)兩式相加可得：

(4)

將w的表達式代入方程組(3)整理可得：av2+bv+c=0，其中：

a=(k1+k2+γ)βV+k1k2+k2γ>0

b=(Kk2+k3+Kk1+Kγ-γv1)βV+

Kk1k2-k2γv1+Kk2γ

c=-(Kk2γv1+Kγv1βV)<0

(5)

定理3 系統(tǒng)(1)的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 系統(tǒng)(1)在正平衡點E(v*,w*)處的雅可比矩陣為：

(6)

因此， 雅可比矩陣(6)的特征方程為λ2+mλ+n=0，其中：

利用Hurwitz判據(jù)[17]判斷：

(7)

故系統(tǒng)(1)的雅可比矩陣的所有特征值都具有負實部，系統(tǒng)(1)的正平衡點局部漸近穩(wěn)定。

以下用Dulac函數(shù)來判斷系統(tǒng)(1)的全局穩(wěn)定性。

記：

(8)

取H(v,w)=v-1w-1，則有：

H(v,w)P(v,w)=γv1v-1w-1-

(9)

從而有：

(10)

綜上，根據(jù)Δ<0和Dulac函數(shù)理論[17]可知系統(tǒng)(1)不存在極限環(huán)，又因系統(tǒng)是局部穩(wěn)定的，故整個系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

注意到本研究是利用Dulac函數(shù)的一般性來分析模型的動力學行為，這里主要分析游離藥物到達腦組織后呈現(xiàn)的穩(wěn)定狀態(tài)。到目前為止，所有的理論分析都集中在數(shù)學模型和其動力學行為上，例如正平衡點的存在性、唯一性和全局漸近穩(wěn)定性。接下來通過對加入超聲和未加入超聲時藥物靶向治療腦部疾病的兩種模型進行數(shù)值模擬，以此具體、直觀地描繪藥物靶向治療腦部疾病的過程中游離藥物濃度隨時間的變化。

2 數(shù)值模擬

在藥物從毛細血管通過血腦屏障進入腦組織這一動力學過程中，血腦屏障的完好與否以及藥物通過血腦屏障的量直接決定了疾病的治療效果。為了驗證前面的相關分析所得到的理論性結(jié)果以及兩種模型的準確性，以下利用表1中的參數(shù)值進行數(shù)值模擬。

首先，依據(jù)模型(1)中求解出的正平衡點的值，分別取正平衡點附近的值作為游離藥物濃度的初值進行模擬。選擇v、w的初值分別為v=w=0.000 318，v=w=0.000 32，在這兩組參數(shù)下，模擬了游離藥物濃度v、w隨時間變化的時間序列(如圖3所示)。其中：b、d分別表示w初值取0.000 32和0.000 318時游離藥物濃度隨時間的變化；a、c分別表示v的初值取0.000 32和 0.000 318時游離藥物濃度隨時間的變化； 游離藥物v、w的濃度都達到了全局漸近穩(wěn)定。

圖4模擬了游離藥物濃度v、w的相圖，即v、w在變化過程中產(chǎn)生的向量場中的矢量線逐漸趨于全局漸近穩(wěn)定的關系。其中黑色虛線、藍色實線分別表示腦組織和毛細血管中游離藥物濃度w、v的零斜率線，其交點即為系統(tǒng)的正平衡點，向量場中的矢量線都將先向v的零斜率線逼近，然后順著零斜率線逼近系統(tǒng)的正平衡點。

圖5在固定時滯τ=1的前提下，選?。篴=2.03，b=0.001，s=0.85；a=2.03，b=0.001，s=1.45；a=2.03，b=0.001，s=1.5；a=2.03，b=0.001，s=1.6。在這4組參數(shù)下以s為指標變量模擬了加入超聲后超聲對游離藥物進入腦組織的量的影響。從圖5(a)可以看出：脂質(zhì)體在周期性的注射過程中，經(jīng)歷了從剛開始的阻尼振蕩到振蕩再到最后反向阻尼振蕩的過程。從圖5(b)可以看出：毛細血管中的游離藥物濃度在62 s左右開始達到穩(wěn)定的狀態(tài)，而腦組織中的游離藥物濃度在72 s左右開始達到穩(wěn)定的狀態(tài)。整個過程中，在飽和率系數(shù)不變的情況下，隨著超聲強度的增大，飽和率系數(shù)也在不斷地增大，系統(tǒng)會保持一定時間的穩(wěn)定性，保證u、v的正性，出現(xiàn)阻尼振蕩。當超聲強度達到人體能夠承受的最大超聲強度時，u、v的濃度達到最大，系統(tǒng)產(chǎn)生周期性的振蕩。再加大超聲強度時，超出人體能夠承受的范圍，u、v的正性和周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性被破壞，不再呈現(xiàn)原有的狀態(tài)，出現(xiàn)反向阻尼振蕩的現(xiàn)象。與前面所述未加入超聲時得到的結(jié)果相比，加入超聲可以增加游離藥物進入腦組織的量，使得療效更佳，也說明引入超聲對腦部疾病進行治療具有很重要的作用。

就生物學意義而言，未加入超聲時，游離藥物濃度v、w在正平衡點E(v*,w*)處達到了全局穩(wěn)定，這也描述了一種生物擴散現(xiàn)象，即大部分游離藥物在毛細血管中會與血漿蛋白結(jié)合而留在血管內(nèi)，少部分的藥物會擴散到腦組織，當腦組織內(nèi)外濃度達到平衡態(tài)時不再發(fā)生擴散現(xiàn)象。而加入超聲可以降低血管中游離藥物與血漿蛋白的結(jié)合速率，同時加快游離藥物通過血腦屏障進入腦組織的速率，增加藥物進入腦組織的量，對疾病產(chǎn)生更為理想的治療效果。

圖3 系統(tǒng)(1)中游離藥物v、w的時間序列

圖4 系統(tǒng)(1)中游離藥物v、w的關系

3 結(jié)束語

本文通過構(gòu)造Dulac函數(shù)，對游離藥物進入腦組織靶向治療腦部疾病的動力學模型進行了理論分析，主要包括正平衡點的存在性、唯一性分析和全局漸近穩(wěn)定性的證明以及相應的數(shù)值模擬，最終得出結(jié)論：正平衡點存在且唯一，并且該模型的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

在上述模型的基礎上引入超聲和脂質(zhì)體，用數(shù)學模型描述藥物在靜脈血管、毛細血管以及腦組織中的傳遞與吸收效果，從模擬結(jié)果(圖5)可以看出，加入超聲大大增加了藥物進入腦組織的量，且脂質(zhì)體和游離藥物的濃度最終也達到了穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5 模擬結(jié)果

對比以上兩種模型，其數(shù)值模擬結(jié)果都給出了較為合理的解釋和推測。針對未加入超聲的模型所得結(jié)果展開了討論和分析。模型(1)的結(jié)果反映出全局漸近穩(wěn)定性，模型(2)的結(jié)果反映出游離藥物在腦組織中濃度達到最大值的時間以及游離藥物最大量與注入脂質(zhì)體濃度的關系。通過模擬得到：加入超聲大大減少了服藥后大腦組織中藥物達到治療濃度所需的時間，且增加了藥物進入腦組織的量，可以對治療提供參考依據(jù)。

本文的建模也存在一些不足：針對模型(1)的建模僅局限于大腦中某一個毛細血管內(nèi)藥物傳輸?shù)酱竽X的動力學過程，忽略周邊其余毛細血管可能存在的影響。之后可以接著討論腦部所有毛細血管(一個整體)與腦組織之間的相互作用以及對加入超聲后的模型進行一定的理論分析和后續(xù)的模擬，也可以分析加入超聲后時滯變化對模擬結(jié)果的影響。我們期待將來的研究對腦部給藥系統(tǒng)有更深刻的闡述和認識，為這些人類相關疾病如腦瘤的調(diào)控和治療提供思路和參考。

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ModelingandAnalysisofDrugPermeationMechanismBasedonBlood-BrainBarrier

WANG Yu1a, 1b, 1c，YIN Zhiyong2

(1.a.Complex System Research Center; b.School of Mathematical Sciences; c.Shanxi Key Laboratory of Mathematical Techniques and Big Data Analysis on Disease Control and Prevention, Shanxi University, Taiyuan 030006, China; 2.Department of Physics, Xiamen University, Xiamen 361005, China)

Treatment for the intracerebral diseases has been a challenging issue in clinical diagnosis and treatment. Because of the special brain barrier structure, patients generally treat these diseases only through oral or injection drugs. In order to make it clear, this paper theoretically and numerically studies the variation laws of free drug concentration in the vascular and brain tissue given minimizing the toxicity of drugs. After comparing two models without and with ultrasound treatments, we find that at the absence of ultrasound treatment it takes about 140 minutes that the concentration of free drugs in capillary and brain tissue reaches the balance state. In this case, drug concentration is greatly low, which does not achieve an ideal therapeutic effect. Otherwise, it only takes approximately 60 to 70 minutes to reach the balance state with ultrasound treatments and drug concentration significantly increases. That greatly reduces the time taken for drugs to reach therapeutic concentration in brain tissue and increases the amount of drugs entering the brain tissue.

vein; capillary; liposome; focused ultrasound; mathematical model

2017-09-20

疾病防控的數(shù)學技術與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室資助項目(201705D111006)； 山西省動物群發(fā)病科技數(shù)據(jù)服務共享平臺項目(201605D121014)

王瑜(1992—),女,碩士研究生,主要從事傳染病傳播動力學研究,E-mail:18834810643@163.com； 尹智勇(1992—),男,博士研究生,主要從事癌細胞的信號網(wǎng)絡動力學研究,E-mail:yinzhiyong1992@163.com。

王 瑜，尹智勇.基于血腦屏障藥物滲透機制的建模與分析[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(12):122-129.

formatWANG Yu，YIN Zhiyong.Modeling and Analysis of Drug Permeation Mechanism Based on Blood-Brain Barrier[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(12):122-129.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.12.021

O175

A

1674-8425(2017)12-0122-08

(責任編輯何杰玲)