朱戰(zhàn)鴻

【摘 要】在高中數(shù)學的課程改革中，除了保留以往的代數(shù)、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容之外，又加入了向量、概率統(tǒng)計以及微積分的相應內(nèi)容。為了使高中學生在數(shù)學學習中更好地掌握微積分，在例題教學中導數(shù)的應用必不可少。本文將通過高中數(shù)學教學實踐的經(jīng)驗，對高中數(shù)學導數(shù)例題解答的教學重點進行總結(jié)，并結(jié)合實際例題，對導數(shù)教學的應用方法進行分析。

【關鍵詞】微積分；極限概念；導函數(shù)；幾何意義

前言

高中學生所具備的數(shù)學思維特點，是其在高中階段學好數(shù)學的重要因素。在對高中課堂進行觀察中筆者發(fā)現(xiàn)，高中學生的思維特點主要表現(xiàn)在預見性、假設性、內(nèi)省性和差異性等幾個方面。這些特點對于高中學生的邏輯思維的深化具有積極的作用。教師利用教學手段，對高中學生的思維特征合理運用，可以促使高中學生的數(shù)學學習興趣得到提升，同時學習效率也會得到加強。

一、高中數(shù)學的教學內(nèi)容和方向

（一）高中數(shù)學教學內(nèi)容

在高中階段，數(shù)學教材內(nèi)容所需要學生掌握的微積分知識較為初級，因此在導數(shù)教學中，針對導數(shù)內(nèi)容，教材會分為幾個單元部分，系統(tǒng)全面地對導數(shù)的概念和應用進行介紹。以人教版為例，在教材中，就包含了導數(shù)與變化率、導數(shù)計算、導數(shù)在函數(shù)研究中的應用、生活中的優(yōu)化、微積分與定積分的基本概念等幾個部分。這些內(nèi)容的制定為高中數(shù)學的導數(shù)教學制定了大的規(guī)?？蚣?，并明確了教學內(nèi)容。例如導數(shù)在函數(shù)研究中應用這一章節(jié)，教學內(nèi)容就應當集中在函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值、函數(shù)最值等方面。

（二）高中數(shù)學策略方向

針對高中階段的導數(shù)教學，教師應當有計劃地制定教學策略。在目前的教學理論研究中，啟發(fā)式教學的產(chǎn)生式教學策略效果最為突出，在本文最后的導數(shù)例題應用章節(jié)當中，教學實例所采用的正是產(chǎn)生式教學方法。這種教學方法是使學生自己明確學習內(nèi)容和目的，從而根據(jù)內(nèi)容要求，以小組為單位，設定學習目標，安排學習順序。教師在其中扮演啟發(fā)者的角色，對學生學習中遇到的難點進行引導。這種教學方法下，學生自主學習和自主探究的能力會大大增強，同時對導數(shù)學習的理解將更加深刻，為了解決問題，所需掌握的知識也更加全面。

二、高中數(shù)學教學中導數(shù)教學存在的問題

導數(shù)是高中數(shù)學中的重點和難點，一般教材會將這部分內(nèi)容放置在高三或者是選修課當中學習，這充分說明了高中學生對于導數(shù)學習存在相當程度的困難。也正因如此，高中導數(shù)教學往往存在一些問題。首先，在教學過程中，教師通常將教學重點集中在導數(shù)例題的講解上，而忽略了學生對導數(shù)概念的理解。在這種教學環(huán)境下，學生很容易出現(xiàn)概念混淆、含混不清的問題；其次，教學過程忽視推導生成過程，不注重導數(shù)與微積分關系的結(jié)合；此外，數(shù)學思想的形成、導數(shù)知識的實用性等與數(shù)學學習密切相關的在教學過程中，也被部分教師有意無意的忽視，從而使導數(shù)學習成為高中數(shù)學的難點。

三、導數(shù)概念的教學重點

（一）導數(shù)的平均變化率

在高中數(shù)學的導數(shù)教學中，常常會遇到例如高臺跳水、氣球膨脹等實際問題，這些實際問題一方面為學生提供導數(shù)學習的現(xiàn)實場景便于理解，另一方面，也代表了導數(shù)當中平均變化率的特點。以氣球膨脹率的問題為例，在現(xiàn)實生活當中，氣球隨著進氣量的不斷增加，其膨脹速度則會不斷下降。這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因涉及到氣球中空氣容量和氣球半徑兩個變量，并根據(jù)這兩個變量可以推算出二者之間的關系，即如公式1所示：

公式1：V（r）=■πr■

其中V為氣球中的空氣質(zhì)量，r為氣球半徑。通過反解則有公式2：

公式2：r（V）=■

通過這兩個公式可以看出，在數(shù)學意義當中，氣球體積不斷增大，半徑增加量比體積增加量的比值就會越來越小，而比值則是該氣球的平均膨脹率。高臺跳水問題與氣球膨脹率問題相似，都是利用f（x）來表示兩個變量之間存在的函數(shù)關系，在教學過程中，教師就可以利用現(xiàn)實生活常見場景，進行函數(shù)圖像表示，使學生的理解更加直觀。

（二）導數(shù)的幾何意義

在教學當中，教師會利用多媒體方式對圓的割線變化趨勢進行講解，并使學生對割線的動態(tài)變化產(chǎn)生直觀的印象，從而啟發(fā)學生，獲得切線的定義。在動態(tài)變化過程中，圓的割線逐漸變化成為切線的過程，是微積分當中“無限逼近”思想方法的一種體現(xiàn)，在學習過程中，學生通過“無限逼近”的方法引領，可以進行割線斜率和切線斜率之間關系的思考，使學生形成數(shù)形結(jié)合的解題思路，認識到數(shù)學對象不同方面的意義。

（三）導函數(shù)

導函數(shù)內(nèi)容在教學時，教師會利用函數(shù)當中的集合觀念，使學生體會導數(shù)當中的函數(shù)變化，在教學中，教學內(nèi)容應當十分注重計算性，例如對于瞬時速度的探究，教師可以利用田徑運動員的運動過程來幫助學生理解，同時對整個運動過程所產(chǎn)生的瞬時變化率，從而探究出完整過程和運動當中的最大當量，并將運動員的運動組昂太進行刻畫。

四、導數(shù)在高中數(shù)學例題當中的應用

（一）例題中三角函數(shù)求導的導數(shù)解答應用

在高中數(shù)學例題當中，三角函數(shù)求導的題目是十分常見的典型例題。例如，已知y=（1+cos2x）■，求y'。在關于復合導數(shù)求導中，學生通常存在不熟練的情況，在這個例題當中，2x和x的系數(shù)不一樣是一個復合過程，這在解題過程中是重要的已知信息，但是在學生解題的過程中通常會被忽略，從而出現(xiàn)錯誤求導y'=-2sin2x（1+cos2x）。而正確的求導方法需要對例題進行重點考察，再進行正確解答。首先，設y'=u■，u=1+cos2x，則有y■'=y■'u■'=2u（1+cos2x）'=2u（-sin2x）·（2x）=2u·（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x），這樣就求得了正確的求導答案。

（二）例題中函數(shù)極值的導數(shù)解答應用

在函數(shù)問題當中，函數(shù)極值的題目是具有典型特征的函數(shù)點調(diào)性的考察，從而判斷學生對于函數(shù)單調(diào)性的理解。在題目中，已知函數(shù)f（x）=x■（x+1），求f（x）的極值。在這一題目的解答中，需要學生對函數(shù)的單調(diào)性有一定的理解和判斷，并得出f'（x）=2x（x+1）+x■=3x■+2x，此時，令f'（x）=0，則可以得出結(jié)論：x■=0，同時x=-■。在這之中，當x∈（-∞，-■）時，則有f'（x）>0，這表明函數(shù)f（x）的單調(diào)性為單調(diào)遞增；而當x∈（-■，0）時，f'（x）<0，這表明此時函數(shù)f（x）的單調(diào)性為單調(diào)遞減；當，x∈（0，∞），f'（x）>0，此endprint

（下轉(zhuǎn)第5頁）（上接第3頁）

時函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增。據(jù)此結(jié)論可以得出，當x=-■時，函數(shù)f（x）為極大值，而f（-■）=■；而當x=0時，f（x）為極小值，f（0）=0。

（三）例題中曲線切線的導數(shù)解答應用

導數(shù)的運用在高中數(shù)學的幾何題目解答當中得到充分的運用，會使幾何題目的解答更加簡單便捷，同時提升數(shù)學題目的解題效率。在高中數(shù)學的課程標準當中，設計到利用導數(shù)方法解答的幾何題目一般為坐標系切線方程，這類題目具有一個共同的特點，就是在題干當中會給出曲線之外的坐標點，學生根據(jù)所學的切線知識，求出這個曲線的切線方程。目前的解答方法當中，利用導數(shù)求解是高中生最常選用的。已知曲線C為y=f（x），切線經(jīng)過點N（x■，y■），求出過點N的切線方程。對于這一題目，學生在進行解答的時候，就會用到導數(shù)的相關概念以及方法，解題思路為首先判斷切線、點N以及曲線C在坐標系當中的位置關系，在求出相應的導數(shù)f（x）'，最后再進行求解。在具體解題過程中，要對點N是否經(jīng)過曲線C做出判斷，并根據(jù)不同情況進行導數(shù)方程計算。當N在曲線C之上時，這時需要利用導數(shù)方程對切線進行表示，即有y-y■=f'（x■）（x-x■），從而求得最終答案。而當N點不在曲線C之上，則需要尋求到相應的切點（x■，y■），并經(jīng)過y■=f（x■）以及y■-y■=f'（x■）（x■-x■），從而獲得具體的切點（x■，y■）的具體數(shù)值，并根據(jù)這一數(shù)值和N值這兩個點的坐標，求解出N點經(jīng)過曲線C的方程，其方程的表示為y-y■=f'（x■）（x-x■）。

結(jié)論

在高中數(shù)學的解題應用當中，導數(shù)作為高中數(shù)學教學的重點和難點，同時也是解題思路形成的最好方法之一，是提升解題效率的優(yōu)良應用。在解題過程中，導數(shù)非但能夠?qū)θ呛瘮?shù)、函數(shù)極值、切線方程進行解答，同時還應用于立體幾何、向量以及解析幾何的題目當中。教師在進行教學時，可以充分利用導數(shù)的解題優(yōu)勢，在例題講解的過程中對具有典型性的例題進行導數(shù)解題的應用，幫助學生形成導數(shù)解題思維。

【參考文獻】

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