■張亮昌 廖慶偉
例析直線與方程中的錯(cuò)解
■張亮昌 廖慶偉
直線與方程是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)直線方程必須掌握直線的傾斜角和斜率的概念、直線方程的基本形式。求解直線與方程問題,應(yīng)仔細(xì)審題,熟練運(yùn)用相關(guān)概念,以防解題出現(xiàn)錯(cuò)誤,下面舉例分析之。
例1 下列說法正確的是____。(只填寫正確的序號)
①直線xtanα+y+2=0的傾斜角為α;
②直線x=20l8的斜率為0;
③若直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanα;
④所有的直線都有傾斜角,但不一定有斜率。
錯(cuò)解:由直線xtanα+y+2=0,可知其傾斜角為α。答案為①。
錯(cuò)因分析:本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系。
所有直線都有傾斜角,且傾斜角的取值范圍是[0,l80°),當(dāng)傾斜角為90°時(shí),直線的斜率不存在。
正解:對于①,直線xtanα+y+2=0的傾斜角的正切值為—tanα,即此直線的斜率為k=tanα,①錯(cuò)誤。
對于②,直線x=20l8的傾斜角為90°,其斜率不存在,②錯(cuò)誤。
對于③,直線的傾斜角為90°時(shí),此直線的斜率不存在,③錯(cuò)誤。
對于④,任一直線都有傾斜角,但不一定有斜率,④正確。答案為④。
例 2 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(20l8,l),Q(20l7,m2)(m∈R),則直線l的傾斜角α的取值范圍是( )。
因?yàn)橹本€的傾斜角α∈[0,π),所以直線l的傾斜角的取值范圍是應(yīng)選A。
錯(cuò)因分析:數(shù)形結(jié)合法是解析幾何中的重要方法。當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí),需根據(jù)正切函數(shù)y=tanα的單調(diào)性求α的范圍。
由于直線的傾斜角α∈[0,π),根據(jù)正切函數(shù)y=tanx的圖像,所以α<π。
例 3 已知直線l的斜率為—5,與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是l0,則直線l的方程為____。
錯(cuò)解:設(shè)直線l:y=—5x+b,令x=0得y=b,令y=0得
因?yàn)榻鼐郻>0,所以所求直線l的方程為y=—5x+l0。
錯(cuò)因分析:直線在x軸(y軸)上的截距是直線與x軸(y軸)交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo),截距可以是正值、零或負(fù)值。
正解:設(shè)直線l:y=—5x+b,令x=0得y=b,令y=0得
故所求直線l的方程為y=—5x+l0或y=—5x—l0。
例4 已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(—l,—2),(3,l),(0,2),求平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。
錯(cuò)解:設(shè)A(—l,—2),B(3,l),C(0,2),第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)。
由ABCD為平行四邊形,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—4,—l)。
錯(cuò)因分析:上述解法忽視了四邊形ABDC和四邊形ADBC是平行四邊形,從而導(dǎo)致漏解。解題時(shí),首先應(yīng)將已知三點(diǎn)和所求第四點(diǎn)進(jìn)行排序,然后設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo),最后應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解。
正解:設(shè)A(—l,—2),B(3,l),C(0,2),第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)。
①若四邊形ABCD是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得方程組所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—4,—l)。
②若四邊形ABDC是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得方程,,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,5)。
③若四邊形ADBC是平行四邊形,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得方程組所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,—3)。
綜上所述,所求平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(—4,—l)或(4,5)或(2,—3)。
例 5 已知直線ll:(t+2)x+(l—t)y=3與l2:(t—l)x+(2t+3)y—5=0垂直,則實(shí)數(shù)t的值為____。
錯(cuò)解:因?yàn)橹本€ll與l2垂直,所以kl·,解得t=±l,即所求實(shí)數(shù)t=±l。
錯(cuò)因分析:當(dāng)直線ll,l2的斜率都存在時(shí),若kl·k2=—l,則直線ll,l2垂直。上述解法沒有注意直線斜率不存在的情況,從而導(dǎo)致漏解。
正解:①當(dāng)直線ll,l2的斜率都存在,即t解得t=±l,可知t=—l時(shí),直線ll⊥l2。
②當(dāng)直線ll的斜率不存在時(shí),t=l,這時(shí)直線ll的方程為x=l,直線l2的方程為y=l,顯然直線ll⊥l2,滿足題意。
③當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)這時(shí)直線ll的方程為x+5y—6=0,直線l2的方程為x=—2,顯然ll與l2不垂直,不合題意。
綜上可知,滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為l或—l。
湖北巴東縣第三高級中學(xué)
(責(zé)任編輯 郭正華)