本期試卷參考答案與提示

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直線與方程綜合演練A卷參考答案與提示

一、選擇題

1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B

8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 13.C 14.B 15.D 16.A 17.B 提示：直線方程，由此可知兩條直線的斜率同號。 18.B 19.B 20.D 21.B 22.D 23.A 24.B 提示：當a＞0時，y=的圖像過一、二、三象限；當a＜0時，的圖像過二、三、四象限。 25.D

26.C 27.D 28.D 提示：因為l過原點，所以C=0。又l過二、四象限，所以l的斜率—

二、填空題

三、解答題

38.提示：若a=b=0，則直線l過點（0，0）與（—2，2），可得直線l的斜率k=—l，此時直線l的方程為y=—x，即x+y=0。

綜上可得，直線l的方程為x+y=0或x—y+4=0。

39.提示：（l）過點P 的直線l與原點的距離為2，而點P 的坐標為（2，—l），顯然，過P（2，—l）且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x=2。

若斜率存在，設l的方程為y+l=k（x—2），即kx—y—2k—l=0。

綜上可得，直線l的方程為x=2或3x—4y—l0=0。

（2）過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線，如圖l所示。

由l⊥OP，得kl·kOP=—l。因為所

圖l

由直線方程的點斜式得y+l=2（x—2），即2x—y—5=0。故直線2x—y—5=0是過點P且與原點O的距離最大的直線，其最大距離為

（3）由（2）可知，過點P 不存在到原點的距離超過5的直線。

設與x+3y—5=0平行的一邊所在的直線方程是x+3y+m=0（m≠—5），則點C到直線x+3y+m=0的距離d=解得m=—5（舍去）或m=7，所以與x+3y—5=0平行的邊所在的直線方程是x+3y+7=0。

設與x+3y—5=0垂直的邊所在的直線方程是3x—y+n=0，則點C到直線3x—y+n=0的距離d=得n=—3或n=9，所以與x+3y—5=0垂直的兩邊所在的直線方程分別是3x—y—3=0和3x—y+9=0。

故其他三邊所在的直線方程為x+3y+7=0，3x—y—3=0和3x—y+9=0。

41.提示：（l）由已知可得l2的斜率存在，所以k2=l—a。

若k2=0，則l—a=0，a=l。

因為ll⊥l2，直線ll的斜率kl必不存在，所以b=0。

又因為ll過點（—3，—l），可得—3a+4=0，即a=（與a=l矛盾），可知此種情況不存在，所以k2≠0，即kl，k2都存在。

由k2=l—a，kl=，可得kkl2=—l，即①

由ll過點（—3，—l），可得—3a+b+4=0。 ②

由①②聯立，解得a=2，b=2。

（2）因為直線l2的斜率存在，又ll∥l2，所以直線ll的斜率存在，可得kl=k2，即得③

又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，且ll∥l2，所以ll，l2在y 軸上的截距互為相反數，即④

（2）因為A，B 的中點坐標為M（—2，3），直線x+y—2=0的斜率kl=—l，所以滿足條件的直線方程為y—3=—（x+2），即x+y—l=0為所求的直線方程。

AB直的直線的斜率為k=—，所以滿足條件的直線l的方程為y—2=—（x—l），即2x+3y—8=0。

所以直線BM 的斜率kBM=可得直線BM的方程為9x—5y+l3=0。

所以邊AC的中線所在的直線方程為9x—5y+l3=0。

（2）設點D 的坐標為（x，y）。由已知可知M 為線段BD的中點，所以可得方程組

故點D（3，8）。

（3）由點B（—2，—l），C（2，3），得直線BC的方程為x—y+l=0。

所以點A到直線BC的距離為22。

45.提示：由已知條件可得圓M 的標準方程為（x—6）2+（y—7）2=25，所以圓心M（6，7），半徑為5。

（l）由圓心 N 在直線x=6上，可設N（6，y0）。因為圓N 與x軸相切，與圓 M相外切，所以0＜y0＜7。圓N 的半徑為y0，從而可得7—y0=5+y0，解得y0=l。因此，圓N 的標準方程為（x—6）2+（y—l）2=l。

設直線l的方程為y=2x+m，即2x—y+m=0，則圓心M到直線l的距離d

圖l

故直線l的方程為2x—y+5=0或2x—y—l5=0。

46.提示：將圓C 的方程x2+y2—8y+l2=0配方得標準方程為x2+（y—4）2=4，則圓心坐標為（0，4），半徑為2。

故所求直線l的方程為7x—y+l4=0或x—y+2=0。

47.提示：（l）圓C的方程化為標準方程為（x—3）2+（y—2）2=9，于是圓心C（3，2），半徑r=3。

l—2。所以直線ll的方程為y—3=—2（x—5），即2x+y—l3=0。

（2）因為圓C的半徑r=3，所以要使直線l2與圓C相交，則，可得|b于是可得b的取值范圍是—32

（3）設直線l2被圓C截得的弦的中點為M（x0，y0），則直線l2與CM 垂直，于是可得，整理可得x0—y0—l=0。

因為點 M（x0，y0）在直線l2上，所以x0+y0+b=0。

（2）當直線 AB⊥x 軸時，x 軸 平 分∠ANB。

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x—l），點 N（t，0），A（xl，yl），B（x2，y2）。

故當點N 為（4，0）時，能使得∠ANM=∠BNM成立，即x軸平分∠ANB。

49.提示：因為圓C和直線x—6y—l0=0相切于點（4，—l），所以過點（4，—l）的直徑所在直線的斜率為其方程為y+l=—6（x—4），即y=—6x+23。

圓心在以（4，—l），（9，6）兩點為端點的線段的中垂線上，即5x+7y—50=0上。由解得圓心坐標為（3，5），所以圓的半徑為故所求圓的方程為（x—3）2+（y—5）2=37。

50.提示：l2平行于x軸，ll與l3互相垂直，畫出簡圖，如圖2所示。

三個交點A，B，C 連線構成直角三角形，經過A，B，C 三點的圓就是以AB為直徑的圓。

圖2

51.提示：以直線BC為x軸，線段BC的中點為原點，建立直角坐標系，如圖3所示，則B（—l，0），C（l，0）。

設點A的坐標為（x，y）。

圖3

當m2=l，即m=l時，對①式化簡可得方程x=0，所以點A的軌跡是y軸。

當m2≠l時，對①式配方可得所以點A的軌跡是以為半徑的圓（除去圓與BC的交點）。

52.提示：由題意可知點P 在圓上，即（—2—3）2+（l+l）2=r2，可得r=

53.提示：（l）設圓心P（x，y），圓P 的半徑為r。由題設可得y2+2=r2，x2+3=r2，于是可得y2+2=x2+3。

故圓心P的軌跡方程為y2—x2=l。

（2）設P（x0，y0），由已知得又點P在曲線y2—x2=l上，從而可得

（責任編輯 郭正華）