■畢寧遠(yuǎn)

圓的方程常見經(jīng)典考題分類賞析

■畢寧遠(yuǎn)

圓是高中數(shù)學(xué)的常見圖形，圓的方程是高考的?？键c(diǎn)。在解決圓的方程問題的過程中，要體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

題型1：求圓的方程問題

求圓的方程的常見方法：（l）幾何法，利用圓的一些常用性質(zhì)和定理求出圓的相關(guān)量。如圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上，圓心在任意弦的中垂線上，兩圓相切時(shí)切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線。（2）代數(shù)法，根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量。一般地，與圓心和半徑有關(guān)的問題，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式。

例 1 已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是____，半徑是____。

解：由已知方程表示圓，可得a2=a+2，解得a=2或a=—l。

當(dāng)a=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件。

當(dāng)a=—l時(shí)，原方程為x2+y2+4x+8y—5=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y+4）2=25，此方程表示以（—2，—4）為圓心，半徑為5的圓。

綜上可知，所求的圓心坐標(biāo)為（—2，—4），半徑為5。

跟蹤訓(xùn)練1：經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，—2），且圓心在直線2x—y—3=0上的圓的方程為____。

提示：（法l）因?yàn)閳A過 A（5，2），B（3，—2）兩點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上。容易求得線段AB的垂直平分線方程為y=

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—2）2+（y—l）2=l0。

（法2）設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F＞0），其圓心坐標(biāo)為解此方程組可得D=—4，E=—2，F(xiàn)=—5。

故所求圓的一般方程為x2+y2—4x—2y—5=0。

題型2：與圓有關(guān)的最值問題

與圓有關(guān)的最值問題是高考命題的熱點(diǎn)，其考查的重點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

例 2 已知M 為圓C：x2+y2—4x—l4y+45=0上任意點(diǎn)，且點(diǎn)Q（—2，3）。

（l）求|MQ|的最大值和最小值。

解：由圓C：x2+y2—4x—l4y+45=0，可得（x—2）2+（y—7）2=8，所以圓心C 的坐標(biāo)為（2，7），半徑r=2

設(shè)直線MQ的方程為y—3=k（x+2），即kx—y+2k+3=0，則

跟蹤訓(xùn)練2：已知從圓C：（x+l）2+（y—2）2=2外一點(diǎn)P（xl，yl）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為 M，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為____。

提示：如圖l所示，圓C：（x+l）2+（y—2）2=2，可知圓心C（—l，2），半徑

圖l

當(dāng)直線PO垂直于直線2x—4y+3=0，即直線PO的方程為2x+y=0時(shí)小，此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn)。容易得到P點(diǎn)的坐標(biāo)為

題型3：與圓有關(guān)的軌跡問題

與圓有關(guān)的軌跡問題的常見解法：（l）直接法，根據(jù)題設(shè)條件列出方程求解。（2）定義法，根據(jù)圓的定義求解。（3）幾何法，利用圓的性質(zhì)求解。（4）代入法，找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解。

例3 已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A（2，0），B（l，l）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q 為圓上的動(dòng)點(diǎn)。

（l）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程。

（2）若∠PBQ=90°，求線段PQ 中點(diǎn)的軌跡方程。

解：（l）設(shè)AP 的中點(diǎn)為M（x，y）。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x—2，2y）。

因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上，所以（2x—2）2+（2y）2=4。

故所求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x—l）2+y2=l。

（2）設(shè)PQ 的中點(diǎn)為N（x，y）。

在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|。

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON（圖略），則ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，可得x2+y2+（x—l）2+（y—l）2=4。

故所求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2—x—y—l=0。

跟蹤訓(xùn)練3：已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且點(diǎn)A（—l，0），B（3，0）。

求：（l）直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。

（2）直角邊BC中點(diǎn)M 的軌跡方程。

提示：（l）（法l）設(shè)頂點(diǎn)C（x，y）。

因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠—l。

故所求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2—2x—3=0（x≠3且x≠—l）。

（法2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D。

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D（l，0）。

由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D（l，0）為圓心，2為半徑的圓（由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)）。

故直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為（x—l）2+y2=4（x≠3且x≠—l）。

（2）設(shè)點(diǎn) M（x，y），點(diǎn)C（x0，y0）。

由點(diǎn)B（3，0），M 是線段BC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即得x=2x—3，y=2y。00

由（l）知，點(diǎn)C 在圓（x—l）2+y2=4（x≠3且x≠—l）上運(yùn)動(dòng)，將x0=2x—3，y0=2y代入該方程得（2x—4）2+（2y）2=4，即（x—2）2+y2=l（x≠3且x≠—l）。

故所求動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程為（x—2）2+y2=l（x≠3且x≠—l）。

題型4：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題

（l）圓的軸對(duì)稱性，即圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱。（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓的圓心連線的中點(diǎn)。（3）圓關(guān)于直線對(duì)稱，求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線。

例 4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2+y2+4x—2y+m=0與直線x—3y+3—2=0相切。

（l）求圓C的方程。

（2）若圓C上有兩點(diǎn)M，N 關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，且|MN|=23，求直線MN 的方程。

解：（l）將圓C：x2+y2+4x—2y+m=0的方程化為圓C：（x+2）2+（y—l）2=5—

m。

因?yàn)閳AC：x2+y2+4x—2y+m=0與直線相切，所以圓心（—2，l）到直線的距離

故所求圓C 的方程為（x+2）2+（y—l）2=4。

（2）若圓C上有兩點(diǎn)M，N 關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，則可設(shè)直線MN的方程為2x—y+c=0。

因?yàn)閨MN|=23，半徑r=2，所以圓心（—2，l）到直線MN 的距離為

跟蹤訓(xùn)練4：圓（x—l）2+（y—2）2=l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為（ ）。

A.（x—2）2+（y—l）2=l

B.（x+l）2+（y—2）2=l

C.（x+2）2+（y—l）2=l

D.（x—l）2+（y+2）2=l

提示：已知圓的圓心C（l，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為C′（2，l），所以圓（x—l）2+（y—2）2=l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓C′的方程為（x—2）2+（y—l）2=l。應(yīng)選A。

題型5：直線與圓的位置關(guān)系問題

直線與圓的位置關(guān)系問題的處理方法：（l）幾何法，利用d與r的關(guān)系求解。（2）代數(shù)法，利用判別式求解。（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法，利用直線恒過定點(diǎn)求解。

例 5 已知點(diǎn) M（a，b）在圓O：x2+y2=l外，則直線ax+by=l與圓O的位置關(guān)系是（ ）。

A.相切 B.相交

C.相離 D.不確定

解：因?yàn)辄c(diǎn) M（a，b）在圓O：x2+y2=l外，所以a2+b2＞l。

跟蹤訓(xùn)練5：圓（x—3）2+（y—3）2=9上到直線3x+4y—ll=0的距離等于l的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）。

A.l B.2 C.3 D.4

如圖5所示，圓上到直線的距離為l的點(diǎn)有3個(gè)。應(yīng)選C。

圖2

題型6：圓與圓的位置關(guān)系問題

判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系求解。

例 6 已知圓M：x2+y2—2ay=0（a＞0）截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)是則圓M 與圓N：（x—l）2+（y—l）2=l的位置關(guān)系是（ ）。

A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離

所以圓M 的方程為x2+y2—4y=0，即x2+（y—2）2=4，其圓心坐標(biāo)為 M（0，2），半徑rl=2。

又因?yàn)閳A N：（x—l）2+（y—l）2=l的圓心N（l，l），半徑r2=l，所以|MN|=

因?yàn)閞l—r2=l，rl+r2=3，l＜|MN|＜3，所以兩圓相交。應(yīng)選B。

（法2）由x2+y2—2ay=0（a＞0），可得x2+（y—a）2=a2（a＞0），所以圓 M 的圓心為M（0，a），半徑rl=a。

以下同法l（略）。

跟蹤訓(xùn)練6：已知兩圓的方程分別為x2+y2—2x—6y—l=0，x2+y2—l0x—l2y+m=0。

（l）m取何值時(shí)兩圓外切？

（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？

（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓的公共弦所在的直線方程和公共弦的長(zhǎng)。

提示：因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為（x—l）2+（y—3）2=ll，（x—5）2+（y—6）2=6l—m，所以兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（l，3），（5，

（3）由（x2+y2—2x—6y—l）—（x2+y2—l0x—l2y+45）=0，可得兩圓的公共弦所在的直線方程為4x+3y—23=0。

題型7：圓的切線方程問題

求過定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷定點(diǎn)在圓上還是在圓外，若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線僅有一條；若在圓外，則切線應(yīng)有兩條；若用切線的點(diǎn)斜式方程，不要忽略斜率不存在的情況。求切線長(zhǎng)要利用切線的性質(zhì)，即過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。

例 7 過點(diǎn)（3，l）作圓（x—l）2+y2=r2的切線有且只有一條，則該切線方程為（ ）。

A.2x+y—5=0

B.2x+y—7=0

C.x—2y—5=0

D.x—2y—7=0

解：因?yàn)檫^點(diǎn)（3，l）作圓（x—l）2+y2=r2的切線有且只有一條，所以點(diǎn)（3，l）在圓（x—l）2+y2=r2上。

跟蹤訓(xùn)練7：已知P（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一點(diǎn)，PA 是圓C：x2+y2—2y=0的一條切線，A是切點(diǎn)，若PA的最小長(zhǎng)度為2，則k的值為（ ）。A.3 B.2l 2

C.22 D.2

提示：圓C：x2+y2—2y=0的圓心為C（0，l），半徑r=l。

因?yàn)镻A 是圓C：x2+y2—2y=0的一條切線，A是切點(diǎn)，PA的最小長(zhǎng)度為2，所以圓心到直線kx+y+4=0的距離為5。由點(diǎn)到直線的距離公式可

因?yàn)閗＞0，所以k=2。應(yīng)選D。

題型8：圓的弦長(zhǎng)問題

例 8 已知直線l：x—3y+6=0與圓x2+y2=l2交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作直線l的垂線與x軸交于C，D 兩點(diǎn)，則|CD|=____。

解：（法l）由圓x2+y2=l2，可知圓心O（0，0），半徑r=

如圖3所示，過 C 作CE⊥BD于點(diǎn)E，則|CE|=|AB|=

圖3

（法2）設(shè)點(diǎn)A（xl，yl），B（x2，y2）。

令y=0，分別得xC=—2，xD=2，所以|CD|=2—（—2）=4。

跟蹤訓(xùn)練8：設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2—2ay—2=0相交于A，B 兩點(diǎn)，若則圓C的面積為____。

提示：圓C：x2+y2—2ay—2=0，即圓C：x2+（y—a）2=a2+2，可知圓心坐標(biāo)為C（0，a）。

題型9：圓系方程問題

具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程。常見的圓系方程有以下幾種：①同心圓系方程：（x—a）2+（y—b）2=r2（r＞0），其中a，b 是定值，r是參數(shù)。②半徑相等的圓系方程：（x—a）2+（y—b）2=r2（r＞0），其中r是定值，a，b 是參數(shù)。③過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0（λ∈R）。④過圓Cl：x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程：x2+y2+Dlx+Ely+Fl+λ·（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ≠—l，其中不含圓C2），當(dāng)λ=—l時(shí)，圓系方程表示直線l：（Dl—D2）x+（El—E2）y+（Fl—F2）=0。若兩圓相交，則直線l為兩圓相交弦所在直線；若兩圓相切，則直線l為公切線。

例 9 求以相交圓Cl：x2+y2+4x+y+l=0及C2：x2+y2+2x+2y+l=0的公共弦為直徑的圓的方程。

解：由兩個(gè)圓的方程相減，得2x—y=0即為公共弦所在的直線方程。

顯然圓C2的圓心（—l，—l）不在此直線上，故可設(shè)所求圓O的方程為x2+y2+4x+y+l+λ（x2+y2+2x+2y+l）=0（λ∈R，λ≠—l），即（l+λ）x2+（l+λ）y2+2（2+λ）x+（l+2λ）y+（l+λ）=0，其圓心O 的坐標(biāo)

跟蹤訓(xùn)練9：在以k為參數(shù)的圓系：x2+y2+2kx+（4k+l0）y+l0k+20=0中，試證兩個(gè)不同的圓相內(nèi)切或相外切。

提示：將原方程轉(zhuǎn)化為（x+k）2+（y+2k+5）2=5（k+l）2。

題型10：圓的創(chuàng)新問題

創(chuàng)新問題是高考的命題熱點(diǎn)，創(chuàng)新問題的特點(diǎn)是背景新穎，信息量大，通過它可考查同學(xué)們獲取信息以及解決問題的能力。

例10 兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行直線和圓“相交”；若兩條平行直線和圓沒有公共點(diǎn)，則稱兩條平行直線和圓“相離”；若兩條平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行直線和圓“相切”。已知直線ll：2x—y+a=0，l2：2x—y+a2+l=0和圓x2+y2+2x—4=0相切，則a的取值范圍是（ ）。

A.a＞7或a＜—3

當(dāng)兩條平行直線和圓相切時(shí)，可把以上兩種情況下求得a的范圍取并集后，再取此并集的補(bǔ)集，即為所求。故所求a的取值范圍是—3≤a≤—6或6≤a≤7。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練10：已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），對(duì)函數(shù)y=g（x）（x∈I），定義g（x）關(guān)于f（x）的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)（x，h（x）），（x，g（x））關(guān)于點(diǎn)（x，f（x））對(duì)稱。

提示：g（x）的圖像表示圓的一部分（圖略），即x2+y2=4（y≥0）。

當(dāng)直線y=3x+b與半圓相切時(shí)，滿足h（x）＞g（x）。

根據(jù)圓心（0，0）到直線y=3x+b的距離是圓的半徑可得解得b=

浙江紹興市上虞區(qū)春暉中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）