程晨 史澤林 崔生成 徐青山

1)(中國科學院安徽光學精密機械研究所,中國科學院大氣成分與光學重點實驗室,合肥 230031)

2)(中國科學技術大學研究生院科學島分院,合肥 230031)

3)(中國科學院沈陽自動化研究所,沈陽 110016)

改進的單次散射相函數(shù)解析表達式?

程晨1)2)史澤林3)崔生成1)徐青山1)?

1)(中國科學院安徽光學精密機械研究所,中國科學院大氣成分與光學重點實驗室,合肥 230031)

2)(中國科學技術大學研究生院科學島分院,合肥 230031)

3)(中國科學院沈陽自動化研究所,沈陽 110016)

散射,相函數(shù),Henyey-Greenstein相函數(shù),新的Henyey-Greenstein相函數(shù)

1 引 言

大氣輻射傳輸模型是大氣科學研究的主要課題之一,它是聯(lián)系大氣物理屬性和輻射屬性的重要途徑.大氣輻射傳輸模型的主要研究方法有解析數(shù)值法和統(tǒng)計模擬法,研究過程中需要考慮大氣光學厚度、氣體成分的單次散射反照率以及粒子的單次散射相函數(shù),其中散射相函數(shù)的準確性和復雜程度直接影響到輻射傳輸模型的計算結果和計算效率[1?4].因此,對相函數(shù)的研究主要集中在縮短相函數(shù)的計算時間以及提高相函數(shù)的準確性.

目前常用于輻射傳輸模擬過程中的相函數(shù)計算方法有:Legendre多項式展開法、Mie理論遞推公式計算方法、相函數(shù)調整方法以及Henyey-Greenstein(H-G)相函數(shù)近似法[5,6].Legendre多項式展開法主要用于離散縱坐標法求解輻射傳輸問題中,對于球形小粒子,相函數(shù)只需要很少的展開項就可以求解出它的散射問題;對于非球形粒子及大粒子,它們的前向散射峰異常尖銳,需要數(shù)千項的展開式才能收斂,且計算復雜、計算量巨大[7,8].Mie散射計算過程中將粒子假設為球體,對Mie理論直接編程時涉及到復變量Bessel函數(shù)的計算,因為粒子尺度限制,即使粒子為球形,散射角度也不能由幾何光學或者格林公式[9]獲得的漸近表達式足夠準確的近似[10].相函數(shù)調整方法的基本思想是將相函數(shù)近似為狄拉克Delta函數(shù)和截斷相函數(shù)的線性組合,并通過相似性原理[11,12]得到新的大氣光學參數(shù)[13].以上3種相函數(shù)計算方法都存在計算時間長、效率低的問題.為減小計算時間、提高計算效率,研究粒子的輻射傳輸特性時通常使用相函數(shù)的近似解析表達式.H-G相函數(shù)是最普遍適用的相函數(shù)近似解析表達式[14],該相函數(shù)公式簡單、數(shù)值計算方便,便于求解出關于散射角隨機抽樣的逆函數(shù),可方便地應用于蒙特卡羅方法關于散射方向抽樣的問題.但該近似方法仍然存在諸多局限,例如不能很好地描述后向散射問題[15].為了更好地描述不同的物理模型及物理問題提出了多種改進的H-G相函數(shù)近似方法,其中為了能很好地模擬后向散射問題,Cornette和Shanks[16]利用Rayleigh相函數(shù)與H-G相函數(shù)推導出Henyey-Greenstein*(H-G*)相函數(shù).盡管如此,有些情況下H-G*相函數(shù)仍不能很好地模擬真實的散射相函數(shù).為了能夠得到最大程度符合粒子散射特性的散射相函數(shù),結合Rayleigh相函數(shù)和H-G相函數(shù),本文提出了一種新的散射相函數(shù)解析式(RH-G*相函數(shù)).為了驗證RH-G*相函數(shù)在描述單個粒子及多分散系粒子散射特性的適用性,綜合比較了單個粒子的RH-G*相函數(shù)與H-G相函數(shù)、H-G*相函數(shù)之間的偏離程度,并分析了多種氣溶膠模式下RH-G*相函數(shù)與多分散系Mie散射相函數(shù)、H-G*相函數(shù)的吻合度,為更加準確、高效地計算輻射傳輸特性提供理論支持.

2 散射相函數(shù)

散射相函數(shù)描述的是入射能量經(jīng)粒子散射后的能量角分布.入射方向與散射方向之間的夾角θ稱為散射角,為了更好地描述散射能量隨散射角的變化,有必要引入一個稱之為相函數(shù)的無量綱參數(shù)p(cosθ),

按此定義,相函數(shù)是歸一化的.按照定義計算粒子的散射相函數(shù),可以保證計算結果的精度,但計算效率不夠.為此,研究過程中常采用相函數(shù)的解析表達式來近似計算散射相函數(shù).相函數(shù)解析表達式的優(yōu)點是大大提高了計算效率,且在一定程度上符合實際的散射規(guī)律,但總體來說計算精度稍有不足[6,16].這就要求發(fā)展更加適合實際散射規(guī)律的相函數(shù)解析表達式.

2.1 Mie散射相函數(shù)

借助于振幅散射矩陣,球形粒子的散射相函數(shù)p表示為[17]

其中,k是波數(shù);是散射截面,X是矢量散射振幅,?是立體角;an和bn為復函數(shù);S1和S2為復振幅.S1和S2的計算公式如下:

其中πn和τn為角度依賴函數(shù),可以通過遞推關系求解.對于滿足f(r)分布的多分散粒子系,散射相函數(shù)為[18]

其中p(λ,r,m,θ)是已知粒子尺寸參數(shù)及復折射率的單個粒子散射相函數(shù),λ是波長,r是粒子半徑,m是復折射率.

2.2 H-G相函數(shù)

Mie散射相函數(shù)的計算過程比較復雜,為了計算方便,常用表達形式簡單、數(shù)值計算方便的H-G相函數(shù)來替代[10]:

其中θ是散射角,g是不對稱因子.H-G相函數(shù)可以較好地模擬前向散射峰,但是不能正確模擬后向散射,且當g→0時,該相函數(shù)不能還原成瑞利散射相函數(shù):

2.3 雙H-G相函數(shù)

為了克服H-G相函數(shù)不能正確模擬后向散射這個缺陷,Cornette和Shanks[16]提出使用雙H-G相函數(shù)(DH-G相函數(shù))來近似:

DHG相函數(shù)雖然可以較好地體現(xiàn)粒子的散射特征,但是解析式是由3個參數(shù)確定的:f是一個正的參數(shù);g1是正值,表示前向散射部分;g2是負值,表示后向散射部分,使用起來比較復雜,不適合實際應用.當g→0時,為了將雙H-G相函數(shù)還原成瑞利散射相函數(shù),前向散射峰和后向散射峰需要相等,即g1=?g2,且f=1/2,但此時兩者之間仍不能很好地符合,最小均方根誤差為0.15[16].且H-G相函數(shù)、DH-G相函數(shù)只用于粒子的尺寸參數(shù)不是太小的情況.

2.4 H-G*相函數(shù)

為了能很好地模擬后向散射問題,Cornette和Shanks[16]利用Rayleigh相函數(shù)與H-G相函數(shù)推導出了修正的H-G相函數(shù),即H-G*相函數(shù):

該相函數(shù)在一定程度上彌補了H-G相函數(shù)和DHG相函數(shù)的不足,且只有一個自由參數(shù)g,在g→0時,與瑞利散射相函數(shù)符合;當g→1時,近似于H-G相函數(shù).

3 本文提出的新的散射相函數(shù)

比較H-G*和H-G相函數(shù)會發(fā)現(xiàn),H-G*在前向散射部分修正較多,而在后向散射部分修正較少,不能很好地模擬后向散射峰值比較大的粒子的散射特征,例如海洋型氣溶膠[18].為了更好地模擬后向散射峰值比較大的粒子的散射特征,對H-G相函數(shù)解析式與瑞利散射相函數(shù)解析式按照不對稱因子進行修正.將新的相函數(shù)表示成H-G相函數(shù)和瑞利相函數(shù)以及不對稱因子的多項式的和,其中H-G相函數(shù)和瑞利相函數(shù)的系數(shù)是不對稱因子g的多項式.要求在角度大于90?時,增大后向散射峰值,且在g→0時,新的相函數(shù)與瑞利散射相函數(shù)符合;當g→1時,新的相函數(shù)近似于H-G相函數(shù).基于這些考慮,改進的散射相函數(shù)(RH-G*)為

該相函數(shù)在一定程度上增大了后向散射峰,解析式形式簡單,只有一個自由參數(shù)g.

圖1給出了不對稱因子從0到0.9(間隔為0.1)時,H-G相函數(shù)、H-G*相函數(shù)和RH-G*相函數(shù)隨角度變化的數(shù)值結果.

圖1 (a)—(j)是RH-G*相函數(shù)與H-G*相函數(shù)、H-G相函數(shù)的角分布對比Fig.1.(a)–(j)Comparison of RH-G*phase function,H-G*phase function and H-G phase function.

由圖1可知:1)三種相函數(shù)角分布變化趨勢相同,表現(xiàn)在小角度的前向散射峰值較強,后向散射峰值較弱,且隨著不對稱因子g的增大,都有前向散射峰增大、后向散射峰減小的趨勢;2)相對于H-G相函數(shù)和H-G*相函數(shù),RH-G*相函數(shù)增大了后向散射的峰值;3)當g=0時,RH-G*相函數(shù)和H-G*相函數(shù)完全重合,但與H-G相函數(shù)偏離程度較大;當g6 0.5時,三種相函數(shù)的前向散射峰值顯現(xiàn)出很大的差異,但RH-G*相函數(shù)與H-G*相函數(shù)后向散射部分符合較好;當g>0.5時,則相反.總體來說,RH-G*相函數(shù)提高了后向散射峰值.

白璐等[19]提出了由于海洋型氣溶膠的后向散射峰值比較大,采用H-G相函數(shù)及H-G*相函數(shù)難以給出較好的擬合結果;朱孟真等[20]給出了常見或霾天氣條件下紫外光散射相函數(shù)的比較,結果顯示H-G相函數(shù)及H-G*相函數(shù)的數(shù)值在120?以后與Mie散射的計算結果差別比較大,Mie散射相函數(shù)有比較明顯的后向散射峰,說明提高相函數(shù)解析式的后向散射峰值是很有必要的,RH-G*相函數(shù)能夠合理地描述單個粒子散射輻射能量隨角度的變化.

4 多種氣溶膠模式下Mie散射相函數(shù)與RH-G*相函數(shù)的對比

顯然,RH-G*相函數(shù)可以很好地描述單個粒子散射輻射能量的角分布特征.相函數(shù)還必須能夠用于輻射傳輸問題的求解,因此需要能夠模擬多分散系粒子散射能量的角分布.

Derimendjian[21,22]利用Mie散射理論描述了三種氣溶膠類型(近似的大陸型霾C(Haze C)、海洋型霾M(Haze M)和積云C.1(Cloud C.1))的散射輻射能量的分布特征.海洋型霾M最初是為海洋線和沿海地區(qū)的氣溶膠設計的;積云C.1類似薄的積云.近似大陸型霾C是不連續(xù)分布的;海洋型霾M和積云C.1是按照指數(shù)型公式分布(廣義Γ分布):

其中,a表示粒子濃度;r是粒子半徑;α,b,γ是依氣溶膠種類不同而定的常數(shù).表1列舉了這三種氣溶膠類型尺寸分布的典型參數(shù).

表1 粒子尺度分布參數(shù)Table 1.Particle-size distributions.

非偏振多分散系Mie散射相函數(shù)計算過程選取的參數(shù)(波長、粒子尺度、復折射率)如表2所列:λ是波長,Re是折射率實部,Im是折射率虛部,參數(shù)g是散射不對稱因子.

表2 粒子光學參數(shù)Table 2.Particle optical properties.

圖2—圖4給出了積云C.1、近似大陸型霾C和海洋型霾M三種模式下多分散系Mie散射相函數(shù)、RH-G*相函數(shù)和H-G*相函數(shù)的角分布.虛線表示Mie散射相函數(shù);虛線加點表示RH-G*相函數(shù);實線加星號表示H-G*相函數(shù).

圖2積云C.1模式中,RH-G*相函數(shù)和H-G*相函數(shù)的前向散射峰值很接近;波長小于5.3μm時,RH-G*相函數(shù)與多分散系Mie散射相函數(shù)在后向散射部分的符合程度高.圖3近似大陸型霾C模式中,總體而言RH-G*相函數(shù),對多分散系Mie散射相函數(shù)的擬合效果要優(yōu)于H-G*相函數(shù),尤其是在大角度后向散射上.圖4中波長大于10μm時,海洋型霾M模式的后向散射峰值采用RH-G*相函數(shù)能得到較好的擬合結果.

總之,1)RH-G*相函數(shù)彌補了H-G*相函數(shù)描述后向散射峰尖銳程度的不足,特別是短波部分;2)RH-G*相函數(shù)提高了與多分散系Mie散射相函數(shù)的符合程度,特別是在前向散射部分;3)由于粒子尺度通常小于λ=100μm很多,散射相函數(shù)近似于瑞利散射相函數(shù),此時RH-G*相函數(shù)精確地描述了這一現(xiàn)象,其隨角度變化的曲線幾乎與多分散系Mie散射相函數(shù)的曲線重合;4)對于后向散射特征比較明顯的氣溶膠模式,RH-G*相函數(shù)更接近于Mie散射相函數(shù).

圖2 (a)—(j)積云C.1的Mie散射相函數(shù)、H-G*相函數(shù)與RH-G*相函數(shù)的角度分布對比Fig.2.(a)–(j)Comparison of Mie phase function for the Cloud C.1 model,H-G*phase function and RH-G*phase function.

圖3 (a)—(j)近似大陸型霾C的Mie散射相函數(shù)、H-G*相函數(shù)與RH-G*相函數(shù)的角度分布對比Fig.3.(a)–(j)Comparison of Mie phase function for the Haze C model,H-G*phase function and RH-G*phase function.

圖4 (a)—(j)海洋型霾M的Mie散射相函數(shù)、H-G*相函數(shù)與RH-G*相函數(shù)的角度分布對比Fig.4.(a)–(j)Comparison of Mie phase function for the Haze M model,H-G*phase function and RH-G*phase function.

出現(xiàn)上述結果的原因如下:1)相同波段不同氣溶膠類型的相函數(shù)計算結果不同,這主要是因為各種氣溶膠類型的不對稱因子g存在差異,不對稱因子主要受粒子尺度因子a(a=πd/λ,d是粒子直徑,λ是入射波長)和光學常數(shù)折射率的影響,本文中三種氣溶膠類型的粒子尺度和折射率不同,所以計算結果存在差異,尺度因子越小,相函數(shù)隨角度變化曲線的對稱性越強,所以波長為100μm時,各個曲線的對稱性是最強的;2)相函數(shù)解析式與Mie散射相函數(shù)的計算結果存在差異的原因是Mie散射相函數(shù)是由Mie散射參數(shù)和n階Legendre多項式表示的,Mie散射參數(shù)反映了電場振蕩和磁場振蕩對散射的影響,而相函數(shù)解析式中將Mie散射參數(shù)近似為與不對稱因子有關的多項式,所以RH-G*相函數(shù)和H-G*相函數(shù)隨角度的變化曲線相對比較平滑,且與Mie散射相函數(shù)的計算結果存在差異;3)H-G*相函數(shù)和RH-G*相函數(shù)在相同波段下計算結果存在差異時主要原因在于RH-G相函數(shù)是通過H-G相函數(shù)與不對稱因子和散射角有關的多項式的和來描述散射過程的,不對稱因子增大時,RH-G*相函數(shù)在前向的修正較多,后向的修正較少,但是前向和后向的值都是增大;H-G*相函數(shù)是以不對稱因子和散射角有關的多項式作為H-G相函數(shù)的系數(shù)來描述散射過程的,不對稱因子越大,修正的越少,所以RH-G*相函數(shù)與H-G*相函數(shù)之間存在差異.

為了進一步說明RH-G*相函數(shù)提高大角度后向散射的合理性,表3比較了H-G*相函數(shù)、RH-G*相函數(shù)與多分散系Mie散射相函數(shù)在角度大于90?時的均方根差值.對比時,角度間隔為5?,均方根誤差表示為是散射角θ處不同相函數(shù)解析式計算的值,pi(θ)是對應散射角θ下Mie散射相函數(shù)的計算值.表中列舉出了三種氣溶膠模式中,RH-G*相函數(shù)與Mie散射相函數(shù)的均方根差值小于H-G*相函數(shù)與Mie散射相函數(shù)的有22個,占總數(shù)的73.3%,說明大部分情況下,RH-G*相函數(shù)在大角度后向散射上與Mie散射相函數(shù)的符合程度較好.因此,RH-G*相函數(shù)提高大角度后向散射是合理的、必要的.

表3 多分散系氣溶膠粒子H-G*相函數(shù)和RH-G*相函數(shù)與Mie散射相函數(shù)的方均根誤差比較Table 3.Comparisons of the root-mean-square error between the RH-G*phase function,the H-G*phase function and the Mie-sacttering phase function.

5 結 論

本文提出了一種新的單次散射相函數(shù)(RH-G*相函數(shù))的解析表達式,合理地提高了后向散射峰值,公式簡單,計算方便.多種氣溶膠模式下,RH-G*相函數(shù)與多分散系Mie散射相函數(shù)的擬合效果優(yōu)于H-G*相函數(shù),尤其是后向大角度方向上.RH-G*相函數(shù)模擬后向散射峰值比較大的粒子的散射特征有明顯的效果,對準確模擬輻射傳輸過程具有重要意義.但新的相函數(shù)不能很好地求解出散射角隨機抽樣的逆函數(shù),所以不能很好地用于蒙特卡羅方法中.

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Modi fied analytic expression for the single-scattering phase function?

Cheng Chen1)2)Shi Ze-Lin3)Cui Sheng-Cheng1)Xu Qing-Shan1)?

1)(Key Laboratory of Atmospheric Composition and Optical Radiation,Anhui Institute of Optics and Fine Mechanics,Chinese Academy of Sciences,Hefei 230031,China)

2)(Science Island Branch of Graduate School,University of Science and Technology of China,Hefei 230031,China)

3)(Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences,Shenyang 110016,China)

6 April 2017;revised manuscript

11 May 2017)

In electromagnetic radiative transfer calculation,the accuracy and the computation time are usually determined by the representation of single-scattering phase function.Accurate calculation is time consuming even for spherical particle,thus,an analytic representation is commonly adopted to approximate the exact phase function and then accelerate the calculation.Most widely used single-scattering phase functions are the Henyey-Greenstein phase function and modi fied Henyey-Greenstein phase function(Henyey-Greenstein*).Although the Henyey-Greenstein phase function and the Henyey-Greenstein*phase function can represent the forward-scattering peak of Mie-scattering phase function well,they fail to reproduce the backscattering behavior,limiting the accuracy of the calculation.In order to better fit exact calculations and simulate the backward-scattering peak,we develop a new analytic expression based on the fundamental theory of electromagnetic scattering and radiation transmission.This phase function is an algebraic expression with one single free parameter(asymmetry factor),and can be expanded into Legendre polynomials.The new phase function converges to the Rayleigh phase function when the asymmetry factor approximates to 0,and it can approach to the Henyey-Greenstein phase function as the asymmetry factor is about 1.We compare the Henyey-Greenstein phase function,the Henyey-Greenstein*phase function,and the new phase function for different asymmetry factors,and f i nd that the new phase function provides a more realistic description for the unpolarized light scattering from small particles.Furthermore,the calculated value for the ratio of the scattering intensity at 90 degree to that in the backward direction is more reasonable.We also investigate the effectiveness by approximating the scattering from polydispersed particles through comparing the new phase function,the Henyey-Greenstein*phase function,and the Mie-scattering phase function for three types of Derimendjian’s polydispersions.Results show that the new phase function fits the Mie-scattering phase function much better than the Henyey-Greenstein*phase function.For the new phase function,the root-mean-square error is small for 73.3%data.By contrast,only 26.7%data fit the Mie-scattering phase function well for the Henyey-Greenstein*phase function.Similarly,the effectiveness of new function is most significant when calculating the ratio of the scattering intensity at 90 degree to that in the backward direction.In summary,the new Henyey-Greenstein*phase function provides a more accurate calculation for the scattering intensity in the backward direction,and is conducive to electromagnetic radiative transfer calculation.Furthermore,because the proposed phase function has the same basic form as the Heny-Greenstein phase function,reformatting radiative transfer model in terms of the new phase function should require relatively little effort.

scattering,phase function,Henyey-Greenstein phase function,new Henyey-Greenstein phase function

PACS:02.30.–f,03.65.Nk,07.60.Rd,42.25.BsDOI:10.7498/aps.66.180201

*Projectsupported by the ChinaSpecial Fund for Meteorological Research in the Public Interest(Grant No.GYHY201106002-03)and the National Natural Science Foundation of China(Grant No.41576185).

?Corresponding author.E-mail:qshxu@aiofm.ac.cn

(2017年4月6日收到;2017年5月11日收到修改稿)

單次散射相函數(shù)對電磁輻射傳輸模擬過程的準確性和計算效率有重要的影響.基于電磁散射與輻射傳輸中的基本理論,對單次散射相函數(shù)的解析表達式進行了研究,提出了一種新的單次散射相函數(shù)解析表達式.比較了單個粒子的Henyey-Greenstein相函數(shù)、Henyey-Greenstein*相函數(shù)與新的相函數(shù)隨角度的分布,發(fā)現(xiàn)新的散射相函數(shù)提高了后向散射峰值,可以更合理地描述單個粒子的散射特性.按三種氣溶膠粒子譜分布模式計算了Henyey-Greenstein*相函數(shù)和新的相函數(shù)對應的數(shù)值結果,并與多分散系Mie散射相函數(shù)進行對比,發(fā)現(xiàn)新的相函數(shù)提高了與多分散系Mie散射相函數(shù)的符合程度.研究表明,對于大角度(大于90?)后向散射,新的相函數(shù)與Mie散射相函數(shù)均方根差較小的占73.3%,高于Henyey-Greenstein*相函數(shù)的26.7%,證明了新的相函數(shù)可以顯著提高后向散射峰值.新的相函數(shù)對準確模擬輻射傳輸過程具有重要意義.

10.7498/aps.66.180201

?氣象專項課題(批準號:GYHY201106002-03)和國家自然科學基金(批準號:41576185)資助的課題.

?通信作者.E-mail:qshxu@aiofm.ac.cn