彭偉來,張學敬,張 煒,何子述

(1.電子科技大學電子工程學院,四川成都611731;2.電子信息控制重點實驗室,四川成都610036)

0 引言

陣列信號處理作為信號處理的一個重要分支,具有波束控制靈活、信號增益高、抗干擾能力強和空間分辨能力高等優(yōu)點[1]。而波束賦形是陣列信號處理的一個重要研究方向,其研究廣泛應用于無線通信、聲吶、雷達和麥克風語音陣列處理等領域[2-9]。經(jīng)過多年研究,學者們提出了許多波束賦形算法。道爾夫-切比雪夫方法可在主瓣寬度確定的情況下來獲得最低的旁瓣電平,但該算法只適用于均勻陣列[10]。對于非均勻任意陣列,遺傳算法[11]、粒子群算法[12]、模擬退火算法[13]等全局優(yōu)化變量的算法被提出來。然而,由于這類算法的計算復雜度較高、耗時間較長,使得在實際工程中無法得到廣泛應用。另外,隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展,利用凸優(yōu)化工具實現(xiàn)波束賦形的方案被廣泛采用并取得了一定成果。如二階規(guī)劃法和半正定規(guī)劃算法[14],可以解決陣列帶來的不確定性,具有較強的穩(wěn)健性。但上述算法均無法實現(xiàn)波束響應的靈活控制,針對此問題,文獻[15]提出一種基于自適應理論的精確陣列響應控制(Accurate Array Response Control,A2RC)算法。該算法簡單靈活,可以實現(xiàn)任意角度的精確響應控制以及任意形狀的波束賦形。

盡管如此,上述算法需要在各個陣元上施加移相器,無法應用于分子陣的陣列。實際上,對于大型相控陣,由于物理體積和成本因素不可能在每一陣列單元均采用延時器,故通常都采用子陣劃分的方法實現(xiàn)陣列饋電,這不僅使得整個天線陣列的結構簡單、成本降低,而且陣列的方向特性又能得到保證[16]。

子陣劃分后對子陣級數(shù)字波束的研究目前主要在于子陣級波束形成,對波束指向及多波束比較關注,大多基于粒子群和基因遺傳等復雜算法[17-18]。對如何控制子陣級波束旁瓣響應的研究較少,針對該問題,本文考慮均勻劃分子陣結構陣列,提出了一種基于A2RC的子陣波束賦形方法。該算法通過使用A2RC算法設計能夠滿足子陣級期望歸一化方向圖的子陣級最優(yōu)權向量,使輸出的子陣方向圖能夠滿足給定的輸出期望方向圖,達到精確控制劃分子陣后陣列輸出波束的陣列響應值的目的。所提算法能夠精確控制子陣劃分的輸出波束陣列響應值,滿足多種波束設計要求,具有通用性及簡單靈活性,可用于解決實際工程中的對子陣的波束賦形問題。

1 子陣劃分模型

假設均勻線陣陣元個數(shù)為M,陣元間距為d,則其陣元級導向矢量a(θ)為

式中,?=2πdsinθ/λ為陣元間的空間相位差。

由于大型相控陣中陣元通道數(shù)多,進行陣元級通道處理成本較高,且物理硬件上也較難實現(xiàn),實際工程應用中通常需要進行子陣劃分。考慮較簡單常用的均勻劃分形式,若將均勻線陣均勻劃分為L個子陣,第l個子陣包含Nl個陣元,其示意圖如圖1所示。圖中,表示對子陣的子陣級加權,(·)?表示對括號內(nèi)容取共軛。將均勻線陣劃分為子陣的變換矩陣,為L×M維矩陣:

圖1 均勻劃分子陣結構

變換矩陣中元素tij取值非0即1,每一行代表一個子陣,每行中的非零值個數(shù)代表子陣所包含陣元個數(shù)。假設波束指向為θ0時,其中子陣變換矩陣應包含陣元級的移相器加權?ele(θ0),目的是為了使波束指向期望的波束方向θ0。包含了子陣劃分效果和陣元級移相器加權效果的變換矩陣為

式中,diag(·)為對角化運算符,wele為陣元級加權。信號波長為λ時,其表達式為

子陣級加權為wsub=[w0w1…wL-1]T,其中[·]T表示轉置。子陣級導向矢量asub(θ)可由陣元級導向矢量a(θ)變換得到:

則對應劃分子陣后輸出的子陣方向圖可表示為

式中,(·)H為共軛轉置符號。那么基于子陣的波束賦形問題即是通過設計合適的子陣級權向量wsub使得輸出的子陣方向圖滿足特定要求。接下來將提出一種子陣級的波束賦形方法來解決此問題。

2 子陣A 2 RC波束賦形

由第1節(jié)可知,對于均勻劃分的子陣,只要設計出合適的子陣級的權向量即可實現(xiàn)對子陣結構陣列的子陣級波束賦形。為了達到這個目的,本文借助A2RC算法[15]對輸出的子陣方向圖進行精確方向圖控制。本節(jié)先對A2RC算法進行簡單介紹,然后再闡述基于A2RC的子陣級波束賦形算法。

2.1 A2 RC算法

由陣列自適應理論可知,在最大化信干噪比(SINR)情況下的最優(yōu)權向量為

式中,α為與SINR無關的因子,為噪聲加干擾協(xié)方差矩陣。考慮單個干擾以及白噪聲的情況,Rn+i可以表示為

式中,a(θ0)和a(θi)分別為信號和干擾導向矢量,分別為干擾和噪聲功率。

將式(8)代入式(7),并結合矩陣求逆引理,可得

式中,‖·‖2表示歐幾里得范數(shù)為一個常數(shù),可忽略不計。由此,最優(yōu)權向量可簡化為下面形式:

式中,w0定義為初始權向量,為

而其中μ是一個復數(shù),推出為

對于在陣列波束賦形時需要控制多個方向角度的陣列響應,權向量對每個角度都需要迭代更新,其更新迭代表達式為

式中,wk-1為第k-1步最優(yōu)權向量,θk為第k步需要控制響應的角度。定義歸一化響應為

要使第k個角度θk的響應為期望值ρk,即

滿足式(15)的復數(shù)μk在復數(shù)平面上的軌跡為以cμ為圓心、以rμ為半徑的圓,如圖2所示。圖中,cμ與rμ皆由a(θ0),a(θk),wk-1和ρk確定。文獻[15]證明了為使方向圖偏差最小,取μk的模值

圖2 μk在復平面分布

最小時,也即是最優(yōu)的取值為

定義g(v)=v(1)+jv(2)表示將2×1維的向量第一、第二項表示分別為對應為實部和虛部的復數(shù)。式(16)中:

式中,Qk(i,j)表示矩陣Qk第i行、第j列對應的元素。Qk可由將式(14)代入式(15)后,即得到式(19)計算:

至此,所求的第k步時,使歸一化響應波束方向圖的角度θk響應值為ρk的最優(yōu)權向量為

由式(26)求出的最優(yōu)權向量即可精確控制陣列響應。

從上述分析可知,A2RC算法能夠精確控制任意角度方向的陣列響應,算法簡單且具有較強靈活性。下面將闡述借助A2RC算法來實現(xiàn)子陣的波束賦形的算法。

2.2 子陣A2 RC波束賦形原理

基于子陣的波束賦形問題是通過設計合適的子陣級權向量wsub來使得劃分子陣后輸出的方向圖能夠滿足給定的期望的方向圖。本文考慮均勻劃分的均勻線陣,其模型結構如圖1所示。將均勻線陣均勻劃分為L個子陣,則第l個子陣包含Nl個陣元。子陣陣列中單個子陣正好是一個陣元間隔為半波長的均勻線陣,其導向矢量為

當波束指向為θ0時,單個子陣的靜態(tài)權向量為

由此可以定義單個子陣的陣元的靜態(tài)歸一化方向圖:

陣列劃分為子陣后的通道陣列也是一個陣元間隔為Nl個半波長的均勻線陣,用此通道陣列直接接收信號時的導向矢量為

同樣地,波束指向為θ0時,陣列的靜態(tài)權向量為

定義此通道陣列的歸一化方向圖為

從整個陣列劃分子陣來看,L個單一子陣接收信號疊加后,再經(jīng)L個子陣級的權向量加權,最終得到陣列輸出。在這里,令子陣輸出的歸一化方向圖為

由第1節(jié)可知,子陣級導向矢量asub(θ)可由下式得出:

而其中:

為陣元級陣元導向矢量。將T0,wele,a(θ)代入式(34)中可得

由矩陣理論可知,diag(wele2)(diag(wele2))H=EL×L,EL×L為L×L維單位矩陣;又由wele1,b1(θ)分別為單個子陣中陣元靜態(tài)權向量、導向矢量,此兩項內(nèi)積亦為一個復數(shù)。將式(36)代入式(33)中,可得

由式(37)可以看出,子陣輸出歸一化方向圖可由單個子陣中陣元的歸一化方向圖和子陣級的歸一化方向圖表示。只要選擇合適的子陣級權向量就可以得到劃分子陣后輸出歸一化方向圖。

通過合適的子陣劃分,式(37)中左邊項為給定的陣列輸出期望歸一化方向圖Ldes(θ);右邊第一項L0(θ)由劃分子陣結構確定的單個子陣的靜態(tài)方向圖,且為已知;右邊第二項為可求項,求出的為子陣級期望歸一化方向圖,記作Lsub-des(θ)。將子陣級靜態(tài)方向圖調(diào)整到能夠滿足式(32)確定的Lsub-des(θ)即可在輸出端得到滿足給定的期望歸一化方向圖,即把在輸出端得到歸一化期望方向圖轉化為求滿足子陣級歸一化期望方向圖的子陣級權向量的問題。而子陣級靜態(tài)歸一化方向圖由式(38)給定:

在第k步中,從中判斷出第k次需要控制的角度及其對應的期望響應值ρk。則其角度對應的子陣級導向矢量為

式中,?k=2πdsinθk/λ。利用式(16)可以確定μk,?,進而可求出第k次最優(yōu)權向量:

均勻線陣均勻的劃分子陣后,對子陣輸出波束賦形,只需通過A2RC算法設計出能夠滿足子陣級期望歸一化波束方向圖的子陣級權向量wsub即可。表1為子陣級A2RC算法主要步驟。

表1 子陣級A2 RC波束賦形算法步驟

3 仿真

本節(jié)對所提算法進行仿真驗證,首先針對均勻旁瓣賦形問題,設計了一個旁瓣均勻的輸出期望歸一化方向圖,通過使用所提算法使輸出歸一化方向圖滿足了期望要求,簡述了算法仿真過程,驗證了所提算法的有效性。另外,為了說明所提算法的通用性,考慮了非均勻旁瓣的賦形。

實驗一:子陣級A2RC算法原理仿真

假設陣列為均勻線陣,其陣元個數(shù)為60,陣元間距為0.5λ,λ為信號波長;將此均勻線陣均勻不重疊的劃分為15個子陣,則每個子陣包含陣元個數(shù)為4;波束指向為0,其歸一化期望方向圖的副瓣為均勻副瓣,且不超過-30 d B;初始權向量為b2(θ0)。圖3給出了子陣級A2RC算法過程。

首先,從輸出歸一化期望方向圖和劃分的單個子陣歸一化靜態(tài)方向圖求出子陣級的歸一化期望方向圖,如圖3(a)所示。

然后,開始進入A2RC算法迭代求解合適的子陣級權向量過程。第1步迭代為從子陣級靜態(tài)方向圖中旁瓣值選出高出子陣級歸一化期望方向圖最大的對應角度值,假設其為θ1,在此實驗中θ1=-2.7°。從圖3(b)中可以看出,處理的方向圖在角度θ1的響應值等于子陣歸一化期望方向圖對應值。第2步迭代為從上一步中得到的處理的方向圖中找到比子陣級歸一化期望方向圖高的最大旁瓣值所對應的角度值,設其為θ2,此步中θ2=2.8°。從圖3(c)中可以看出,在此次處理后的方向圖所選中角度處的旁瓣值正好為子陣歸一化期望方向圖對應角度的旁瓣幅度值。經(jīng)過10步迭代后,方向圖的原本高旁瓣都相對趨于子陣歸一化期望方向圖旁瓣水平,如圖3(d)所示;經(jīng)過45步迭代后處理的方向圖所有旁瓣均不高于子陣歸一化期望方向圖,達到了較好的效果,如圖3(e)所示。

最后,由處理的子陣級歸一化方向圖和單個子陣方向圖即可求得最后輸出方向圖,如圖3(f)所示。

圖3 子陣A2 RC算法仿真過程

實驗二:非均勻旁瓣控制

假設陣列均勻線陣,其陣元個數(shù)為64,陣元間距為0.5λ,λ為信號波長;將此均勻線陣均勻不重疊地劃分為16個子陣,則每個子陣包含4個陣元;波束指向為10°;其歸一化期望方向圖的旁瓣為非均勻旁瓣,在15°～25°之間副瓣不超過-35 d B,旁瓣其他位置不超過-30 dB;初始權向量為b2(θ0)。則其經(jīng)過子陣A2RC算法波束賦形后,其效果如圖4所示。

從圖4可以看出,在隨機取得波束指向θ0=10°下,非均勻旁瓣在15°～25°角度范圍內(nèi),其旁瓣幅度值仍然低于期望值,整個波束方向圖能夠滿足給定的期望方向圖。本文所提算法在不同波束指向情況下能夠有效地控制旁瓣,并且可以滿足隨意設計的非均勻旁瓣,能夠適用不同需求的波束賦形,具有一定的通用性。

圖4 非均勻旁瓣賦形

4 結束語

本文基于A2RC算法提出了一種可以應用于均勻劃分子陣的波束賦形方法。該算法把在輸出端設計合適權向量滿足輸出歸一化期望方向圖問題轉化為求取滿足子陣級歸一化期望方向圖的子陣級權向量的問題,借助精確控制陣列響應算法,精確控制子陣級方向圖來達到子陣級期望方向圖,最終達到子陣輸出波束賦形目的。本文所提算法能夠在任意波束指向下控制陣列響應,以滿足多種復雜旁瓣的期望波束,具有廣泛通用性。亦彌補了對均勻劃分子陣波束賦形的空白,因均勻劃分子陣減少了通道數(shù),此算法具有較高工程應用價值。

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