黃正洪

【摘要】在平面幾何學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，則很多與此有關(guān)的問(wèn)題都將迎刃而解.本文敘述了整數(shù)度角的尺規(guī)作圖，過(guò)去在平面上無(wú)法解決的尺規(guī)作圖問(wèn)題，也許大都可以從多一個(gè)維度的探索里得到解決.

【關(guān)鍵詞】整數(shù)度角；尺規(guī)；作圖

在平面幾何學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，則很多與此有關(guān)的問(wèn)題都將迎刃而解，因此，對(duì)這個(gè)方向的探索有一定意義.為了實(shí)現(xiàn)心中的理想，在避開(kāi)先賢們走過(guò)的彎路的同時(shí)，我們考慮到了必須從特殊角的特殊性中來(lái)尋找畫(huà)作的契機(jī)，故在這里有必要對(duì)特殊角在平面幾何學(xué)中的重要地位作一梳理.首先，要確認(rèn)的是：常見(jiàn)的特殊角有30°，45°，60°，90°，120°等等，后來(lái)人們又在尺規(guī)五等分圓周的過(guò)程中認(rèn)知了18°，36°，54°，72°等等也都是特殊角.以上角度其所以被認(rèn)為特殊，是因?yàn)樗鼈兌际悄苡贸咭?guī)作圖的方法畫(huà)得出來(lái)，并且與其有關(guān)的函數(shù)值也都有其特殊性.前面列舉的那些特殊角，在常見(jiàn)常用的一對(duì)三角板或其板角的拼湊上幽然傲立，盡享美譽(yù)，后面列舉的這些特殊角，也只需借助一個(gè)黃金分割的特定方程即x2+x-1=0的功力就可以達(dá)到畫(huà)出的目的，此言下之意即為，以特定方程的有用根x1=5-12為底，以1個(gè)單位之長(zhǎng)為腰，便可以在平面上畫(huà)出一個(gè)等腰三角形，而此等腰三角形的頂角即為36°，兩底角即為72°.反其序而為之，則知頂角為36°的等腰三角形與自身底角平分線所形成的相似三角形的邊長(zhǎng)之比即能造就上述獨(dú)一無(wú)二的一元二次方程.五等分圓周中的尺規(guī)之趣正是由此而生，這二者相輔相成，為數(shù)學(xué)王國(guó)的畫(huà)法樂(lè)園增添光鮮的一筆.說(shuō)到這里，我相信大家對(duì)特殊角的存在有了更為深刻的印象，現(xiàn)在我要說(shuō)的是：對(duì)以上兩組特殊角進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減，并從小到大安排好先后次序就會(huì)出現(xiàn)如下既具體又有規(guī)律的角度：3°，6°，9°，12°，15°，18°，21°，…無(wú)須仔細(xì)推敲，便可認(rèn)定這組特殊角的通項(xiàng)表達(dá)式為n×3°（n=1，2，3，…）.由于特殊角同任意角一樣可以不斷二分，因而，我們又認(rèn)知了更特殊的角有這些特殊角的2n等分角，更更特殊的角還有這些被等分角的和差及其倍角.寫(xiě)到這里，我們相信大家對(duì)特殊角處世的秘密有了更多的了解.值得注意的是：特殊角的通項(xiàng)表達(dá)式從未在已問(wèn)世的資料或期刊中有過(guò)露面，故我們可以認(rèn)定這是一種新的總結(jié)和歸納，這種新的總結(jié)和歸納的意義在于人們從數(shù)學(xué)的角度統(tǒng)一了所有特殊角存在的理義.也只有有了這樣一種有點(diǎn)別開(kāi)生面的理義，我們探索整數(shù)度角的尺規(guī)作圖的思緒才得以霧散云開(kāi).

前面提到的那個(gè)“非尋常手段”并不是建立在二維的平面上，而是建立在三維的空間中，在多一個(gè)維度的助力下，艱難的探索工作又展現(xiàn)了“風(fēng)正一帆懸”的美好景象，由于引導(dǎo)苦舟航進(jìn)的燈塔仍然是無(wú)涯學(xué)海中的尺和規(guī)，故這個(gè)空間作圖的過(guò)程沒(méi)有超出尺和規(guī)的范疇，現(xiàn)在讓我們?cè)诖斯沧R(shí)下來(lái)確診這個(gè)1°角的畫(huà)作方案，看看是否能經(jīng)得起理論和實(shí)踐的考驗(yàn).因其過(guò)程的表述還算清晰，空間的想象亦并不為難，那么如圖所示的內(nèi)容就留給有緣諸君自行畫(huà)出.

（一）從特殊角中選取適當(dāng)大小的一個(gè)角度，本文選取45°作為頂角，選取適當(dāng)長(zhǎng)的AB作為底邊，畫(huà)作等腰三角形ABO.

（二）把等腰三角形ABO放進(jìn)空間直角坐標(biāo)系中，使其頂點(diǎn)O與原點(diǎn)O重合，使其腰OA與OY軸重合，使其底邊AB落在水平面上，此說(shuō)即為把等腰三角形ABO放置在規(guī)定位置的水平面上.定義：如此放置的這個(gè)等腰三角形為本文的基礎(chǔ)三角形，定義：過(guò)該三角形頂點(diǎn)O的垂直于水平面的OZ軸叫立軸.定義：OX軸叫水平軸.如此為之，我們研究的對(duì)象便在空間直角坐標(biāo)系中安了一個(gè)特殊的家.

（三）根據(jù)特殊角的通項(xiàng)表達(dá)式而知42°角是特殊角，我們要用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出這個(gè)頂角為C，C為42°，底邊之長(zhǎng)為AB的等腰三角形.此等腰三角形的畫(huà)法是在平面上預(yù)先畫(huà)作42°角，次畫(huà)與該角的角平分線平行且兩邊相距都為12AB的平行線，然后，連接兩條平行線與42°角的兩條射線的交點(diǎn)，則所形成的等腰三角形ABC即為所求.現(xiàn)在我們要將此等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，其移進(jìn)的方法是：以基礎(chǔ)三角形的底邊AB不動(dòng)作為三角形ABC的底邊，以A為圓心，以預(yù)先畫(huà)作的頂角為42°的等腰三角形的腰為半徑，畫(huà)弧交立軸于C，連接AC和BC，則等腰三角形ABC已移進(jìn)了空間的特殊的家（由于證明CA與CB相等的過(guò)程并不為難，這里省筆且加以認(rèn)定）.此言下之意為，基礎(chǔ)三角形與頂角為42°的等腰三角形在水平面上同底為AB而其頂角點(diǎn)O與C則在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì).

（四）與以上之（三）的操作過(guò)程完全相同.因39°角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，使其頂角D為39°，使其底邊之長(zhǎng)為AB.我們要將這個(gè)等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上三個(gè)等腰三角形在水平面上同底為AB而頂角點(diǎn)D則與前面的兩個(gè)頂點(diǎn)一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì).

（五）與以上之（四）的操作過(guò)程完全相同.因36°角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，使其頂角E為36°，使其底邊之長(zhǎng)為AB.我們要將這個(gè)等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上四個(gè)等腰三角形在水平面上同底為AB而頂角點(diǎn)E則與前面的幾個(gè)頂點(diǎn)一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì).

（六）由于底邊相等的等腰三角形頂角越小的其高越長(zhǎng)，于是我們看到O，C，D，E在立軸上的位置一個(gè)比一個(gè)高.面對(duì)立軸上頂點(diǎn)之攀升，我們的思緒進(jìn)入了一種特殊的數(shù)學(xué)想象，這種想象與攝像的原理不完全相同，其操作方法是：我們要把E到O之間的距離向下壓縮，且要壓縮到與C到O之間的距離一樣長(zhǎng)為止.在此一向下壓縮的過(guò)程中，要理解自E以下的所有角點(diǎn)都在隨勢(shì)而下壓，還要進(jìn)一步理解所有下壓的頂角點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的等腰三角形的腰也是在隨勢(shì)而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的腰長(zhǎng)為止.在這種特別攝像的操控下，以36°為頂角的E點(diǎn)便壓縮到了以42°為頂角的C點(diǎn)的位置.這句話的同義語(yǔ)就是通過(guò)特殊數(shù)學(xué)想象而壓縮了的頂角E已變成了42°的頂角點(diǎn).由于D和C的位置是處在E到O之間，知這二者都是隨勢(shì)而下壓的頂角點(diǎn)，那么我們要問(wèn)，經(jīng)如此壓縮后的D和C所對(duì)應(yīng)的角度變?yōu)榱硕嗌倌?？下面是本文的求解過(guò)程.endprint

（七）欲求D和C壓縮后的頂角點(diǎn)變?yōu)榱硕嗌俣?，就必須求出D和C對(duì)應(yīng)于壓縮段的位置.為此我們要在水平軸上找一點(diǎn)F，使OF=OC，此找點(diǎn)使得本來(lái)在立軸上的OE在壓縮之后成為水平軸上的O到F之間的一段距離.由之前的操作而知這段距離的端點(diǎn)F相當(dāng)于原立軸上的42°角的頂點(diǎn).由于O點(diǎn)是基礎(chǔ)三角形的頂角點(diǎn)，于是知其對(duì)應(yīng)于45°，由于在45°到42°的角頂點(diǎn)之間（即從O到F點(diǎn)之間）還有44°和43°這樣的整數(shù)度頂角點(diǎn)存在，對(duì)此我們心中的數(shù)理共識(shí)是：既然水平軸上的段段及點(diǎn)點(diǎn)都是由壓縮而來(lái)，那么它們與立軸上的三個(gè)攀升段即OC，CD，DE的段段和點(diǎn)點(diǎn)就一定是保持著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由于三個(gè)攀升段的分界點(diǎn)都是整數(shù)度點(diǎn)，于是由對(duì)應(yīng)關(guān)系知整數(shù)度點(diǎn)44°和43°是壓縮后的三段未明位置的分界點(diǎn).我們強(qiáng)調(diào)這結(jié)論是據(jù)不斷二分法而知近旁的無(wú)窮2n等分角均為非整數(shù)度點(diǎn)而使然.為了簡(jiǎn)化整體敘述的繁雜，設(shè)第一、第二段的未明位置分界點(diǎn)為G，而對(duì)第二、第三段的設(shè)定和操作，則放在其后用同理的方式簡(jiǎn)述.為承接下文，特?cái)M定如下用語(yǔ)：立軸上的OE是壓縮前的全長(zhǎng)，OC是壓縮前的局部，水平軸上的OF是壓縮后的全長(zhǎng)，OG是壓縮后的對(duì)應(yīng)于OC的局部.根據(jù)影像縮放理念知：壓縮前的局部/壓縮前的全長(zhǎng)=壓縮后的對(duì)應(yīng)局部/壓縮后的全長(zhǎng).于是可得如下比例式：

數(shù)學(xué)上的縮放功能其實(shí)就是幾何學(xué)中的比例，本文進(jìn)行的這種特殊的影像壓縮的操作正是基于此一數(shù)學(xué)理念而設(shè)計(jì).在影像壓縮的過(guò)程中，雖然已設(shè)定G是水平軸上的對(duì)應(yīng)于44°的頂角點(diǎn)，但不知其具體位置之所在，而這是本文急于想要解決的問(wèn)題.由于空間的相交兩軸已夾出了一個(gè)平面，這使我們想到要在空間的這個(gè)平面上去構(gòu)造出一個(gè)三角形，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形OEF飄然而出，有此三角形存在，本文就有充分的條件來(lái)完成剩余的作圖.

（八）在三角形OEF中，過(guò)OE邊上的D點(diǎn)作EF的平行線交OF于H（即有DH∥EF），于是由平行線分線段成比例定理可得

由（4）而知H與G重合，此言下之意即為，我們已由平行線的畫(huà)作而證得了H就是44°的頂角點(diǎn).在同一操作理念下：過(guò)C作EF的平行線，設(shè)其交OF于I，則知I即為43°的頂角點(diǎn)（其證明過(guò)程與前相同而略）.在以上兩頂角點(diǎn)的位置明了之后，我們的心中又在想著H和I對(duì)應(yīng)于立軸的情形.現(xiàn)將釋疑手段謹(jǐn)呈如下：以O(shè)為圓心，分別以O(shè)H和OI為半徑畫(huà)弧，設(shè)其分別交立軸于J和K，則知J和K即為H和I在立軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，實(shí)際上這就是將水平軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而使F與C重合的情形.于是知夾在其間的兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)一一重合，此意即為J是頂角為44°的等腰三角形的頂角點(diǎn)、K是頂角為43°的等腰三角形的頂角點(diǎn).如果我們不旋轉(zhuǎn)水平軸，而是將基礎(chǔ)三角形繞OA也按逆時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)90°，那么此時(shí)的水平軸就成了新位置下的立軸，因新立軸上包涵了我們希望的所有解題的信息，知其已是身價(jià)百倍.由于這種新關(guān)系與前文的構(gòu)思一脈相承，在我們?cè)O(shè)計(jì)思維里留下了相同的視覺(jué)，我感覺(jué)此變換角度看攀升的方案比“重合一說(shuō)”更容易被人們理解和接受.總之，以上兩方案都能達(dá)我們最終之目的.為習(xí)慣起見(jiàn)還是以有過(guò)信息補(bǔ)充的原立軸為準(zhǔn)來(lái)完成畫(huà)作.

（九）現(xiàn)在宣布頂角為44°和43°的兩等腰三角形已名正言順地在空間直角坐標(biāo)系中安了家，其頂角點(diǎn)亦理所當(dāng)然地在立軸上適應(yīng)著攀升排隊(duì).選定以空間等腰三角形JAB的腰為腰，以AB為底，在水平面上單獨(dú)畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，則此等腰三角形的頂角即為44°.

（十）從水平面上的45°的角中用尺規(guī)作圖的方法減去這個(gè)44°的角，則人們考慮了幾個(gè)世紀(jì)的“1°”角便躍入眼簾.

有了眼前這個(gè)1°角的尺規(guī)作圖，尺規(guī)作圖的領(lǐng)域便開(kāi)啟了一片新的天地，此前很多無(wú)法攻克的尺規(guī)作圖難題，在1°角的推出之下已不成問(wèn)題.譬如尺規(guī)九等分圓周，我們只需將39°的角加上1°的角就得到40°的角，由于有9×40°=360°周角，這意味著尺規(guī)九等分圓周已得到解決.由此而知，但凡與1°角有關(guān)的圓周的等分，人們都可從此范例之中獲得靈感，也正是由于1°角的尺規(guī)作圖已擺在了我們的面前，進(jìn)而知1°角的累加可以形成任意整數(shù)度角，于是本文就以此為題了.在撰寫(xiě)本文之后，我們的心得是：過(guò)去在平面上無(wú)法解決的尺規(guī)作圖問(wèn)題，也許大都可以從多一個(gè)維度的探索里得到解決.巧的是在本文之前我有一篇《圓周及弧的實(shí)用精確等分》的小論文就是基于此思考而偶得.因此，在尺規(guī)作圖的領(lǐng)域里，我們有興趣的朋友亦可多在三維空間進(jìn)行詳盡地觀察，說(shuō)不定哪天就會(huì)收獲意外的驚喜.事實(shí)上我正在對(duì)一個(gè)也許是“真正的大課題”在用本文的這種思考方法打著腹稿，您要是能成功登上彼岸，且將您的思緒化成文字，我們則預(yù)先在此為您恭賀，努力吧！機(jī)遇在等待著有心參與的有緣人！endprint