周素靜，楊 慧,廖淑華,郭文秀

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451460)

曲線的構(gòu)造和表示是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中的基本問題，在產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)中具有非常重要的應(yīng)用。Bezier曲線是計(jì)算機(jī)繪圖中最常用的一種曲線，是圖形造型運(yùn)用得最多的基本線條之一。

設(shè)P0、P1、…、Pn是Bezier曲線的控制點(diǎn)，則其參數(shù)方程為

其中

該參數(shù)方程所確定的曲線稱為n次Bezier曲線。Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)同控制多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，即Bk,n(0)=P0，Bk,n(n)=Pn。

1 問題的提出

根據(jù)Bezier曲線的定義和性質(zhì)建立Bezier曲線的參數(shù)方程是科學(xué)研究和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中常遇到的問題。圖1中給出了一條Bezier曲線的圖形，建立數(shù)學(xué)模型研究以下問題：

(1)自動(dòng)檢測(cè)并確定該Bezier曲線上點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)。

(2)求該Bezier曲線的參數(shù)方程。

圖1 Bezier曲線

2 模型的建立與求解

設(shè)x、y分別表示平面上點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，x’、y’表示平面上點(diǎn)的像素坐標(biāo)；P0(x0,y0)、P1(x1,y1)、…、Pn(xn,yn)表示Bezier曲線的n個(gè)控制點(diǎn)；Q1(x(t1),y(t1))、Q2(x(t2),y(t2))、…、Qn(x(tn),y(tn))表示Bezier曲線上的點(diǎn)。

2.1 問題(1)的模型建立與求解

2.1.1 圖1中點(diǎn)的像素坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換公式

根據(jù)題意，我們需要從圖1中Bezier曲線上取點(diǎn)的

實(shí)際坐標(biāo)，而利用Matlab中函數(shù)ginput取出的是點(diǎn)的像素坐標(biāo)，這就要找到平面內(nèi)點(diǎn)的像素坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)的換算關(guān)系。

首先，在圖1中取水平線上兩點(diǎn)，實(shí)際坐標(biāo)為A(0，-15)和B(10，-15)，在y軸取兩點(diǎn)，實(shí)際坐標(biāo)為O(0,0)和C(0,10)。然后，利用imread函數(shù)將圖1讀入Matlab中，再利用ginput函數(shù)取出四個(gè)點(diǎn)的像素坐標(biāo)，分別為A(134,464),B(213,464),O(134,345),C(134,265)。令

則a，b為像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為實(shí)際坐標(biāo)的比例系數(shù)。

坐標(biāo)原點(diǎn)的像素坐標(biāo)為O(134，345)，設(shè)原圖中曲線上任一點(diǎn)D的像素坐標(biāo)為(x’,y’)，實(shí)際坐標(biāo)為(x,y)，則有它們之間的換算公式為

(1)

2.1.2 從圖1中取點(diǎn)并求它們的實(shí)際坐標(biāo)

利用ginput函數(shù)編程取出圖1中Bezier曲線上20個(gè)點(diǎn)的像素坐標(biāo)，根據(jù)平面內(nèi)點(diǎn)像素坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之間的換算公式(1)可得所取曲線上20個(gè)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，如表1所示。

表1 Bezier曲線上20個(gè)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)

序號(hào)11121314151617181920x55.3260.2565.5770.2574.8180.3883.1686.9688.2390.38y16.3816.0015.0013.5011.758.757.135.004.133.13

2.2 問題(2)的模型建立與求解

根據(jù)Bezier曲線的定義和性質(zhì)，控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定Bezier曲線的次數(shù)，控制點(diǎn)的位置決定Bezier曲線的形狀。從圖1可以看出，圖中的Bezier曲線可能是由三個(gè)控制點(diǎn)生成的(如圖2所示)。

圖2 由三個(gè)控制點(diǎn)生成的Bezier曲線

設(shè)三個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)為P0(x0,y0)、P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，Q(x,y)為Bezier曲線上任意點(diǎn)。

當(dāng)Bezier曲線是由三個(gè)控制點(diǎn)P0、P1和P2生成時(shí)，其參數(shù)方程為

B(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,

即

(2)

其中t∈[0,1]為參數(shù)。

要求Bezier曲線的參數(shù)方程就要根據(jù)問題(1)中取出的曲線上點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，擬合出P0、P1和P2點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出Bezier曲線的參數(shù)方程。

設(shè)Q1(x(t1),y(t1))、Q2(x(t2),y(t2))、…、Qn(x(tn),y(tn))為Bezier曲線上的n個(gè)點(diǎn)，其中Q1=P0,Qn=P2。由于測(cè)量取點(diǎn)時(shí)的誤差，對(duì)于曲線上的同一個(gè)點(diǎn)，使得橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)

x(t)=(1-t)2x0+2t(1-t)x1+t2x2，

y(t)=(1-t)2y0+2t(1-t)y1+t2y2

成立的參數(shù)t可能不同。設(shè)使得第i個(gè)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)滿足參數(shù)方程的參數(shù)分別為t1(i)和t2(i)(i=1,2,…,n)，即

為了通過這n個(gè)點(diǎn)擬合出Bezier曲線的參數(shù)方程，我們只需使這n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1(i)和t2(i)的平方和最小即可。根據(jù)Bezier曲線的定義和性質(zhì)，可以得到：以控制點(diǎn)坐標(biāo)x0、y0、x1、y1、x2、y2和參數(shù)t1(i)、t2(i)為優(yōu)化變量，以t1(i)和t2(i)的平方和最小為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化模型為

s.t.

其中x(t1(i))、y(t2(i))(i=1,2,…,n)為曲線上所取n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(如表1所示)，是已知數(shù)據(jù)。

將表1中點(diǎn)的坐標(biāo)代入模型，并利用Lingo編程求解最優(yōu)化模型，可得三個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)如下表2所示。

表2 Bezier曲線的控制點(diǎn)坐標(biāo)

由表2可知，圖1中的Bezier曲線可以認(rèn)為由三個(gè)控制點(diǎn)為P0(10,3)、P1(90.253 2,29.794 6)、P1(90.379 7,3)所生成的。將三個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(2)，可得Bezier曲線的參數(shù)方程為

Q(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2，

即

3 模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn)

建立模型求解問題過程中，給出了用Matlab中的ginput函數(shù)獲取曲線上點(diǎn)的像素坐標(biāo)并轉(zhuǎn)化為實(shí)際坐標(biāo)的方法，這一方法對(duì)于圖形分析有重要意義。

以參數(shù)誤差平方和最小作為目標(biāo)函數(shù)建立最優(yōu)化模型，解決了參數(shù)方程下曲線方程的擬合問題，求出的曲線與原曲線擬合度較好。該模型可以應(yīng)用于其他曲線圖像的分析，給出的最優(yōu)化模型求解是參數(shù)方程下曲線擬合的一種有益的探索。

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型,3版[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用,2版[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]周天祥,楊勛年,汪國昭.快速繪制Bzier曲線[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2002,14(6):501-504.