侯雨雷 魏曉晨 周治宇 曾達幸

燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

機構(gòu)的性能評價指標是對機構(gòu)進行性能分析與設(shè)計的基礎(chǔ)和前提。并聯(lián)機構(gòu)的性能評價指標一直是國內(nèi)外機構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的熱點和難點。承載能耗與總能耗功率的比例偏低是仿生機構(gòu)難以應(yīng)用于實際的關(guān)鍵問題之一，故而，具有明確的物理意義、可用數(shù)學(xué)方程描述、具有可計算性的功耗性能指標的定義對研究仿生關(guān)節(jié)并聯(lián)機構(gòu)具有重要意義。

三自由度球面并聯(lián)機構(gòu)作為適用于肩關(guān)節(jié)仿生的重要機構(gòu)之一[1]，其功耗傳遞效率直接影響機構(gòu)的承載性能。苑飛虎等[2]以六自由度并聯(lián)機構(gòu)為例，分析了位姿對承載能力與承載性能指標的影響。KORAYEM等[3-4]結(jié)合并聯(lián)機構(gòu)的具體應(yīng)用，研究了沿固定軌跡運動時機構(gòu)的承載能力。

并聯(lián)機構(gòu)瞬時狀態(tài)下的功耗傳遞能力即為機構(gòu)的瞬時傳遞功率，而功率又能夠反映并聯(lián)機構(gòu)運動和力的傳遞性能。迄今針對功率傳遞的分析已取得許多成果。文獻[5-6]將廣義傳遞力矩螺旋引入機構(gòu)靜力傳遞特性的評價中，并定義了機構(gòu)的傳遞特性和可操作性綜合性能評價指標。WANG等[7]基于螺旋理論互易積理論，結(jié)合能效系數(shù)，定義了并聯(lián)機構(gòu)運動/力傳遞性能評價指標。劉辛軍等[8-10]以5R機構(gòu)為例，提出了一類與坐標系無關(guān)的靜力傳遞性能評價指標，解決了在不同形式的運動旋量和力旋量的組合下，傳遞功率最大值的求解問題，增強了文獻[7]所述評價指標計算模型的實用性與時效性。

并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣能夠反映驅(qū)動端運動與執(zhí)行器運動的映射關(guān)系，故而，基于雅可比矩陣定義相應(yīng)的并聯(lián)機構(gòu)性能指標，可用于評價機構(gòu)的傳遞性能。YOSHIKAWA[11-12]基于雅可比矩陣奇異值分解原理，提出了串聯(lián)機器人可操作度指標，用以分析機構(gòu)運動/力的傳遞性能。季曄等[13]通過對一種四自由度并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣進行求導(dǎo)分析，繪制出機構(gòu)承載力與驅(qū)動力性能圖譜。

本文以3PSS/S(P表示移動副，S表示球副)和3RRR(R表示轉(zhuǎn)動副)球面并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，在運動學(xué)分析的基礎(chǔ)上，引入功耗比性能指標，建立兩種機構(gòu)的功耗比數(shù)學(xué)模型并進行數(shù)值對比分析，結(jié)合3PSS/S并聯(lián)樣機進行功耗比實驗，并與理論功耗比曲線進行對比，以驗證功耗比性能指標的有效性。

1 球面并聯(lián)機構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

3PSS/S與3RRR[14]并聯(lián)機構(gòu)均具有三轉(zhuǎn)動自由度，可作為肩關(guān)節(jié)仿生機構(gòu)。本文以此兩個機構(gòu)為研究對象，設(shè)定各自機構(gòu)參數(shù)及相同的運動軌跡，并在此基礎(chǔ)上進行兩類機構(gòu)的功耗比性能分析。

1.1 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

圖1所示為3PSS/S球面并聯(lián)仿生肩關(guān)節(jié)機構(gòu)[15]，它主要由定平臺、動平臺、三條對稱的PSS運動支鏈和一個中間球副S支鏈組成，H為中間球副的球心(機構(gòu)的轉(zhuǎn)動中心)。建立固定坐標系Hxyz，z軸沿HO1向上為正，x軸在z軸與HA1所決定的平面且垂直于z軸，方向指向桿A1B1所在一側(cè)。建立與動平臺固連的動坐標系O1uvw，其中，w軸垂直于動平臺向上為正，u軸沿B1O1方向指向B1。h為HO1的間距，ε是定平臺三棱錐O2C1C2C3的結(jié)構(gòu)參數(shù)，L1為三條支鏈定長桿的桿長，L2為與動平臺相連的三個球副所在外接圓的半徑。

圖1 3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)機構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic diagram of the 3PSS/S parallel shoulder joint mechanism

設(shè)定此三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)動平臺輸出角速度矢量ω=(ωx,ωy,ωz)T、所受外力Fg=(fx,fy,fz)T、外力矩Mg=(Mx,My,Mz)T，則驅(qū)動關(guān)節(jié)速度矢量

ν=J-1ω=(v1,v2,v3)T

(1)

輸入力矢量

Fr=JTMg=(F1,F2,F3)T

(2)

式中，v1、v2、v3為三個驅(qū)動關(guān)節(jié)的移動速度；F1、F2、F3為三個驅(qū)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力；J為速度雅可比矩陣。

機構(gòu)的輸出功率Po為動平臺分別在x、y、z軸方向的角速度與各自方向上所受力矩乘積的代數(shù)和，即

Po=Mxωx+Myωy+Mzωz

(3)

當動平臺沿既定軌跡運動時，驅(qū)動電機對動平臺所做功并非全為正功，考慮到驅(qū)動電機的實際耗能，機構(gòu)的實際輸入功率Pi為各驅(qū)動電機輸出功率絕對值的代數(shù)和，即

Pi=|F1v1|+|F2v2|+|F3v3|

(4)

為衡量不同位姿下功耗傳遞性能，定義功耗比性能指標為

K=Po/Pi

(5)

由定義式可知，K≤1。K值越大，驅(qū)動電機所做有效功越多，機構(gòu)功耗傳遞性能越佳；反之，驅(qū)動電機的輸出功耗轉(zhuǎn)換成的機構(gòu)輸出功耗越少，機構(gòu)功耗傳遞性能越差。

1.2 3RRR并聯(lián)機構(gòu)功耗比數(shù)學(xué)模型

如圖2所示，取3RRR并聯(lián)機構(gòu)球心點O為坐標系原點的中心，按照D-H連桿坐標系規(guī)定的方法建立坐標系Ox0y0z0、Oxyz和Oxijyijzij(i,j=1,2,3,分別表示第i分支的第j轉(zhuǎn)動副)，令ui、vi、wi(i,j=1,2,3)分別表示坐標軸zi1、zi2、zi3(i=1,2,3)在定坐標系下的單位矢量。

圖2 3RRR并聯(lián)機構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of the 3RRR parallel mechanism

機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)表示如下：α1為zi1軸與zi2軸的夾角，α2為zi2軸與zi3軸的夾角，β1為zi3軸與OH′(H′為動平臺的中心點)的夾角，β2為zi1軸與OH(H為定平臺的中心點)的夾角，η1i(i=1,2,3)為zi1軸在下平臺的投影與z11軸投影所成的角，η2i(i=1,2,3)為zi3軸在上平臺的投影與z13軸投影所成的角度。

ω′=G-1ωc=(ω1,ω2,ω3)T

(6)

輸入力矩為

(7)

式中，ω1、ω2、ω3為三個驅(qū)動關(guān)節(jié)角速度;M1、M2、M3為三個驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動力矩;G為運動雅可比矩陣。

進而，3RRR并聯(lián)機構(gòu)功耗比表達式為

(8)

2 并聯(lián)機構(gòu)功耗比數(shù)值計算

為方便分析，對于3PSS/S和3RRR并聯(lián)機構(gòu)，統(tǒng)一采用RPY角描述其動平臺姿態(tài)，設(shè)定兩并聯(lián)機構(gòu)的工作空間半徑r′=80 mm，其中3RRR并聯(lián)機構(gòu)的尺寸參數(shù)如下：α1=90°，α2=90°，β1=60°，β2=45°，η11=η21=0°，η12=η22=120°，η13=η23=240°，球面機構(gòu)半徑r1=80 mm。3PSS/S的尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)的尺寸參數(shù)

(a)φz=10°

(b)φz=20°

(c)φz=30°圖3 動平臺正向轉(zhuǎn)動時3PSS/S與3RRR機構(gòu)功耗比對比Fig.3 Power consumption ratio comparison between 3PSS/S and 3RRR mechanism when the moving platform rotates in the forward direction

選定3PSS/S與3RRR機構(gòu)動平臺繞固定坐標系x、y、z軸逆向轉(zhuǎn)動，定義姿態(tài)角φz分別等于-10°、-20°、-30°，φx、φy同時在步長為1°的區(qū)間[-30°,-10°]內(nèi)變化時，兩并聯(lián)機構(gòu)功耗比變化趨勢對比如圖4所示，計算、整理功耗比均值如表2所示。由表2可知，在上述工作空間范圍內(nèi)，3RRR并聯(lián)機構(gòu)功耗比平均值較大，為0.599 5，而3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)功耗比平均值與其相差0.003 5，占比為0.583 8%，由此可見，在此工作空間內(nèi)，兩并聯(lián)機構(gòu)功耗傳遞性能基本相當。

3 3PSS/S并聯(lián)樣機功耗比實驗及其分析

如圖5所示，3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機[16]由機械本體、伺服電機和控制柜等單元組成。在樣機動平臺中心安裝陀螺儀傳感器，通過串口轉(zhuǎn)換器將測量得到的動平臺角度及角速度數(shù)據(jù)實時反饋至上位機，進而通過數(shù)據(jù)處理得到負載對動平臺的廣義力矩。與此同時，通過運動控制器的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，獲取驅(qū)動伺服電機的扭矩輸出量。

不妨設(shè)定動平臺姿態(tài)角φx=0°、φy=0°、φz=-15°為初始啟動姿態(tài)，在動平臺上放置質(zhì)量為2 kg的圓柱狀負載，通過軌跡規(guī)劃，設(shè)定機構(gòu)移動副驅(qū)動的輸入數(shù)據(jù)，如表3所示。在驅(qū)動電機的控制下，三個移動副從位置1到位置9依次運動，圖6所示為移動副在位置2、位置4、位置6、位置8等不同換向位置時，機構(gòu)的運動狀態(tài)。

(a)φz=-10°

(b)φz=-20°

(c)φz=-30°圖4 動平臺逆向轉(zhuǎn)動時3PSS/S與3RRR機構(gòu)功耗比對比Fig.4 Power consumption ratio comparison between 3PSS/S and 3RRR mechanism when the moving platform rotates in the backward direction

3PSS/S平均功耗比K13RRR平均功耗比K2差值絕對值δ?x,?y∈[-30°,-10°]?z=-10°0.62360.66480.0412?z=-20°0.69410.66490.0292?z=-30°0.77660.66490.1117?x,?y∈[10°,30°]?z=10°0.51510.48970.0254?z=20°0.49500.52090.0295?z=30°0.47190.59160.1197功耗比均值0.59600.59950.0035

在輸入端，通過控制系統(tǒng)反饋伺服電機力矩T1、T2、T3以及驅(qū)動角速度ω1、ω2、ω3，可得輸入瞬時功率表達式為

Pi=|T1ω1|+|T2ω2|+|T3ω3|

(9)

圖5 3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機功耗比實驗系統(tǒng)Fig.5 Power consumption ratio experimental system of 3PSS/S parallel mechanism

在輸出端，利用陀螺儀測量動平臺繞固定坐標軸x、y、z的轉(zhuǎn)動角度φx、φy、φz。為確保測量數(shù)據(jù)的連續(xù)性，陀螺儀采用每秒100次的測量頻率，將所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中進行曲線擬合，得φx、φy、φz的擬合函數(shù)分別為

表3 移動副運動軌跡點

(a)位置2 (b)位置4

(c)位置6 (d)位置8圖6 不同換向位置時3PSS/S并聯(lián)樣機姿態(tài)示意圖Fig.6 Posture diagram of 3PSS/S parallel prototype in different commutation position

(10)

(11)

(12)

進而可得動平臺角度變化曲線,如圖7所示。

圖7 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)動平臺角度變化曲線Fig.7 Angle curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

將所得擬合函數(shù)對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得動平臺繞x、y、z各軸的角速度擬合函數(shù):

(13)

(14)

(15)

進而繪制得到機構(gòu)動平臺角速度變化曲線,如圖8所示。

圖8 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)動平臺角速度變化曲線Fig.8 Angular velocity curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

將所得擬合函數(shù)對時間求二階導(dǎo)數(shù)，得動平臺繞x、y、z各軸的角加速度擬合函數(shù):

(16)

(17)

(18)

進而可得機構(gòu)動平臺角加速度變化曲線,如圖9所示。

圖9 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)動平臺角加速度變化曲線Fig.9 Angular acceleration curves of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

前述所得3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)動平臺角度、角速度以及角加速度擬合函數(shù)中，各參數(shù)值如表4所示。

表4 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)動平臺運動擬合函數(shù)參數(shù)Tab.4 Motion fitting function parameters of the moving platform of 3PSS/S parallel mechanism

設(shè)定Jx、Jy、Jz為負載分別在x、y、z三軸方向上產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動慣量，其表達式分別為

(19)

(20)

(21)

式中，m為圓柱狀負載質(zhì)量;r0為負載半徑;h0為負載高度。

負載繞各軸轉(zhuǎn)動慣量與其繞對應(yīng)軸角加速度的乘積，即為負載作用于動平臺的廣義力矩沿各軸方向的分量，則廣義力矩沿各軸分量表達式為

Mx=Jxax

(22)

My=Jyay

(23)

Mz=Jzaz

(24)

結(jié)合式(3)，可得輸出端總瞬時輸出功率表達式為

Po=Jxaxωx+Jyayωy+Jzazωz

(25)

根據(jù)式(5)、式(9)、式(25)計算可得3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)實驗功耗比，并結(jié)合MATLAB曲線擬合功能，求到期望軌跡下實驗功耗比曲線,如圖10所示。

圖10 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)實驗功耗比擬合曲線Fig.10 Fitting curve of experimental power consumption ratio of 3PSS/S parallel mechanism

將所得負載繞x、y、z軸的角度、角速度擬合函數(shù)代入式(1)中，可得機構(gòu)理論輸入速度，將式(22)～式(24)所得的廣義力矩代入式(2)中，可得機構(gòu)理論輸入力矩，根據(jù)式(3)～式(5)功耗比理論計算模型，可得到理論功耗比曲線,如圖11所示。

圖11 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)理論功耗比曲線圖Fig.11 Fitting curve of theoretical power consumption ratio of 3PSS/S parallel mechanism

選取不同時間點理論與實驗功耗比數(shù)據(jù)進行對比，如表5所示。

表5 3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)理論與實驗功耗比數(shù)值對比

由表5可見，總體而言功耗比實驗數(shù)值低于理論計算數(shù)據(jù)，且個別點差值還較大。究其原因，一方面本文中的功耗比性能指標基于機構(gòu)本體進行分析，研究重心在于機構(gòu)功耗比指標及不同構(gòu)型間的比較，因此理論模型中暫未考慮因樣機構(gòu)件的重力、慣性力等而消耗的能量。此外，所研制實驗樣機運動副較多，運動關(guān)節(jié)間總是存在一定間隙，而間隙的存在會導(dǎo)致碰撞而產(chǎn)生能量損失；同時，運動副的摩擦力作用也會產(chǎn)生能耗。對比圖10與圖11可見，在相同運動軌跡下，實驗所得數(shù)據(jù)與理論值變化趨勢大體相同，一定程度上驗證了功耗比指標模型的有效性。

4 結(jié)論

(1)基于機構(gòu)輸入端與輸出端的實際功耗，提出功耗比性能指標，可為關(guān)節(jié)仿生機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供指導(dǎo)；對比3PSS/S和3RRR兩種球面并聯(lián)機構(gòu)在既定工況和軌跡下的功耗比數(shù)值，結(jié)果表明兩種機構(gòu)的功耗傳遞性能大致相當。

(2)完成3PSS/S并聯(lián)肩關(guān)節(jié)樣機功耗比實驗，比較其實驗所得功耗比與理論模型計算功耗比，兩者變化趨勢相同，驗證了功耗比計算模型的合理性，可為并聯(lián)式肩關(guān)節(jié)工程研制中的能耗預(yù)估提供參考。

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