高金德

“太極生兩儀，兩儀生四象”的《易經(jīng)》智慧說明，萬事萬物的發(fā)展過程都有原始的起點(diǎn)，由起點(diǎn)出發(fā)，會衍生出萬千形態(tài)，構(gòu)成多彩世界。眾多的研究一再證明，萬變不離其宗，在這萬變的過程中一定有其不變的堅(jiān)守，那就是事物發(fā)展變化的本源規(guī)律。透過萬千形態(tài)，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，就能找到變化的起點(diǎn)。這就是一與多的辯證統(tǒng)一。對于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也是如此。當(dāng)學(xué)生走進(jìn)某一世界時(shí)，只有離析出事物的本源面貌和來龍去脈，才能在紛擾的萬千世界中不迷失方向，感知大千世界，進(jìn)而學(xué)會與這一世界對話，掌握其基本的規(guī)律和方法，建構(gòu)出自我世界。

比如，在復(fù)習(xí)函數(shù)圖象的時(shí)候，就可以從一個任意二次函數(shù)的圖象（簡稱甲圖象）出發(fā)，演變出眾多相關(guān)問題，參與其中的學(xué)生就會明晰擺脫“題海”的妙訣。在此過程中，甲圖象就像一粒知識的種子，在陽光雨露的關(guān)照下會給學(xué)生帶來茂密的知識叢林；衍生出的眾多圖象、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)原理，既千變?nèi)f化，又像一根根小磁針，被甲圖象這個大磁石緊緊地吸引在一起，呈現(xiàn)出一與多的曼妙。

一、有形無數(shù)，巧設(shè)數(shù)據(jù)生函數(shù)

師：同學(xué)們，在如圖1所示的圖象中，有哪些點(diǎn)和線呢？

生：這里建立了一個直角坐標(biāo)系，在這個坐標(biāo)系中出現(xiàn)了一個函數(shù)圖象，它與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三個點(diǎn)。

師：那么這三個點(diǎn)的坐標(biāo)是多少呢？

生1：不知道，這里只有一個圖象，沒有告訴我們這些點(diǎn)的坐標(biāo)呢。

生2：不過根據(jù)我們的觀察，不難發(fā)現(xiàn)，A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，可是橫坐標(biāo)卻不知道。C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，可是縱坐標(biāo)也不知道。

生3：我們可以將這三個點(diǎn)的坐標(biāo)合理地設(shè)出來，可設(shè)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）。

師：非常好，如果我們將這三個點(diǎn)所設(shè)的坐標(biāo)作為已知條件的話，那么大家又將會有怎樣的思考呢？

生：根據(jù)這三個點(diǎn)，可以直接求出拋物線解析式。

師：這個拋物線的解析式怎樣來表達(dá)呢？又該如何更具體地描繪這個圖象呢？

生：可以利用待定系數(shù)法求得這個二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3，其對應(yīng)的拋物線交橫坐標(biāo)軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與縱坐標(biāo)軸相交于C（0，3）。

【設(shè)計(jì)意圖】這樣的引入環(huán)節(jié)，教師并沒有直接給出待求解的數(shù)學(xué)問題，而是引導(dǎo)學(xué)生觀察已有的函數(shù)圖象，目的是讓學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知，明晰未知，找到希望解決的問題，由此反推解決問題需要什么條件，從而確定與之對應(yīng)的函數(shù)解析式。通過這樣的處置，學(xué)生就會走進(jìn)問題，就會將教師呈現(xiàn)的問題變?yōu)樽约旱膯栴}，甚至不同學(xué)生會有不同的問題。由此引發(fā)學(xué)生思考，補(bǔ)充各自需要補(bǔ)充的條件，完成個性化問題的解決。這也為后面設(shè)計(jì)出更多的問題奠定了基礎(chǔ)。

【點(diǎn)評】問題驅(qū)動，激活學(xué)生思維；從無到有，激發(fā)學(xué)生興趣。

二、數(shù)形結(jié)合，打開思維生問題

師：以上面的信息作為條件，大家會設(shè)計(jì)出怎樣的數(shù)學(xué)問題呢？

生1：我們知道，拋物線是軸對稱圖形，而且它還有一個頂點(diǎn)。那么這個拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)是多少呢？

生2：我們可在原有圖象上加上一條直線。如圖2所示，作直線BC，求直線BC所對應(yīng)的一次函數(shù)解析式。

[o][x][y][A][B][C] [o][x][y][A][B][C] [P1] [圖2] [o][x][y][A][B][C][圖3][圖4]

生3：如圖3所示，連接AC、BC，求△ABC的面積。

【點(diǎn)評】基于學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，初步培養(yǎng)學(xué)生問題設(shè)計(jì)的能力。

師：很不錯，上面三位同學(xué)中，第一位同學(xué)從拋物線結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的角度設(shè)計(jì)問題，第二位同學(xué)從一次函數(shù)解析式角度設(shè)計(jì)問題，最后一位同學(xué)又從三角形的面積角度設(shè)計(jì)問題。選擇不同的角度，便可以設(shè)計(jì)不一樣的問題。那現(xiàn)在請大家聚焦一個角度，比如，我們讓三角形與這個圖象進(jìn)行關(guān)聯(lián)，又能設(shè)計(jì)多少個不一樣的數(shù)學(xué)問題呢？

生1：如圖4，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)P1為拋物線上一動點(diǎn)。若點(diǎn) P1在拋物線上，且以P1、C、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求點(diǎn)P1的坐標(biāo)。

[o][x][y][A][B][C] [P2] [o][x][y][A][B][C][P3] [M] [o][x][y][A][B][C] [P4] [圖5][圖6][圖7]

生2：在圖5中，若點(diǎn)P2在拋物線上，且以P2、C、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)P2的坐標(biāo)。

學(xué)生3：在圖6中，若點(diǎn)P3是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P3作P3M⊥x軸，垂足為M，當(dāng)以P3、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)。

學(xué)生4：在圖7中，在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)P4，使得△P4BC的面積最大，求出點(diǎn)P4的坐標(biāo)。

【點(diǎn)評】教師方法引領(lǐng)，學(xué)生“關(guān)聯(lián)萬物”，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生問題設(shè)計(jì)的能力。

師：看來，當(dāng)思維聚焦于三角形這一知識點(diǎn)的時(shí)候，更多三角形與圖象結(jié)合的問題將應(yīng)運(yùn)而生。那么，請大家來思考，你還可以讓這個函數(shù)圖象與哪些知識點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)呢？

生1：從幾何圖形的領(lǐng)域來考慮，函數(shù)圖象可以與平行四邊形進(jìn)行關(guān)聯(lián)。而在平行四邊形的范圍內(nèi)，常見的有矩形、菱形、正方形等特殊四邊形，這些都是我們設(shè)計(jì)問題的思考角度。

生2：我要補(bǔ)充一點(diǎn)，函數(shù)圖象也應(yīng)該可以與圓進(jìn)行關(guān)聯(lián)。雖然這類問題不在我們的研究范圍之內(nèi)，但是我們勇敢地設(shè)計(jì)這類問題也應(yīng)該是可以的吧。

師：這位同學(xué)想法太了不起了。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開奇思妙想，思維過程的結(jié)果也不單是表現(xiàn)在解決問題層面，設(shè)計(jì)問題、提出問題等思維輸出也是思維成果的重要形式。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，就有很多因提出問題而聞名于世的大師，像哥德巴赫、費(fèi)馬、龐加萊等。接下來，請大家繼續(xù)思考，我們還能在哪些領(lǐng)域進(jìn)行設(shè)計(jì)呢？

生1：從代數(shù)的領(lǐng)域來考慮，函數(shù)圖象可以與一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、一元一次不等式進(jìn)行關(guān)聯(lián)，這些都是初中范圍內(nèi)研究的內(nèi)容。

生2：按照這樣的思路，函數(shù)圖象也可以與一元二次不等式進(jìn)行關(guān)聯(lián)的。比如，我們設(shè)一次函數(shù)的函數(shù)值為y1，二次函數(shù)的函數(shù)值為y2，則當(dāng)y1≥y2時(shí)，如何確定自變量x的取值范圍。解決這一問題，我們可以列出一個一元二次不等式-x2+2x+3≥-x+3。雖然不在初中研究的范圍之內(nèi)，可是數(shù)學(xué)的課堂就是要讓我們思維的觸角伸向更遠(yuǎn)的地方，這樣，才能讓我們看到另一番美麗景色。

【點(diǎn)評】運(yùn)用窮極思維的引領(lǐng)方式，打開學(xué)生的思維視野，讓代數(shù)與幾何的更多知識被吸附于一個圖象中，感知設(shè)計(jì)問題的智慧。

師：這幾位同學(xué)講得太好了！可見，思維一旦打開，便是一番新氣象。不論從代數(shù)的角度設(shè)計(jì)，還是從幾何的角度提出，都生成了很多問題。解決這些問題，會遵循哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

生：如果將代數(shù)與幾何二者統(tǒng)一起來，其解決問題的過程中都利用了數(shù)形結(jié)合的思想，形不離數(shù)，數(shù)不離形。一個原始的圖象給我們圖形的感覺，可是我們卻能從其中看到方程。在與各種圖形相結(jié)合設(shè)計(jì)問題的時(shí)候，我們感覺是圖形問題，可是一到解決問題的時(shí)候，又都轉(zhuǎn)化成方程和不等式的問題。

師：是的，偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。

生：太好了，這樣，我們在設(shè)計(jì)問題的時(shí)候，就能夠緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想，知道哪些問題可以利用現(xiàn)有的知識求解，知道哪些問題無法利用現(xiàn)有的知識求解。

師：一個高手設(shè)計(jì)問題，其解題的思路已經(jīng)蘊(yùn)含其中。設(shè)計(jì)問題往往需要利用平時(shí)解決問題所形成的經(jīng)驗(yàn)，從一定意義上講，它是對過去求解問題中所形成無序思維的一種有序有效整合。在整合的過程中逐漸實(shí)現(xiàn)思維的凝練、經(jīng)驗(yàn)的升華、能力的提升、智慧的生成。

【設(shè)計(jì)意圖】在數(shù)學(xué)的探索中，離不開思維的過程，思維輸出的方式是多種形式的，解決問題是一種方式，設(shè)計(jì)問題更是一種必要的方式。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出問題比解決問題更重要?！毕鄬碇v，解決問題的思維一般是單向的，即利用已知信息探索未知結(jié)論或者結(jié)果；而設(shè)計(jì)問題就不同了，其思維過程是全方位的。從思維的寬度上講，需要已有的知識、能力基礎(chǔ)，即平時(shí)解決問題過程中所形成的經(jīng)驗(yàn)；從思維的長度上來講，需要將思維觸角伸向遙遠(yuǎn)的地方，敢于創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)問題；從思維的高度上來講，需要在設(shè)計(jì)問題的同時(shí)，憑借直覺自我判斷所設(shè)計(jì)問題的有效性。一般情況下，設(shè)計(jì)問題的思維量要超過解決問題的思維量，設(shè)計(jì)問題的做法能夠引領(lǐng)學(xué)生溫故知新。在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維的今天，這種方式尤為重要。

【點(diǎn)評】設(shè)計(jì)問題是思維輸出的又一種重要方式。依據(jù)學(xué)生所設(shè)計(jì)出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行總結(jié)，體會問題的生成之術(shù)，進(jìn)一步感知問題設(shè)計(jì)的智慧。

三、總結(jié)反思，聚焦過程生智慧

師：同學(xué)們真是棒，在短短的幾分鐘時(shí)間里，有的同學(xué)竟然能夠設(shè)計(jì)6個問題，最少的同學(xué)也能設(shè)計(jì)兩個，這樣咱們班50名同學(xué)，設(shè)計(jì)問題的數(shù)量可有上百個，真是不簡單。稍作梳理，不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課從一個圖象談起，先是巧設(shè)數(shù)據(jù)，建立完整的信息系統(tǒng)。而后在思維優(yōu)化與躍遷的過程中，問題設(shè)計(jì)的專題不斷涌現(xiàn)，有三角形類專題，有平行四邊形類專題，有線段長度求值類專題，有最短路徑類專題，有線段、面積最值類專題……而每一類的專題，又可以細(xì)化成一類類的小專題，圍繞三角形思考，可以設(shè)計(jì)三角形的面積問題及面積最值問題，可以設(shè)計(jì)直角三角形問題，可以設(shè)計(jì)等腰三角形問題，還可以設(shè)計(jì)相似三角形問題等等。圍繞平行四邊形思考，可以設(shè)計(jì)一般的平行四邊形問題，可以設(shè)計(jì)矩形問題、菱形問題、正方形問題……聚焦一圖，折射出來的卻是千百道數(shù)學(xué)問題的大畫面。這種學(xué)習(xí)的方式，究竟能給我們帶來怎樣的啟發(fā)呢？如果讓大家給這節(jié)課冠上一個題目，又該如何表達(dá)呢？

生1：真是沒有想到，一個拋物線還有這么多的兄弟姐妹啊，這是怎樣的一個大家庭啊。就用“拋物線的兄弟姐妹”作題目吧。

生2：我感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要善于動腦筋，思維一旦開啟，必有新的收獲。我的題目是“神奇的思維力量”。

生3：一個簡單的函數(shù)圖象，竟然能給我們帶來如此多的數(shù)學(xué)問題，形成題海。因此我冠名“一圖再造題海”。

……

【點(diǎn)評】讓學(xué)生自己冠名課題，在學(xué)習(xí)收獲中進(jìn)行精準(zhǔn)關(guān)鍵詞的提煉，有助于提升學(xué)生總結(jié)歸納的能力。

師：同學(xué)們講得太精彩了，本課起于一個函數(shù)圖象，行于大家的思維環(huán)境，終成于一個關(guān)于拋物線專題的“題?！?。一個圖象是起點(diǎn)，多個問題是終結(jié)，學(xué)習(xí)中要善于統(tǒng)籌這種關(guān)系，才能有序推進(jìn)并優(yōu)化思維的過程。其實(shí)，這里面也包含了治學(xué)的一種智慧，一個極小的圖象，便可以生出極大的數(shù)學(xué)問題畫面。這種從極小到極大的轉(zhuǎn)化，我們可用一個詞來概括——太極。為什么呢？記得孔子曾經(jīng)說過，太極之“太”，由“大”加“、”組成，那“、”就表示“小”啊，這樣，“大極”加“小極”便是“太極”，從某種意義上說，太極就是“大極”與“小極”如何相互轉(zhuǎn)化的智慧。因此老師設(shè)計(jì)的題目是《活用太極智慧，統(tǒng)籌一多關(guān)系——一節(jié)從圖象生出來的課》。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，就像一個不斷進(jìn)步發(fā)展的人，既要不斷前行，還要停下來， 向后看一看。作為學(xué)生，前行是指不斷拼搏前進(jìn)的過程，向后看一看就是要對走過的路進(jìn)行反思，提煉出行走的智慧。本環(huán)節(jié)在引領(lǐng)學(xué)生反思的過程中，瞭望“太極”之術(shù)，實(shí)現(xiàn)治學(xué)的過程與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的無縫鏈接。

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，不是并列疊加關(guān)系，而是一種隱形的融合關(guān)系，依托學(xué)科知識的探索過程，形成哲學(xué)層面的認(rèn)識，再依托傳統(tǒng)文化所富含的哲理，為具體的數(shù)學(xué)學(xué)科提供世界觀和方法論的指導(dǎo)。

一與多的對立統(tǒng)一廣泛存在于數(shù)學(xué)知識中。一個圖象，看似微塵般的素材，通過人的思維不斷生長發(fā)育，會產(chǎn)生千萬個問題……這種從小到大的發(fā)展，正是思維生命運(yùn)行的體現(xiàn)。當(dāng)學(xué)生帶著無限感慨回首這一“生命征程”的時(shí)候，就會更加明白，千萬個圖象源于一個圖象，千萬個問題源于一個問題……這種由少到多、由多到少的思考，正是人們形成對立統(tǒng)一觀念的必不可少的途徑。這就需要教師恰當(dāng)把握一與多的關(guān)系，在研究多的時(shí)候，不忘本源，在思考一的時(shí)候，不忘變化，做到“守一望多，多向歸一”。如此，才能讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形而上的大格局意識，就像北斗星一樣，精準(zhǔn)指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)。

【點(diǎn)評】整堂課教學(xué)思路清晰流暢，突出由一到多智慧型學(xué)習(xí)的過程。思維過程前后呈現(xiàn)不斷的、一系列的思量，其間連貫有序，因果分明，前呼后應(yīng)。思維過程中的各個部分不是碎片化的大雜燴，而是彼此迎接、互為印證的關(guān)系。思維的每一個階段都起到承上啟下的作用，既是上一個階段之果，又為下一個階段之因。正是在這因果關(guān)系的互動中，數(shù)學(xué)的更多知識被順其自然地懸掛于整個思維的鏈條上，以致知識隨著思維觸角的延伸越來越多，體現(xiàn)生生不息之道。

（作者單位：山東省臨沂青河實(shí)驗(yàn)學(xué)校 齊魯師范學(xué)院）

責(zé)任編輯 李杰杰

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